1、 . 河北省衡水中学河北省衡水中学 20172017 届高三下学期二调考试届高三下学期二调考试 理科数学理科数学 第第卷卷 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. . 1.设集合 |2Ax x， |21, x By yxA，则AB （ ） A(,3) B2,3) C(,2) D( 1,2) 2.已知复数1zi （i为虚数单位） ，则 2 2 z z 的共轭复数的虚部是（ ） A1 3i B1 3i C1
2、 3i D1 3i 3.有一长、宽分别为50m、30m的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一 位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出15 2m，则工作人 员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ） A 3 4 B 3 8 C 3 16 D12 3 32 4.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长五尺，松日自半， 竹日自倍，松竹何日而长等，下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的, a b分别为 5、2，则输 出的n（ ） A 2 B 3 C. 4 D5 5.已知数列 n a的前n项和为 n S，若1 2
3、(2) nn Sa n ，且 1 2a ，则 20 S（ ） A 19 21 B 21 22 C. 19 21 D 21 22 6.已知圆C： 22 4xy， 点P为直线290xy上一动点， 过点P向圆C引两条切线,PA PB， ,A B为切点，则直线AB经过定点（ ） A 4 8 ( , ) 9 9 B 2 4 ( , ) 9 9 C. (2,0) D(9,0) 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） . A4 3 B5 3 C. 6 3 D8 3 8. 2 1 2 ( )log (21)f xaxx， 22sin(2) 6 ( ) sin3cos x g x xx ，若不论
4、 2 x取何值，对 12 ( )()f xg x任 意 1 73 , 10 2 x 总是恒成立，则a的取值范围是（ ） A 7 (,) 10 B 4 (,) 5 C. 63 (,) 80 D 404 (,) 495 9.如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，边 33 B C上有 10 个不同的点 1210 ,P PP，记 2 (1,2,10) ii mABAP i，则 1210 mmm的值为（ ） A15 3 B45 C. 60 3 D180 10.已知函数( )f x是定义在R上的单调函数，且对任意的, x yR都有()( )( )f xyf xf y， 若动点( , )P
5、 x y满足等式 22 (22)(83)0f xxf yy，则xy的最大值为（ ） A 2 65 B -5 C. 2 65 D5 11.数列 n a满足 1 4 3 a ， * 1 (1)() nnn aa anN ，且 12 111 n n S aaa ，则 n S的整数部分 . 的所有可能值构成的集合是（ ） A0,1,2 B0,1,2,3 C. 1,2 D0,2 12.等腰直角三角形AOB内接于抛物线 2 2(0)ypx p，O为抛物线的顶点，OAOB，AOB 的面积是 16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则 | | OM MF 的最大值为（ ） A 3 3 B 6 3 C.
6、2 3 3 D 2 6 3 第第卷卷 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若, x y满足 25 2 6 xy xy x ，则该学校今年计划招聘 教师最多 人 14.已知函数 2 ( )2 sin() 1 2 f xxxx 的两个零点分别为, ()m n mn，则 2 1 n m x dx 15.已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，5ABAC，8BC ，AD 底面ABC， G为ABC的重心， 且直线DG与底面ABC所成角的正切值为 1 2 ， 则球O的表面
7、积为 16.已知是定义在R上的函数，且满足(4)0f；曲线(1)yf x关于点( 1,0)对称；当 ( 4,0)x 时， 2 | | ( )log (1) x x x f xem e ，若( )yf x在 4,4x 上有 5 个零点，则实数m 的取值范围为 三、 解答题三、 解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题， 共小题， 共 7070 分分. .解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. .） 17. 已知向量( 3sin,1)mx， 2 (cos,cos1)nxx，设函数( )f xm nb （1）若函数( )f x的图象关于直线 6 x 对称
8、，且0,3时，求函数( )f x的单调增区间； （2）在（1）的条件下，当 7 0, 12 x 时，函数( )f x有且只有一个零点，求实数b的取值范围 18. 如图，已知四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，90ABCBCD ，且 2SAABBCCD，E是边SB的中点 . （1）求证：/CE平面SAD； （2）求二面角DECB的余弦值大小 19. 某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投 资甲项目一年后可获得的利润为 1 （万元）的概率分布列如表所示： 且 1 的期望 1 ( )120E；若投资乙项目一年后可获得的利润 2 （万元）与该项目建
9、设材料的成本 有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两 次调整相互独立，且调整的概率分别为(01)pp和1p，乙项目产品价格一年内调整次数X （次）与 2 的关系如表所示： （1）求,m n的值； （2）求 2 的分布列； （3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项 目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额100%） 20. 如图，曲线由曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Caby ab 和曲线 . 22 2 22 :1(0,0,0) xy Caby ab 组成， 其中点 12
10、 ,F F为曲线 1 C所在圆锥曲线的焦点， 点 34 ,F F为 曲线 2 C所在圆锥曲线的焦点 （1）若 23 (2,0),( 6,0)FF ，求曲线的方程； （2）如图，作直线l平行于曲线 2 C的渐近线，交曲线 1 C于点,A B，求证：弦AB的中点M必在 曲线 2 C的另一条渐近线上； （3）对于（1）中的曲线，若直线 1 l过点 4 F交曲线 1 C于点,C D，求 1 CDF的面积的最大值 21. 设 (4)ln ( ) 31 xax f x x ，曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线与直线10xy 垂直 （1）求a的值； （2）若对于任意的1,)x，( )(1)f xm
11、 x恒成立，求m的取值范围； （3）求证： * 1 ln(41)16() (41)(43) n i i nnN ii 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos sin x y （为参数） ，曲线 2 C的参数方程为 cos sin xa yb （0,ab为参数） ，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 : l与 12 ,C C各有一个交点，当0时，这两个交点间的距离为 2，当 2
12、时，这两个交点 重合 . （1）分别说明 12 ,C C是什么曲线，并求a与b的值； （2） 设当 4 时，l与 12 ,C C的交点分别为 11 ,A B， 当 4 时，l与 12 ,C C的交点分别为 22 ,A B， 求直线 1212 ,A A B B的极坐标方程 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数( ) |,0f xxa a （1）证明： 1 ( )()2f xf x ； （2）若不等式 1 ( )(2 ) 2 f xfx的解集是非空集，求a的范围 来源:163文库 . 试卷答案试卷答案 1-12 DABCC AADDA BC 13. 10 14. 2 15. 634 9 16.
13、42 3,1)ee 17. 解：向量 ( 3sin,1)mx ， (cos,cos21)nxx ， 2 ( )3sincoscos1f xm nbxxxb 3133 sin2cos2sin(2) 22262 xxbxb （1）函数( )f x图象关于直线 6 x 对称， 2() 662 kkZ ，解得：31()kkZ，0,3，1， 3 ( )sin(2) 62 f xxb ，由222 262 kxk ， 解得：() 36 kxkkZ ， 所以函数( )f x的单调增区间为,() 36 kkkZ （2）由（1）知 3 ( )sin(2) 62 f xxb ， 7 0, 12 x ， 4 2, 6
14、63 x ， 2, 66 2 x ，即0, 6 x 时，函数( )f x单调递增； 4 2, 663 x ，即 7 , 6 12 x 时，函数( )f x单调递减来源:学.科.网 又(0)() 3 ff ， 当 7 ()0() 312 ff 或()0 6 f 时函数( )f x有且只有一个零点 即 435 sinsin 326 b 或 3 10 2 b， 所以满足条件的 335 ( 2, 22 b 18 （1）证明：取SA中点F，连接EF，FD， . E是边SB的中点，/EFAB，且 1 2 EFAB， 又90ABCBCD ，/ABCD，又2ABCD，即 1 2 CDAB/EFCD，且 EFC
15、D， 四边形EFDC为平行四边形， /FDEC， 又FD 面SAD，CE 面SAD， CE面SAD （2）解：在底面内过点A作直线/AMBC，则ABAM，又SA平面ABCD， 以,AB AM AS所在直线分别为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图 设2AB ，则(0,0,0), (2,0,0),(2,2,0),(1,2,0),(1,0,1)ABCDE， 则(0,2,0),( 1,0,1)BCBE ，( 1,0,0),( 1, 2,1)CDCE ， 设面BCE的一个法向量为( , , )nx y z，则 0 0 n BC n BE ，即 20 0 y xz 令1x ，则1z ，(1,0,
16、1)n 同理可求面DEC的一个法向量为(0,1,2)m ， 10 cos, 5| n m n m n m ， 由图可知，二面角DECB是钝二面角， 所以其平面角的余弦值为 10 5 . 19. 解： （1）由题意得： 0.41 110120 0.4 170120 mn mn ， 得：0.5,0.1mn （2） 2 的可能取值为 41.2，117.6，204.0， 2 (41.2)(1)1 (1)(1)Ppppp 22 2 (117.6)1 (1)(1)(1)(1)Ppppppp 2 (204.0)(1)Ppp 所以 2 的分布列为 2 41.2 117.6 204.0 P (1)pp 22 (
17、1)pp (1)pp （3）由（2）可得： 22 2 ()41.2(1) 117.6 (1) 204.0(1)Epppppp来源:163文库 2 1010117.6pp 根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需 12 ( )()EE，即 2 1201010117.6pp ，得0.40.6p 因为 2 2 ()1010117.6Epp ，所以当 1 2 P 时， 2 ()E取到最大值为120.1，所以预测投资 回报率的最大值为12.01%. 20.（） 222 222 3620 416 aba abb ， 则曲线的方程为 22 1(0) 2016 xy y和 22 1(0) 2016
18、xy y （）曲线 2 C的渐近线为 b yx a ,如图，设直线:() b l yxm a . 则 22 22 () 1 b yxm a xy ab 222 22()0xmxma 22222 (2 )4 2 ()4(2)022mmaamama 又由数形结合知ma，2ama 设点 112200 ( ,), (,),(,)A x yB xyM xy，则 12 22 12 2 xxm ma x x ， 12 0 22 xxm x ， 00 () 2 bbm yxm aa 00 b yx a ，即点M在直线 b yx a 上. （）由（）知，曲线 22 1: 1(0) 2016 xy Cy，点 4(
19、6,0) F 设直线 1 l的方程为6(0)xnyn 22 22 1 (45)48640 2016 6 xy nyny xny 222 (48 )4 64 (45)01nnn 设 3344 (,),(,)C x yD xy，由韦达定理： 34 2 34 2 48 45 64 45 n yy n y y n 2 2 343434 2 1 |()416 5 45 n yyyyy y n 11 41 4 22 1434 22 1111 | |8 16 564 5 224545 CDFCF FDF F nn SSSFFyy nn 令 2 10tn ， 22 1nt， 1 2 1 64 564 5 9
20、49 4 CDF t S t t t . 0t ， 9 412t t ，当且仅当 3 2 t ，即 13 2 n 时等号成立 13 2 n 时， 1max 116 5 64 5 123 CDF S 21.（） 2 4 (4ln )(31)3(4)ln ( ) (31) xa xxxax x fx x 由题设 (1) 1f， 4 1 4 a 0a. （） 4 ln ( ) 31 xx f x x ，1,)x ，( )(1)f xm x，即 1 4ln(32)xmx x 设 1 ( )4ln(32)g xxmx x ，即1,)x ，( )0g x . 2 22 4134 ( )(3) mxxm g
21、 xm xxx ， (1) 44gm 若 0,( )0mg x，( )(1)0g xg，这与题设( )0g x 矛盾 若(0,1)m，当 2 243 (1,),( )0 3 m xg x m ，( )g x单调递增，( )(1)0g xg，与题设矛 盾. 若1m，当 (1,),( )0xg x，( )g x单调递减，( )(1)0g xg，即不等式成立 综上所述，1m . （）由（）知，当1x 时， 1m时， 11 ln(32) 4 xx x 成立. 不妨令 41 43 i x i ， * iN，所以 4116 ln 43(41)(43) ii iii ， 4 116 ln 43(4 1)(4
22、3) 4 2 116 2 ln 4 23(4 2 1)(4 23) 4 3 116 3 ln 4 3 3(4 3 1)(4 3 3) . 4116 ln 43(41)(43) nn nnn 累加可得 * 1 ln(41)16() (41)(43) n i i nnN ii 22 （本题满分 10 分） 【选修 44 坐标系统与参数方程】 () 1 C是圆， 2 C是椭圆 当0时，射线l与 1 C， 2 C交点的直角坐标分别为(1,0),( ,0)a， 因为这两点间的距离为 2，所以3a ； 当 2 时，射线l与 1 C， 2 C交点的直角坐标分别为(0,1),(0, )b， 因为这两点重合，所
23、以1b. () 1 C， 2 C的普通方程分别为 22 1xy和 2 2 1 9 x y 当 4 时，射线l与 1 C的交点 1 A的横坐标为 2 2 x ，与 2 C的交点 1 B的横坐标为 3 10 10 x 当 4 时，射线l与 1 C， 2 C的交点 2 A，分别与 1 A， 1 B关于x轴对称 因此直线 12 A A、 12 B B垂直于极轴，故直线 12 A A和 12 B B的极坐标方程分别为来源:学&科&网 Z&X&X&K 2 sin 2 ， 3 10 sin 10 来源:ZXXK 23()函数( ) |,0f xxa a 则 1111 ( )() | | |f xfxaaxaaxaa xxxx 111 | | 2 | |2xxx xxx () ( )(2 ) |2|,0f xfxxaxa a 当xa时，( )223f xaxaxax， 则( )f xa ， 当 2 a ax时，( )2f xxaaxx ， 则( ) 2 a f xa ； 当 2 a x 时，( )232f xxaxaxa， 则( ) 2 a f x ， . 于是( )f x的值域为,) 2 a 由不等式 1 ( )(2 ) 2 f xfx的解集是非空集， 即 1 22 a ， 解得1a，由于0a，则a的取值范围是( 1,0).
