1、分析解决圆周运动动力学问题的基本步骤分析解决圆周运动动力学问题的基本步骤1.明确研究对象明确研究对象2.分析运动：确定圆周运动所在的平面，明分析运动：确定圆周运动所在的平面，明确圆周运动的轨迹、半径、圆心位置及运确圆周运动的轨迹、半径、圆心位置及运动量。写出运动需要的向心力。动量。写出运动需要的向心力。3.分析受力，沿半径方向各个力的合力提供分析受力，沿半径方向各个力的合力提供向心力。向心力。4.据牛顿第二定律列方程据牛顿第二定律列方程F供供=F需，需，并求解。并求解。圆周运动基本问题：受力圆周运动基本问题：受力 运动运动圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题一、竖直平面内圆周运动的临界问题
2、一、竖直平面内圆周运动的临界问题 对于物体在竖直面内做的圆周运动对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种是一种典型的变速曲线运动典型的变速曲线运动，该类运，该类运动常有动常有临界问题临界问题，题中常出现题中常出现“最最大大”“”“最小最小”“”“刚好刚好”等词语，常分等词语，常分析两种模型析两种模型轻绳模型和轻杆模型轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：分析比较如下：在最高点时，没有物体支撑，只能产生拉力轻杆对小球既能产生拉力，又能产生支持力竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动 1.1.轻绳模型轻绳模型：能过最高点的临界条件：能过最高点的临界条件：RgvmmgR临界2小球在最高点时绳子的拉力刚好小
3、球在最高点时绳子的拉力刚好等于等于0 0，小球的重力充当圆周运，小球的重力充当圆周运动所需的向心力。动所需的向心力。（1）小球能过最高点的临界条件（受力）：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用：（2）小球能过最高点条件（运动）：（3）不能过最高点条件：（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）RgvmmgR临界2rgv rgv rgv（当 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）归纳：归纳：圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动 2.2.轻杆模型轻杆模型：能过最高点的临界条件能过最高点的临界条件（运动）：（运动）：0临界vrgvrgv 归纳：归纳：杆与绳不同，它
4、既能产生拉力，也能产生压力杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点能过最高点v临界临界0，此时支持力，此时支持力Nmg；rgv0 当当 时，时，N N为支持力，有为支持力，有0 0N Nmgmg，且，且N N随随v v的增大而减小；的增大而减小；当 时，N0；当当 ，N为拉力，有为拉力，有N0，N随随v的增大而增大的增大而增大质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （）A0 Bmg C3mg D5mgC例例2 2、长度为、长度为L L0.5m0.5m的轻质细杆的轻质细杆OAOA，A A端有一
5、质量端有一质量为为m m3.0kg3.0kg的小球，如图的小球，如图5 5所示，小球以所示，小球以O O点为圆心点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是率是2.0m2.0ms s，g g取取10m10ms s2 2，则此时细杆，则此时细杆OAOA受到受到（）（）A A、6.0N6.0N的拉力的拉力B B、6.0N6.0N的压力的压力C C、24N24N的拉力的拉力D D、24N24N的压力的压力B练习练习:用钢管做成半径为用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环的光滑圆环(管径远小管径远小于于R)竖直放置竖直放置,一小球一小球(可看作质
6、点可看作质点,直径略小于管径直径略小于管径)质质量为量为m=0.2kg在环内做圆周运动在环内做圆周运动,求求:小球通过最高点小球通过最高点A时时,下列两种情况下球对管壁的作用力。下列两种情况下球对管壁的作用力。取取g=10m/s2A的速率为的速率为1.0m/sA的速率为的速率为4.0m/s 11/13/2022解解：AOm先求出杆的弹力为先求出杆的弹力为0的速率的速率v0mg=mv02/l v02=gl=5v0=2.25 m/s(1)v1=1m/s v0 球应受到外壁向下的支持力球应受到外壁向下的支持力N2如图所示如图所示:AOmFN2mg得得 FN2=4.4 N由牛顿第三定律由牛顿第三定律,
7、球对管壁的作用力分别为球对管壁的作用力分别为:(1)对内壁对内壁1.6N向下的压力向下的压力;(2)对外壁对外壁4.4N向上的向上的压力。压力。lmvFmgN211 lmvFmgN222lmvFmgN22211/13/2022例3：轻杆长L=1m,其两端各连接质量为1kg的小球，杆可绕距B端0.2m处的轴o在竖直面内自由转动，轻杆由水平静止转至竖直方向，A球在最低点时的速度大小为4m/s，求此时B球对杆的作用力oABBAVA=4VBrA=0.8rB=0.2mgFB研研B B最高点，据牛二律最高点，据牛二律 mg+FB=m2rB解解 ABAB在同一个物体上同一时刻在同一个物体上同一时刻相同相同
8、在B通过最高点时FB=m2rB mg=1520.2 110=5N由题意，由题意，OBOB杆对杆对B B球作用力方向向上球作用力方向向上据牛三律据牛三律 B B球对球对OBOB杆作用力向下，大小为杆作用力向下，大小为5N5NAAV45(rad/s)r0.8=11/13/2022AOB22.(2):(2)BLgLg22.():()CLgLg22.():()DLgLg8如图所示，长为2L的轻杆，两端各固定一小球，A球质量为m1，B球质量m2。过杆的中点O有一水平光滑固定轴，杆可绕轴在竖直平面内转动。当转动到竖直位置且A球在上端、B球在下端时杆的角速度为，此时杆对转轴的作用力为零，则A、B小球的质量之
9、比为（）A 1：1 D11/13/2022例1：如图所示，光滑圆盘中心有一个小孔，用细绳穿过小孔，两端各系一小球A B，A B等质量，盘上的小球A做半径为r=20cm的匀速圆周运动，要保持B球静止，A球的角速度多大？=？FmgF解：隔离解：隔离A A，据，据 牛二律牛二律 F=m2r 隔离隔离B B，F=mg 联立解得联立解得=gr=100.2=5 2(Rad/s)r=0.2实例研究实例研究连接体问题连接体问题11/13/2022例2：细绳一段系一质量为M=0.6千克,的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3千克的物体,M的中心距圆孔0.2米,已知M与水平面间的最大静摩擦力
10、是2牛,现使此平面绕中心轴线转动,问在什么范围内m会处于静止状态=？FmgF解：研解：研A A即将向圆心滑动状态，据牛二律即将向圆心滑动状态，据牛二律 F=隔离隔离B B，F=mg r=0.2Mga1Nf21mr联得1m g-f=Mr3-2=0.60.2研研A A即将背离圆心滑动状态，据牛二律即将背离圆心滑动状态，据牛二律=？FFMgaNfmg F=22mr 隔离隔离B B，F=mg 联得2m g+f=Mr3+2=0.60.253=(rad/s)3515=(rad/s)311/13/2022例例3 3 如图如图6-11-96-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆所示，固定在竖直平面内的光滑圆
11、弧形轨道弧形轨道ABCDABCD，其，其A A点与圆心等高，点与圆心等高，D D点为轨道最高点，点为轨道最高点，DBDB为竖直线，为竖直线，ACAC为水平线，为水平线，AEAE为水平面，今使小球自为水平面，今使小球自A A点正上方某处由静止释放，且从点正上方某处由静止释放，且从A A点进入圆形轨道运点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点通过最高点D D，则小球在通过，则小球在通过D D点后（点后（）A A会落到水平面会落到水平面AEAE上上 B B一定会再次落到圆轨道上一定会再次落到圆轨道上C C可能会落到水平面可
12、能会落到水平面AEAE上上 D D可能会再次落到圆轨道上可能会再次落到圆轨道上A A在水平面上做圆周运动的物体，当角速度在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力，接触面的支持力接触力，如静摩擦力、绳的拉力，接触面的支持力等）。等）。二、在水平面内作圆周运动的临界问题二、在水平面内作圆周运动的
13、临界问题例例4 4 如图细绳一端系着质量如图细绳一端系着质量M M0.6kg0.6kg的物体，静止在的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m m0.3kg0.3kg的物体，的物体，M M与圆孔距离为与圆孔距离为0.2m0.2m，并知，并知M M和水平面的最大和水平面的最大静摩擦力为静摩擦力为2N2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度度在什么范围在什么范围m m会处于静止状态？会处于静止状态？（g g10m10ms s2 2）Mrom 解析解析 要使要使m m静止，静止，m m也应与平面相对静止，而也应与平面
14、相对静止，而m m与平面静止时有两个临界状态：与平面静止时有两个临界状态：当当为所求范围最小值时，为所求范围最小值时，m m有向着圆心运动的有向着圆心运动的趋势，水平面对趋势，水平面对m m的静摩擦力的方向背离圆心，的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力大小等于最大静摩擦力2 N.2 N.此时，对此时，对m m运用牛顿第二定律，运用牛顿第二定律，有有T Tf fmaxmaxm mr r ，且，且T Tmgmg解得解得1 12.9 rad/s.2.9 rad/s.当当为所求范围最大值时，为所求范围最大值时，mm有背离圆心运动的有背离圆心运动的趋势，水平面对趋势，水平面对mm的静摩擦力的方
15、向向着圆心，的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力大小还等于最大静摩擦力2 N.2 N.再对再对mm运用牛顿第二定律，运用牛顿第二定律，有有T Tfmaxfmaxm rm r，且，且T Tmgmg解得解得226.5 rad/s.6.5 rad/s.所以，题中所求所以，题中所求的范围是：的范围是：2.9 rad/s6.5 2.9 rad/s6.5 rad/s.rad/s.答案答案 2.9 rad/s6.5 rad/s2.9 rad/s6.5 rad/s 例题例题55如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角的夹角=30=300 0 ，一条长为，一条长为L L的绳（质量不计），的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点一端固定在圆锥体的顶点O O处处,另一端拴着一个质另一端拴着一个质量为量为m m的小物体（物体可看作质点），物体以速的小物体（物体可看作质点），物体以速率率v v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。（1 1）当）当 时，求绳对物体的拉力。时，求绳对物体的拉力。（2 2）当）当 时，求绳对物体的拉力时，求绳对物体的拉力16VgL32VgLO
