1、 . 数学数学试卷（理科）试卷（理科） 第第卷（卷（选择选择题题 共共 6060 分）分） 一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 2 1logAxNxk，集合A中至少有 3 个元素，则（ ） A8k B8k C16k D16k 2.若1zii，则z等于（ ） A1 B 3 2 C 2 2 D 1 2 3.在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十 一，请问尖头几盏灯？”这首
2、古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有 7 层，每层悬挂的红灯数 是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A5 B6 C4 D3 4.已知双曲线 22 22 :10 0 xy Cab ab ，的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为（ ） A 1 4 yx B 1 3 yx C. 1 2 yx Dyx 5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A4 B9 C.7 D5 6.已知函数 cos0f xAx的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ） . A函数 f x的最小正周期为 2 3 B函数 f x的图象可由 cosg xAx的图象向右平移 12 个单位得
3、到 C.函数 f x的图象关于直线 12 x 对称 D函数 f x在区间 42 ，上单调递增 7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 1 0 x f x x ， 为有理数 ， 为无理数 ，称为狄利克 雷函数，则关于函数 f x有以下四个命题： 1ff x； 函数 f x是偶函数； 任意一个非零有理数T， f xTf x对任意xR恒成立； 存在三个点 112233 A xf xB xf xC xf x，使得ABC为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ） A4 B3 C.2 D1 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A10 B20 C.40 D60 9.
4、已知A、B是椭圆 22 22 10 xy ab ab 长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点， 直线AM、 BN的斜率分别为 121 2 0kkk k ，若椭圆的离心率为 3 2 ，则 12 kk的最小值为（ ） A1 B2 C. 3 2 D3 10.在棱长为 6 的正方体 1111 ABCDABC D中，M是BC的中点，点P是面 11 DCC D所在的平面内的动点，且 满足APDMPC ，则三棱锥PBCD的体积最大值是（ ） A36 B12 3 C.24 D18 3 . 11.已知函数 3 ln 1 0 11 0 xx f x xx ， ， ，若 f xax恒成立，则实数a的取值范
5、围是（ ） A 2 0 3 ， B 3 0 4 ， C.0 1， D 3 0 2 ， 12.已知过抛物线 2 :20G ypx p焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方） ，满足 3MFFN， 16 3 MN ，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ） A 2 2 12 316 333 xy B 2 2 1316 333 xy C. 2 2 32 316xy D 2 2 3316xy 第第卷（卷（非非选择题选择题 共共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.若x、y满足
6、约束条件 10 0 40 x xy xy ，则 1y x 的最大值为 14.在ABC中，3 5ABAC，若O为ABC外接圆的圆心（即满足OAOBOC） ，则AO BC的值 为 15.已知数列 n a的各项均为正数， 11 1 4 2 nn nn aaa aa ，若数列 1 1 nn aa 的前n项和为 5，则 n 16.过抛物线 2 20ypx p的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的的交点 为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若 48AFFBBA BC，则抛物线的方程为 三、解答题三、解答题 （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、
7、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为 abc， ，已知4 6 2bcCB，. （1）求cosB的值； （2）求ABC的面积. 18. （本小题满分 12 分） 如图所示，在三棱柱 111 ABCABC中， 11 AA B B为正方形， 11 BBC C为菱形， 11 60BBC，平面 11 AA B B 平 . 面 11 BBC C. （1）求证： 11 BCAC； （2）设点E、F分别是 1 B C， 1 AA的中点，试判断直线EF与平面ABC的位置关系，并说明理由； （3）求二面角 1 BA
8、CC的余弦值. 19. （本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知 00 R xy，是椭圆 22 :1 2412 xy C上的一点，从原点O向圆 22 00 :8Rxxyy作两条切线，分别交椭圆于P，Q. （1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程； （2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为 12 kk，求 12 kk，的值； （3）试问 2 2 OPOQ是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 20.（本小题满分 12 分） 设椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，上顶点为A，过A与 2 AF垂直的直
9、线交x轴负 半轴于Q点，且 122 20FFF Q. （1）求椭圆C的离心率； （2）若过A、Q、 2 F三点的圆恰好与直线330xy相切，求椭圆C的方程； （3）过 2 F的直线l与（2）中椭圆交于不同的两点M、N，则 1 FMN的内切圆的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分 12 分） . 已知0t ，设函数 32 31 31 2 t f xxxtx . （1）存在 0 0 2x ，使得 0 f x是 f x在0 2，上的最大值，求t的取值范围； （2） 2 x f xxem对任意0 )x，恒成立时，m的最大值为 1，求t
10、的取值范围. 请考生在请考生在 2222、2323 两两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知圆锥曲线 2cos : 3sin x C y （为参数）和定点 0 3A， 1 F、 2 F是此圆锥曲线的左、右焦点，以原 点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线 2 AF的直角坐标方程； （2）经过点 1 F且与直线 2 AF垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求 12 MFNF的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设
11、34f xxx. （1）解不等式 2f x ； （2）若存在实数x满足 1f xax，试求实数a的取值范围. 2 2016016- -20172017 学学年度高三上学期四调考试年度高三上学期四调考试 高高三年级数学试卷（理科）三年级数学试卷（理科） 一、选择题 1-5：CCDCB 6-10:DABAA 11、12：BC . 二、填空题 13.2 14.8 15.120 16. 2 4yx 三、解答题 17.【答案】 （1） 3 4 ； （2）15 7 4 . 试题解析： （1）在ABC中， sinsin bc BC ，因为4 6 2bcCB，所以 46 sinsin2BB ，即 46 sin
12、2sincosBBB ，又sin0B ， 3 cos 4 B . （2）由（1）知 3 cos 4 B ，从而 7 sin 4 B . 因此 3 7 sinsin22sincos 8 CBBB， 2 1 coscos22cos1 8 CBB .所以 7133 75 7 sinsinsinsincoscossin 484816 ABCBCBCBC， 所以ABC的面积为 15 715 7 46 2164 . 18.证明： （1）连接 1 BC，在正方形 11 ABB A中， 1 ABBB， 1 BC 平面 1 ABC，因为 1 AC 平面 1 ABC，所以 11 BCAC. （2）EF平面ABC，
13、理由如下： 取BC的中点G，连接GE、GA，因为E是 1 B C的中点，所以 1 GEBB，且 1 1 2 GEBB，因为F是 1 AA的中点，所以 1 1 2 AFAA. 在正方形 11 ABB A中， 1111 AABBAABB，所以GEAF，且GEAF. 四边形GEFA为平行四边形，所以EFGA. 因为EFABC平面，GAABC平面， 所以EFABC平面. （3）在平面 11 BBC C内过点B作 1 BzBB， . 由（1）可知： 11 ABBBC C 平面，以点B为坐标原点，分别以BA、 1 BB所在的直线为x、y轴，建立如图 所示的空间直角坐标系Bxyz，设2 0 0A， ，则 1
14、 0 2 0B， ，. 在菱形 11 BBC C中， 11 60BBC，所以 0 1 3C， 1 0 1 3C， ，. 设平面 1 ACC的一个法向量为 1xyn， ，. 因为 1 0 0 n AC n CC 即 12 1 30 10 2 00 xy xy ， ， ， ， ， ， 所以 3 2 0 x y 即 3 0 1 2 n ， ， 由（1）可知： 1 CB是平面 1 ABC的一个法向量. 所以 1 1 1 3 0 10 3 3 2 7 cos 73 193 4 n CB nCB nCB ， ， ， ， 所以二面角 1 BACC的余弦值为 7 7 . 19.【答案】 （1） 22 2 22
15、 28xy； （2） 1 2 ； （3）36. 试题解析： （1）由圆R的方程知圆R的半径2 2r ，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以 24ORr，即 22 00 16xy 又点R在椭圆C上，所以 22 00 1 2412 xy 联立，解得 0 0 2 2 2 2 x y ，所以，所求圆R的方程为 22 2 22 28xy . （2）因为直线 1 :OP yk x和 2 :OQ yk x都与圆R相切，所以 100 2 1 2 2 1 k xy k ， 200 2 2 2 2 1 k xy k ，化简得 2 0 12 2 0 8 8 y kk x ，因为点 00 R xy，在椭圆C
16、上，所以 22 00 1 2412 xy ，即 22 00 1 12 2 yx，所以 2 0 12 2 0 1 4 1 2 28 x k k x （3）方法一（1）当直线OP、OQ不落在坐标轴上时，设 11 P xy， 22 Q xy， 由（2）知 12 210k k ，所以 12 12 2 1 y y x x ，故 2222 1212 1 4 y yx x，因为 11 P xy， 22 Q xy，在椭圆C上，所 以 22 11 1 2412 xy ， 22 22 1 2412 xy ， 即 22 11 1 12 2 yx， 22 22 1 12 2 yx，所以 2222 1212 111 1
17、212 224 xxx x ， 整理得 22 12 24xx，所以 2222 1212 11 121212 22 yyxx ， 所以 2222222222 11221212 36OPOQxyxyxxyy. 方法（二） （1）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设 11 P xy， 22 Q xy， 联立 22 1 2412 ykx xy ，解得 2 221 11 22 11 2424 1212 k xy kk ，所以 2 1 22 11 2 1 24 1 12 k xy k . 同理，得 2 2 22 22 2 2 24 1 12 k xy k ，由（2） 12 210k k ，得 12 1 2
18、 k k . 所以 22 12 222222 1122 22 12 24 124 1 1212 kk OPOQxyxy kk 2 2 2 1 1 1 222 11 1 1 24 1 2 24 1 3672 36 1212 1 12 2 k k k kk k . （2）当直线OP、OQ落在坐标轴上时，显然有 22 36OPOQ. 综上： 22 36OPOQ. 20.试题解析： （1）由题0 Ab， 1 F为 2 QF的中点.设 12 0 0FcF c ，则3 0Qc， . 3 AQcb ， 2 AFcb，由题 2 AQAF，即 22 2 30AQ AFcb ， 222 30cac即 22 4ac
19、， 1 2 c e a . （2）由题 2 RtQAF外接圆圆心为斜边 2 QF的中点 1 0Fc ，半径2rc， 由题 2 RtQAF外接圆与直线330xy相切，dr，即 3 2 2 c c ，即34cc， 1c ，22ac，3b ，故所求的椭圆C的方程为 22 1 43 xy . （3）设 11 M xy， 22 N xy，由题 12 yy，异号， 设 1 FMN的内切圆的半径为R，则 1 FMN的周长为48a ， 1 11 1 4 2 F MN SMNFMF NRR ， 因此要使 1 FMN内切圆的面积最大，只需R最大，此时 1 F MN S也最大， 1 121212 1 2 F MN
20、SFFyyyy ， 由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为1xmy， 由 22 1 1 43 xmy xy 得 22 34690mymy， 由韦达定理得 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， （0mR ） 1 2 2 121212 2 121 4 34 F MN m Syyyyy y m ， 令 2 1tm，则1t ， 1 2 1212 1 1 31 3 F MN t St t t t ， 当1t 时， 1 4 F MN SR 有最大值 3，此时，0m ， max 3 4 R， 故 1 FMN的内切圆的面积的最大值为 9 16 ，此时直线l的方程为1
21、x . 21.解析： （1） 2 331331fxxtxtxxt， 当01t 时， f x在0 t，上单调递增，在 1t ，单调递减，在1 2，单调递增， 2f tf，由 2f tf，得 32 34tt在01t 时无解， . 当1t 时，不合题意； 当12t 时， f x在0 1，单调递增，在1 t，递减，在 2t ，单调递增， 12 12 ff t 即 13 3 22 12 t t ， 5 2 3 t ， 当2t 时， f x在0 1，单调递增，在1 2，单调递减，满足条件， 综上所述： 5 ) 3 t，时，存在 0 0 2x ，使得 0 f x是 f x在0 2，上的最大值. （2） 32
22、 31 312 2 x t xxtxxem 对任意0 )x，恒成立， 即 322 3131 3131 22 xx tt mxexxtxx exxt 对任意0 )x，恒成立，令 2 31 3 2 x t g xexxt ，0 )x，根据题意，可以知道m的最大值为 1，则 2 31 30 2 x t g xexxt 恒成立， 由于 01 30gt ，则 1 0 3 t ， 当 1 0 3 t 时， 31 2 2 x t gxex ，则 2 x gxe，若 20 x gxe，则 gx在0 ln2，上递 减，在ln2 ，上递增，则 max 3 ln2212ln20 2 gxgt， g x在0 )，上是
23、递增的函 数. 01 30g xgt ，满足条件，t的取值范围是 1 (0 3 ，. 22.解： （1）曲线 2cos : 3sin x C y 可化为 22 1 43 xy ， 其轨迹为椭圆，焦点为 1 1 0F ， 2 1 0F，. 经过 0 3A，和 2 1 0F，的直线方程为1 13 xy ，即330xy. （2）由（1）知，直线 2 AF的斜率为3，因为 2 lAF，所以l的斜率为 3 3 ，倾斜角为30， 所以l的参数方程为 3 1 2 1 2 xt yt (t为参数). 代入椭圆C的方程中，得 2 1312 3360tt. . 因为 MN，在点 1 F的两侧，所以 1112 12 3 13 MFNFtt. 23.解： （1） 72 3 341 34 27 4 xx f xxxx xx ， ， ， ， 作函数 yf x的图象，它与直线2y 交点的横坐标为 5 2 和 9 2 ，由图象知不等式 2f x 的 解集为 59 22 ，. （2）函数1yax的图象是过点0 1，的直线， 当且仅当函数 yf x与直线1yax有公共点时，存在题设的x. 由图象知，a的取值范围为 1 2 ) 2 ，.
