1、 1717- -1818 衡水中学高三数学三轮系列七衡水中学高三数学三轮系列七出神入化（出神入化（5 5） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（ 为虚数单位） ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为 ，那么输入的 为（ ） A. B. 或 C. D. 4. 已知 ， 为平面向量，若与 的
2、夹角为 ，与 的夹角为 ，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积 为（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 设，变量 ， 满足条件 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知等差数列中， 记数列的前 项和为， 若 ， 对任意的 恒成立，则整数 的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线，、是实轴顶点， 是右焦点， 是虚轴端点
3、， 若在线段上 （不 含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 三棱柱的侧棱与底面垂直， ， 是的中点，点 在上， 且满足，直线与平面所成角 的正切值取最大值时 的值为（ ） A. B. C. D. 12. 设曲线（ 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总存在曲线 上某点 处的切线 ，使得，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13. 在边长为 的正三角形中，设，则_ 14. 已知
4、，则 _ 15. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理） ：“幂势既同，则积不容异”.“势”即 是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何 体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图 是一个形状不规则的封闭图形，图 是 一个上底为 的梯形，且当实数 取上的任意值时，直线被图 和图 所截得的两线段长始终相等，则 图 的面积为_ 16. 已知中， ，若线段的延长线上存在点 ，使，则 _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17. 已知等差数
5、列满足 . （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前 项和. 18. 某省年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制， 发布成绩使用等级制.各等制划分标准为： 分及以上，记为 等；分数在内，记为 等，分数在内，记为 等；分以上，记为 等.同时认 定 ， ， 为合格， 为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学 生的成绩，分别抽取名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照， 的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图 所示，乙校的样本中等级为 ， 的所有数据茎叶图如图 所示. （1）求图 中 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率； （2）在选取的样本中，从甲，乙两校 等级
6、的学生中随机抽取 名学生进行调研，用 表示所抽取的 名学生 中甲校的学生人数，求随机变量 的分布列和数学期望. 19. 如图所示，四棱锥的底面是梯形，且，面， 是中点， . （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小. 20. 已知椭圆 ：的一个焦点为，其左顶点 在圆 ： 上. （1）求椭圆 的方程； （2）直线 ：交椭圆 于， 两点，设点 关于 轴的对称点为（点与点不重合） ，且 直线与 轴的交于点 ，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说 明理由. 21. 已知函数在处的切线方程为 . （1）求函数的单调区间； （2）若 为整数，当时，恒成立，求 的最
7、大值（其中为的导函数）. 22. 在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数） ，以原点 为极点， 轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为. （1）求曲线 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （2）设直线 与曲线 交于 ， 两点，若点 的直角坐标为，试求当时，的值. 23. 已知函数. （1）若，恒有成立，求实数 的取值范围； （2）若，使得成立，求实数 的取值范围. 24. 已知矩形与直角梯形， ，点 为的中点， 在线 段上运动. （1）证明：平面； （2）当 运动到的中点位置时，与长度之和最小，求二面角的余弦值. 25. 已知常数，函数. （1）讨论在区间上的单调性； （2）若存在两个极值点，且，求 的取值范围.
