1、 . 2016-2017 学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1设集合 A=x|x2，B=y|y=2x1，xA，则 AB=（ ） A （，3） B2，3） C （，2） D （1，2） 2已知复数 z=1i（i 为虚数单位） ，则的共轭复数是（ ） A13i B1+3i C1+3i D13i 3有一长、宽分别为 50m、3
2、0m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻 出现在池边任一位置的可能性相同一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人 员， 其声音可传出， 则工作人员能及时听到呼唤 （出现在声音可传到区域） 的概率是（ ） A B C D 4宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹 长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序 框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n 等于（ ） A2 B3 C4 D5 5已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn=1+2an（n2） ，且 a1=2，则 S20（ ） A2191 B2212 C219+1 D22
3、1+2 . 6已知圆 C：x2+y2=4，点 P 为直线 x+2y9=0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条 切线 PA、PB，A、B 为切点，则直线 AB 经过定点（ ） A B C （2，0） D （9，0） 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 8设函数，若不论 x2取何值， f（x1）g（x2）对任意总是恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A B C D 9如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 B3C3上有 10 个不同的点 P1，P2，P10，记 mi=（i=1，2，10） ，则 m1+m2+m10 的值为（ ） A180 B
4、 C45 D 10已知函数 f（x）是定义在 R 上的单调函数，且对任意的 x，yR 都有 f（x+y） =f（x）+f（y） ，若动点 P（x，y）满足等式 f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则 x+y 的最大值为（ ） . A25 B5 C2+5 D5 11数列an满足 a1=，an+11=an（an1） （nN*）且 Sn=+，则 Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ） A0，1，2 B0，1，2，3 C1，2 D0，2 12等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px（p0） ，O 为抛物线的顶点，OA OB， AOB 的面积是 16， 抛物线的焦点为 F，
5、若 M 是抛物线上的动点， 则 的最大值为（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13某校今年计划招聘女教师 x 人，男教师 y 人，若 x、y 满足，则该 学校今年计划招聘教师最多 人 14已知函数的两个零点分别为 m、n（mn） ，则 = 15已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD底 面 ABC，G 为ABC 的重心，且直线 DG 与底面 ABC 所成角的正切值为，则球 O 的表面积为 16已知是定义在 R 上的函数，且满足f（4）=0；曲线 y=f
6、（x+1）关于点（ 1，0）对称；当 x（4，0）时，若 y=f（x） 在 x4，4上有 5 个零点，则实数 m 的取值范围为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤步骤.） 17已知向量，设函数 +b . （1）若函数 f（x）的图象关于直线对称，且 0，3时，求函数 f（x） 的单调增区间； （2）在（1）的条件下，当时，函数 f（x）有且只有一个零点，求 实数 b 的取值范围 18如图，已知四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，ABC=BCD=90，且 SA=AB=BC=
7、2CD=2，E 是边 SB 的中点 （1）求证：CE平面 SAD； （2）求二面角 DECB 的余弦值大小 19某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建 设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为 1（万元）的概率分布列如 表所示： 1 110 120 170 P m 0.4 n 且 1的期望 E（1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润 2（万元）与该项 目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二 和第三季度进行产品的价格调整， 两次调整相互独立， 且调整的概率分别为 p （0 p1）和 1p，乙项目产品价格一年内调整次数
8、X（次）与 2的关系如表所 示： X（次） 0 1 2 2 41.2 117.6 204.0 （1）求 m，n 的值； （2）求 2的分布列； （3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当 p 在什么范围时选择投资乙项 . 目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资 总额100%） 20如图，曲线 由曲线 C1：和曲线 C2： 组成，其中点 F1，F2为曲线 C1所在圆锥曲线的焦点，点 F3，F4 为曲线 C2所在圆锥曲线的焦点， （1）若 F2（2，0） ，F3（6，0） ，求曲线 的方程； （2）如图，作直线 l 平行于曲线 C2的渐近线，交曲线 C1于点 A
9、、B，求证：弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2的另一条渐近线上； （3）对于（1）中的曲线 ，若直线 l1过点 F4交曲线 C1于点 C、D，求CDF1面 积的最大值 21 设 f （x） =， 曲线 y=f （x） 在点 （1， f （1） ） 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直 （）求 a 的值； （）若对于任意的 x1，+） ，f（x）m（x1）恒成立，求 m 的取值范 围； （）求证：ln（4n+1）16（nN*） 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选选 修修 4-4：坐标系与参数方
10、程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，曲 . 线 C2的参数方程为 （ab0， 为参数） ，在以 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：= 与 C1，C2各有一个交点，当 =0 时，这 两个交点间的距离为 2，当 =时，这两个交点重合 （）分别说明 C1，C2是什么曲线，并求 a 与 b 的值； （）设当 =时，l 与 C1，C2的交点分别为 A1，B1，当 =时，l 与 C1， C2的交点分别为 A2，B2，求直线 A1 A2、B1B2的极坐标方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）=|x
11、a|，a0 （）证明 f（x）+f（）2； （）若不等式 f（x）+f（2x）的解集非空，求 a 的取值范围 . 2016-2017 学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在在每小题给出的四个每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1设集合 A=x|x2，B=y|y=2x1，xA，则 AB=（ ） A （，3） B2，3） C （，2） D （
12、1，2） 【考点】交集及其运算 【分析】由指数函数的值域和单调性，化简集合 B，再由交集的定义，即可得到 所求 【解答】解：集合 A=x|x2=（，2） ，B=y|y=2x1，xA， 由 x2，可得 y=2x1（1，3） ， 即 B=y|1y3=（1，3） ， 则 AB=（1，2） 故选：D 2已知复数 z=1i（i 为虚数单位） ，则的共轭复数是（ ） A13i B1+3i C1+3i D13i 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】把 z 代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z=1i，=， 的共轭复数为 13i 故选：A 3有一长、宽分别为 50m、30m 的游泳
13、池，一名工作人员在池边巡视，某时刻 . 出现在池边任一位置的可能性相同一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人 员， 其声音可传出， 则工作人员能及时听到呼唤 （出现在声音可传到区域） 的概率是（ ） A B C D 【考点】几何概型 【分析】 由题意可知所有可能结果用周长 160 表示， 事件发生的结果可用两条线 段的长度和 60 表示，即可求得 【解答】解：当该人在池中心位置时，呼唤工作人员的声音可以传，那么 当构成如图所示的三角形时，工作人员才能及时的听到呼唤声， 所有可能结果用周长 160 表示， 事件发生的结果可用两条线段的长度和 60 表示， 故选 B 4宋元时期数学名著算学启蒙中有
14、关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹 长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序 框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n 等于（ ） . A2 B3 C4 D5 【考点】程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当 n=1 时，a=，b=4，满足进行循环的条件， 当 n=2 时，a=，b=8 满足进行循环的条件， 当 n=3 时，a=，b=16 满足进行循环的条件， 当 n=4 时，a=，b=32 不满足进行循环的条件， 故输
15、出的 n 值为 4， 故选 C 5已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn=1+2an（n2） ，且 a1=2，则 S20（ ） A2191 B2212 C219+1 D221+2 【考点】数列的求和 【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出 【解答】 解： Sn=1+2an（n2） ， 且 a1=2， n2 时， an=SnSn1=1+2an （1+2an 1） ，化为：an=2an1， 数列an是等比数列，公比与首项都为 2 . S20=2212 故选：B 6已知圆 C：x2+y2=4，点 P 为直线 x+2y9=0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条 切线 PA、P
16、B，A、B 为切点，则直线 AB 经过定点（ ） A B C （2，0） D （9，0） 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】根据题意设 P 的坐标为 P（92m，m） ，由切线的性质得点 A、B 在以 OP 为直径的圆 C 上，求出圆 C 的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦 AB 所 在的直线方程，再求出直线 AB 过的定点坐标 【解答】解：因为 P 是直线 x+2y9=0 的任一点，所以设 P（92m，m） ， 因为圆 x2+y2=4 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B， 所以 OAPA，OBPB， 则点 A、B 在以 OP 为直径的圆上，即 AB 是圆 O 和圆 C 的公共弦，
17、 则圆心 C 的坐标是（，） ，且半径的平方是 r2=， 所以圆 C 的方程是（x）2+（y）2=， 又 x2+y2=4， 得， （2m9）xmy+4=0，即公共弦 AB 所在的直线方程是： （2m9）x my+4=0， 即 m（2xy）+（9x+4）=0， 由得 x=，y=， 所以直线 AB 恒过定点（，） ， 故选 A 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） . A B C D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底 面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体， 代入
18、 棱锥和棱柱的体积公式，可得答案 【解答】解：由已知中的三视图，可得： 该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上 角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体， 棱锥和棱柱的底面面积均为：S=，高均为 h=3， 故组合体的体积 V=Sh+ Sh=4， 故选：A 8设函数，若不论 x2取何值， f（x1）g（x2）对任意总是恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A B C D 【考点】函数恒成立问题 【分析】利用三角恒等变换化简得 g（x）=2sin（x+）2，依题意可得 f（x1） ming（x2）max=2，即当 x时，0ax2+2x1恒成立，通过分类讨论， . 即可求得
19、a 的取值范围 【 解 答 】 解 ： 函 数， = =2sin（x+）2，即 g（x）max=2， 因为不论 x2取何值，f（x1）g（x2）对任意 总是恒成立， 所以 f（x1）ming（x2）max， 即对任意，2 恒成立， 即当x时，0ax2+2x1恒成立， 1由 ax2+2x1得：ax22x，即 a=（）2， 令 h（x）=（）2， 因为， 所以，当=时，h（x）min=，故 a； 2由 0ax2+2x1 得：a， 令 t（x）=（ 1）21， 因为， 所以，当 x=即=时，t（）=（1）21=； 当 x=，即=时，t（ ）=（1）21=，显然， 即t（x）max=，故 a； 综合
20、12知，a， 故选：D . 9如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 B3C3上有 10 个不同的点 P1，P2，P10，记 mi=（i=1，2，10） ，则 m1+m2+m10 的值为（ ） A180 B C45 D 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】由题意可得，然后把 mi=转化为求得答 案 【解答】解：由图可知，B2AC3=30，又AC3B3=60， ，即 则， m1+m2+m10=1810=180 故选：A 10已知函数 f（x）是定义在 R 上的单调函数，且对任意的 x，yR 都有 f（x+y） =f（x）+f（y） ，若动点 P（x，y）满足等式 f（x2
21、+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则 x+y 的最大值为（ ） A25 B5 C2+5 D5 【考点】抽象函数及其应用 【分析】由条件可令 x=y=0，求得 f（0）=0，再由 f（x）为单调函数且满足的条 件，将 f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0 化为 f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0） ，可得 x2+y2+2x+8y+5=0， 配方后， 再令 x=1+2cos， y=4+2sin （ （0， 2） ） ， 运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值 【解答】解：对任意的 x，yR 都有 f（x+y）=f（x）+f（y） ， . 令 x=0，y=
22、0，都有 f（0+0）=f（0）+f（0）f（0）=0， 动点 P（x，y）满足等式 f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0， 即有 f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0） ， 由函数 f（x）是定义在 R 上的单调函数， 可得 x2+y2+2x+8y+5=0， 化为（x+1）2+（y+4）2=12， 可令 x=1+2cos，y=4+2sin（0，2） ） ， 则 x+y=2（cos+sin）5 =2cos（）5， 当 cos（）=1 即 =时，x+y 取得最大值 25， 故选：A 11数列an满足 a1=，an+11=an（an1） （nN*）且 Sn=+，则 Sn的整数部分
23、的所有可能值构成的集合是（ ） A0，1，2 B0，1，2，3 C1，2 D0，2 【考点】数列递推式 【分析】 数列an满足 a1=， an+11=an（an1）（nN*） 可得： an+1an= 0，可得：数列an单调递增可得 a2=，a3=，a4=.=1， =1另一方面： =，可得 Sn= +=3，对 n=1，2，3，n4，分类 讨论即可得出 【解答】解：数列an满足 a1=，an+11=an（an1） （nN*） 可得：an+1an=0，an+1an，因此数列an单调递增 则 a21= ，可得 a2=，同理可得：a3=，a4= =1， =1， . 另一方面： =， Sn=+ =+ =3
24、， 当 n=1 时，S1=，其整数部分为 0； 当 n=2 时，S2=+=1+，其整数部分为 1； 当 n=3 时，S3=+=2+，其整数部分为 2； 当 n4 时，Sn=2+1（2，3） ，其整数部分为 2 综上可得：Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是0，1，2 故选：A 12等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px（p0） ，O 为抛物线的顶点，OA OB， AOB 的面积是 16， 抛物线的焦点为 F， 若 M 是抛物线上的动点， 则 的最大值为（ ） A B C D 【考点】抛物线的简单性质 【分析】设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）
25、，利用 OA=OB 可求得 x1=x2，进而可求得 AB=4p，从而可得 SOAB设过点 N 的直线方程为 y=k （x+1） ，代入 y2=4x，过 M 作准线的垂线，垂足为 A，则|MF|=|MA|，考虑直线 与抛物线相切及倾斜角为 0，即可得出 p设 M 到准线的距离等于 d，由抛物 线的定义，化简为=，换元，利用基本不等式求得最大值 【解答】解：设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y12=2px1， y22=2px2 由 OA=OB 得：x12+y12=x22+y22， x12x22+2px12px2=0，即（x1x2） （x1+x2+2p）=
26、0， x10，x20，2p0， . x1=x2，即 A，B 关于 x 轴对称 直线 OA 的方程为：y=xtan45=x， 与抛物线联立，解得或， 故 AB=4p， SOAB=2p4p=4p2 AOB 的面积为 16，p=2； 焦点 F（1，0） ，设 M（m，n） ，则 n2=4m，m0，设 M 到准线 x=1 的距离等 于 d， 则= 令 m+1=t， t1， 则=（当且仅当 t=3 时， 等号成立） 故的最大值为， 故选 C 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13某校今年计划招聘女教师 x 人，男教师 y 人，
27、若 x、y 满足，则该 学校今年计划招聘教师最多 10 人 【考点】简单线性规划 【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为 z=x+y，利用线性规划的 . 知识进行求解即可 【解答】解：设 z=x+y， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=x+y 得 y=x+z， 平移直线 y=x+z， 由图象可知当直线 y=x+z 经过点 A 时， 直线 y=x+z 的截距最大， 此时 z 最大但此时 z 最大值取不到， 由图象当直线经过整点 E（5，5）时，z=x+y 取得最大值， 代入目标函数 z=x+y 得 z=5+5=10 即目标函数 z=x+y 的最大值为 10 故答案为：10 14
28、已知函数的两个零点分别为 m、n（mn） ，则 = 【考点】定积分；函数零点的判定定理 【分析】先求出 m，n，再利用几何意义求出定积分 【解答】解：函数的两个零点分别为 m、n（mn） ， m=1，n=1， . = 故答案为 15已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD底 面 ABC，G 为ABC 的重心，且直线 DG 与底面 ABC 所成角的正切值为，则球 O 的表面积为 【考点】球的体积和表面积 【分析】求出ABC 外接圆的直径，利用勾股定理求出球 O 的半径，即可求出球 O 的表面积 【解答】解：由题意，AG=2，AD=1， cosBAC=，
29、sinBAC=， ABC 外接圆的直径为 2r=， 设球 O 的半径为 R，R= 球 O 的表面积为， 故答案为 16已知是定义在 R 上的函数，且满足f（4）=0；曲线 y=f（x+1）关于点（ 1，0）对称；当 x（4，0）时，若 y=f（x） 在 x4，4上有 5 个零点，则实数 m 的取值范围为 3e4，1）e 2 【考点】函数零点的判定定理 【分析】可判断 f（x）在 R 上是奇函数，从而可化为当 x（4，0）时， ，有 1 个零点，从而转化为 xex+exm=0 在（4，0） 上有 1 个不同的解，再令 g（x）=xex+exm，从而求导确定函数的单调性及取值 范围，从而解得 .
30、【解答】3e4，1）e2 解：曲线 y=f（x+1）关于点（1，0）对称； 曲线 y=f（x）关于点（0，0）对称；f（x）在 R 上是奇函数， f（0）=0，又f（4）=0，f（4）=0， 而 y=f（x）在 x4，4上恰有 5 个零点， 故 x（4，0）时，有 1 个零点， x（4，0）时 f（x）=log2（xex+exm+1） ， 故 xex+exm=0 在（4，0）上有 1 个不同的解， 令 g（x）=xex+exm， g（x）=ex+xex+ex=ex（x+2） ， 故 g（x）在（4，2）上是减函数，在（2，0）上是增函数； 而 g（4）=4e4+e4m，g（0）=1m=m，g（
31、2）=2e2+e2m， 而 g（4）g（0） ， 故2e2+e2m104e4+e4m1， 故3e4m1 或 m=e2 故答案为：3e 4，1）e2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤步骤.） 17已知向量，设函数 +b （1）若函数 f（x）的图象关于直线对称，且 0，3时，求函数 f（x） 的单调增区间； （2）在（1）的条件下，当时，函数 f（x）有且只有一个零点，求 实数 b 的取值范围 【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 【分析】 （1）根据平面向量数
32、量积运算求解出函数+b，利用函数 f（x） 的图象关于直线对称，且 0，3时，求解 ，可求函数 f（x）的单调 . 增区间 （2）当时，求出函数 f（x）的单调性，函数 f（x）有且只有一个 零点，利用其单调性求解求实数 b 的取值范围 【解答】 解： 向量， 函数 +b 则= = （1）函数 f（x）图象关于直线对称， （kZ） ， 解得：=3k+1（kZ） ， 0，3， =1， ， 由， 解得：（kZ） ， 所以函数 f（x）的单调增区间为（kZ） （2）由（1）知， ， ， ，即时，函数 f（x）单调递增； ，即时，函数 f（x）单调递减 又， 当或时函数 f（x）有且只有一个零点 .
33、即 sinbsin 或， 所以满足条件的 18如图，已知四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，ABC=BCD=90，且 SA=AB=BC=2CD=2，E 是边 SB 的中点 （1）求证：CE平面 SAD； （2）求二面角 DECB 的余弦值大小 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （1）取 SA 中点 F，连结 EF，FD，推导出四边形 EFDC 是平行四边形， 由此能证明 CE面 SAD （2）在底面内过点 A 作直线 AMBC，则 ABAM，以 AB，AM，AS 所在直线 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 DECB 的余弦值
34、 【解答】证明： （1）取 SA 中点 F，连结 EF，FD， E 是边 SB 的中点， EFAB，且 EF=AB， 又ABC=BCD=90， ABCD， 又AB=2CD，且 EF=CD， 四边形 EFDC 是平行四边形， FDEC， 又 FD 平面 SAD，CE平面 SAD， . CE面 SAD 解： （2）在底面内过点 A 作直线 AMBC，则 ABAM， 又 SA平面 ABCD， 以 AB，AM，AS 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（2，2，0） ，D（1，2，0） ，D（1，2，0） ，E （1，0，1） ， 则=（
35、0，2，0） ，=（1，0，1） ，=（1，0， ） ， =（1，2，1） ， 设面 BCE 的一个法向量为 =（x，y，z） ， 则，取 x=1，得 =（1，0，1） ， 同理求得面 DEC 的一个法向量为 =（0，1，2） ， cos=， 由图可知二面角 DECB 是钝二面角， 二面角 DECB 的余弦值为 19某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建 设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为 1（万元）的概率分布列如 表所示： 1 110 120 170 P m 0.4 n 且 1的期望 E（1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润 2（万元）与
36、该项 . 目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二 和第三季度进行产品的价格调整， 两次调整相互独立， 且调整的概率分别为 p （0 p1）和 1p，乙项目产品价格一年内调整次数 X（次）与 2的关系如表所 示： X（次） 0 1 2 2 41.2 117.6 204.0 （1）求 m，n 的值； （2）求 2的分布列； （3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当 p 在什么范围时选择投资乙项 目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资 总额100%） 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （1）利
37、用概率和为 1，期望值列出方程组求解即可 （2）2的可能取值为 41.2，117.6，204.0，求出概率，得到 2的分布列； （3）利用期望关系，通关二次函数求解最值即可 【解答】解： （1）由题意得：， 得：m=0.5，n=0.1 （2）2的可能取值为 41.2，117.6，204.0，P（2=41.2）=（1p）1（1p）=p （1p） P（2=204.0）=p（1p） 所以 2的分布列为 2 41.2 117.6 204.0 P p（1p） p2+（1p）2 p（1p） （3） 由 （2） 可得： =10p2+10p+117.6 根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需 E（
38、1）E（2） ， 即 12010p2+10p+117.6，得 0.4p0.6 因为， . 所以当时，E（2）取到最大值为 120.1， 所以预测投资回报率的最大值为 12.01% 20如图，曲线 由曲线 C1：和曲线 C2： 组成，其中点 F1，F2为曲线 C1所在圆锥曲线的焦点，点 F3，F4 为曲线 C2所在圆锥曲线的焦点， （1）若 F2（2，0） ，F3（6，0） ，求曲线 的方程； （2）如图，作直线 l 平行于曲线 C2的渐近线，交曲线 C1于点 A、B，求证：弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2的另一条渐近线上； （3）对于（1）中的曲线 ，若直线 l1过点 F4交曲线 C1于点
39、 C、D，求CDF1面 积的最大值 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （1）由 F2（2，0） ，F3（6，0） ，可得，解出即可； （2）曲线 C2的渐近线为，如图，设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（x0， y0） ，设直线 l：y=，与椭圆方程联立化为 2x22mx+（m2a2）=0， 利用0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可 （3）由（1）知，曲线 C1：，点 F4（6，0） 设直线 l1的方程 为 x=ny+6（n0） 与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数 . 的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性
40、质即可得出 【解答】 （1）解：F2（2，0） ，F3（6，0） ， ， 解得， 则曲线 的方程为和 （2）证明：曲线 C2的渐近线为， 如图，设直线 l：y=， 则，化为 2x22mx+（m2a2）=0， =4m28（m2a2）0， 解得 又由数形结合知 设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（x0，y0） ， 则 x1+x2=m，x1x2= ， =， ，即点 M 在直线 y=上 （3）由（1）知，曲线 C1：，点 F4（6，0） 设直线 l1的方程为 x=ny+6（n0） ，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0， =（48n）2464（5+4n2）0，化为 n21 设 C（
41、x3，y3） ，D（x4，y4） ， . ， |y3y4|= =， =， 令 t=0，n2=t2+1， =，当且仅当 t=，即 n=时等号成 立 n=时， = 21 设 f （x） =， 曲线 y=f （x） 在点 （1， f （1） ） 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直 （）求 a 的值； （）若对于任意的 x1，+） ，f（x）m（x1）恒成立，求 m 的取值范 围； （）求证：ln（4n+1）16（nN*） 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （）求出原函数的导函数，结合 f（1）=1 列式求得 a 值； （）把（）中求得的 a 值代入函数
42、解析式，由 f（x）m（x1）得到 ，构造函数，即 x1，+） ，g（x） 0然后对 m 分类讨论求导求得 m 的取值范围； （） 由 （） 知， 当x1 时， m=1 时，成立 令， 然后分别取 i=1，2，n，利用累加法即可证明结论 【解答】 （）解： . 由题设 f（1）=1，即 a=0； （） 解：， x1， +） ， f （x） m （x1） ， 即， 设，即 x1，+） ，g（x）0 ，g（1）=44m 若 m0，g（x）0，g（x）g（1）=0，这与题设 g（x）0 矛盾； 若 m（0，1） ，当，g（x）单调递增，g（x） g（1）=0，与题设矛盾； 若 m1，当 x（1，+）
43、 ，g（x）0，g（x）单调递减，g（x）g（1） =0，即不等式成立； 综上所述，m1 （）证明：由（）知，当 x1 时，m=1 时，成立 不妨令， ， 即， ， 累加可得：ln（4n+1）16（nN*） 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 . 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，曲 线 C2的参数方程为 （ab0， 为参数） ，在以 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：= 与 C1
44、，C2各有一个交点，当 =0 时，这 两个交点间的距离为 2，当 =时，这两个交点重合 （）分别说明 C1，C2是什么曲线，并求 a 与 b 的值； （）设当 =时，l 与 C1，C2的交点分别为 A1，B1，当 =时，l 与 C1， C2的交点分别为 A2，B2，求直线 A1 A2、B1B2的极坐标方程 【考点】简单曲线的极坐标方程 【分析】 （） 曲线 C1的直角坐标方程为 x2+y2=1，C1是以（0，0）为圆心，以 1 为半径的圆， 曲线 C2的直角坐标方程为=1， C2是焦点在x轴上的椭圆 当 =0 时，射线 l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0） ， （a，0） ，当时，
45、 射线 l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1） ， （0，b） ，由此能求出 a，b （） C1，C2的普通方程分别为 x2+y2=1 和 ，当时，射线 l 与 C1的交点 A1的横坐标为， 与 C2的交点 B1的横坐标为， 当 时，射线 l 与 C1，C2的交点 A2，分别与 A1，B1关于 x 轴对称，由此能求出直线 A1 A2 和 B1B2的极坐标方程 【解答】 （本题满分 10 分） 【选修 44 坐标系统与参数方程】 解： （）曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 曲线 C1的直角坐标方程为 x2+y2=1，C1是以（0，0）为圆心，以 1 为半径的 圆， 曲线 C2的参数方程为（ab0， 为参数） ， 曲线 C2的直角坐标方程为=1，C2是焦点在 x 轴上的椭圆 当 =0 时，射线 l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0） ， （a，0） ， 这两点间的距离为 2，a=3 . 当时，射线 l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1） ， （0，b） ， 这两点重合，b=1 （） C1，C2的普通方程分别为 x2+y2
