1、第六章第六章 桁架、摩擦、重心桁架、摩擦、重心 61平面简单桁架的内力分析平面简单桁架的内力分析 62摩擦摩擦 63滑动摩擦滑动摩擦 64考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑滑动摩擦时的平衡问题 65滚动摩擦滚动摩擦 66平行力系的中心、物体的重心平行力系的中心、物体的重心由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统桁架桁架 6-1 6-1 平面简单桁架的内力分析平面简单桁架的内力分析工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构工程中的桁架结构桁架桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。桁架的特点：直杆
2、，不计自重，均为二力杆；杆端铰接；外力作用在节点上。力学中的桁架模型力学中的桁架模型(三角形有稳定性三角形有稳定性(c)工程力学中常见的桁架简化计算模型工程力学中常见的桁架简化计算模型,0X0BX,0)(FmA,0)(FmB024 PYB042ANPkN 5,0BABYNX解解：研究整体，求支座反力一、节点法一、节点法 例例 已知：如图P=10kN，求各杆内力？依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。0X030cos012SS0Y030sin01 SNA)(kN10,kN66.812表示杆受压解得SS0X0Y030cos30cos0104SS030sin30sin04013SSS11SS 代入
3、kN 10,kN 10:43SS解得kN 66.75S解得0X025SS后代入22SS 节点节点D的另一个方程可用来校核计算的另一个方程可用来校核计算结果结果0Y03SP,kN 103解得S恰与 相等,计算准确无误。3S解解：研究整体求支反力 0X0AX0BM023aPaPaYPYA0Am由04aYhSAhPaS40Y0sin5PSYA05S0X0cos456AXSSShPaS 6二、截面法二、截面法例例 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。选截面 I-I，取左半部研究IIA说明说明 ：节点法：用于设计，计算全部杆内力节点法：用于设计，计算全部杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力
4、截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力先把杆都设为拉力,计算结果为负时计算结果为负时,说明是压说明是压力，与所设方向相反。力，与所设方向相反。三杆节点无载荷、其中两杆在三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零杆一条直线上，另一杆必为零杆21SS且四杆节点无载荷、其中两两在四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆一条直线上，同一直线上两杆内力等值、同性。内力等值、同性。21SS43SS两杆节点无载荷、且两杆不在两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零杆。一条直线上时，该两杆是零杆。三、特殊杆件的内力判断三、特殊杆件的内力判断021 SS例例3 已知 P
5、 d,求：a.b.c.d四杆的内力？解解：由零杆判式0adcSSS研究A点：0Y由045cosPSobPSb2前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。例例6-2 6-2 摩摩 擦擦平衡必计摩擦 一、为什么研究摩擦？二、怎样研究摩擦，掌握规律 利用其利，克服其害。三、按接触面的运动情况看：摩擦分为 滑动摩擦 滚动摩擦 1、定义定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。(就是接触面对物体作用的切向约束反力)2、状态状态：静止：临界：（将滑未滑）滑动：PF)(不固定值FPNfFma
6、xNfF6-36-3 滑动摩擦滑动摩擦一、静滑动摩擦力一、静滑动摩擦力所以增大摩擦力的途径为：加大正压力N,加大摩擦系数f （f 静滑动摩擦系数）（f 动摩擦系数）二、动滑动摩擦力二、动滑动摩擦力：与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动 大小：（无平衡范围）动摩擦力特征动摩擦力特征 方向：与物体运动方向相反 定律：（f 只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）max0FF 0XNfFmaxNfFNfF3、特征：特征：大小：(平衡范围)满足静摩擦力特征静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反 定律：(f 只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。)maxFm三、摩擦角：三、摩擦角：定义：
7、当摩擦力达到最大值 时其全反力 与法线的夹角 叫做摩擦角摩擦角。fNNfNFmmaxtg计算：四、自锁四、自锁定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦力与正压力（即全反力），自己把自己卡紧，不会松开（无论外力多大），这种现象称为自锁。当 时，永远平衡（即自锁）自锁条件：m摩擦系数的测定摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下滑时测出角，tg=f,(该两种材料间静摩 擦系数)fNNfNFmmaxtg自锁应用举例6-46-4考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑滑动摩擦时的平衡问题 考虑摩擦时的平衡问题，一般是对临界状态求解，这时可列出 的补充方程。其它解法与平面任意力系相同。只是平衡常是一个范围（从
8、（从例子说明）。例子说明）。NfFmax例例1 已知：=30，G=100N，f=0.2 求：物体静止时，水平力Q的平衡范围。当水平力Q=60N时，物体能否平衡？解解：先求使物体不致于上滑的 图(1)maxQNfFGQNYFGQXmaxmaxmaxmax :0cossin ,0 0sincos ,0 补充方程由tg1tg :maxffGQ解得tgtg1tgtgmm G)(tgmG tgtg1tgtg)(tg:mmm应用三角公式同理同理：再求使物体不致下滑的 图(2)minQ)(tg tg1tgsin coscossinmminGffGGffQ解得：平衡范围应是平衡范围应是maxminQQQ例例2
9、 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩 擦系数f=0.5,求 多大时，梯子能处于平衡？解解：考虑到梯子在临界平衡状 态有下滑趋势，做受力图。)2(0 ,0 )1(0,0 PFNYFNXBAAB由)5()4(BBAANfFNfF)3(0sincoscos2 ,0minminminlNlFlPmBBA)3(1,1,1:222代入解得fPPFffPNfPNBBA022min87365.025.01arctg21arctg:ff得注意注意，由于不可能大于 ，所以梯子平衡倾角 应满足 9000908736 由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，下图的受力分析看出一个问题，即此物体平衡，但没有完
10、全满足平衡方程。)(0,00,00,0不成立rQMNPYFQXAQ与与F形成主动力偶使前滚形成主动力偶使前滚6-56-5滚动摩擦滚动摩擦 出现这种现象的原因是，出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变在力的作用下都会发生一些变形，如图：形，如图：此力系向A点简化 滚阻力偶M随主动力偶（Q,F）的增大而增大;有个平衡范围;滚动滚动 摩擦摩擦 与滚子半径无关;滚动摩擦定律：，d 为滚动摩擦系数。max0MM maxMNMdmax滚阻力偶与主动力偶（滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡相平衡d滚动摩擦系数滚动摩擦系数 d d 的说明的说明：有
11、长度量纲，单位一般用mm,cm；与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。d 的物理意义见图示。根据力线平移定理，将N和M合成一个力N，N=NNMd NdNdMd d 从图中看出，滚阻力偶从图中看出，滚阻力偶M的力偶臂正是的力偶臂正是d d（滚阻系数），滚阻系数），所以，所以，d d 具有长度量纲具有长度量纲。由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶不计，即滚动摩擦忽略不计。偶不计，即滚动摩擦忽略不计。d 摩擦摩擦习题课习题课 本章小结本章小结 一、概念一、概念：1、摩擦力、摩擦力-是一种切向约束反力，方向总是 与物体运动趋势方向相反。a.
12、当滑动没发生时 Ff N (F=P 外力)b.当滑动即将发生时 Fmax=f N c.当滑动已经发生时 F=f N (一般f 动 f 静)2、全反力与摩擦角全反力与摩擦角 a.全反力R（即F 与N 的合力）b.当时，物体不动（平衡）。3、自锁自锁 当时自锁。m m 二、内容二、内容：1、列平衡方程时要将摩擦力考虑在内；、列平衡方程时要将摩擦力考虑在内；2、解题方法：、解题方法：解析法解析法 几何法几何法 3、除平衡方程外，增加补充方程、除平衡方程外，增加补充方程 (一般在临界平衡一般在临界平衡 4、解题步骤同前。、解题步骤同前。状态计算）状态计算）三、解题中注意的问题三、解题中注意的问题：1、
13、摩擦力的方向不能假设，要根据物体运动趋势来判断。、摩擦力的方向不能假设，要根据物体运动趋势来判断。（只有在摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向）（只有在摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向）2、由于摩擦情况下，常常有一个平衡范围，所以解也常常是、由于摩擦情况下，常常有一个平衡范围，所以解也常常是 力、尺寸或角度的一个平衡范围。（原因是力、尺寸或角度的一个平衡范围。（原因是 和和 ）NfFmaxmNfF四、例题四、例题例例1 作出下列各物体 的受力图例例2 作出下列各物体的受力图 P P 最小维持平衡 P P 最大维持平衡状态受力图；状态受力图例例3 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩
14、擦系数f=0.1,求能自锁的倾斜角。解：研究楔块，受力如图0cos)cos(,01RRX由1:RR由二力平衡条件时能自锁即当极限状态又26112)(261124351.0tg ,1.0tg2 ,0001f例例4 已知：B块重Q=2000N，与斜面的摩擦角=15，A块与 水 平面的摩擦系数f=0.4，不计杆自 重。求：使B块不下滑，物块A最小 重量。解：解：研究B块，若使B块不下滑QQRSRSXQRQRY)(ctg )sin()cos()cos(0)cos(,0)sin(0)sin(,0由)N(500020004.0)1530(ctg)(ctg,0,0 QffSPPfNfSFSX再研究A块练习练
15、习1 已知：Q=10N，f 动=0.1 f 静=0.2求：P=1 N;2N,3N 时摩擦力F？解：解：N2,0 ,N 2PFXP由时所以物体运动：此时N11.010fNF动（没动，（没动，F 等于外力）等于外力）（临界平衡）（临界平衡）（物体已运动）（物体已运动）N2102.0 maxNfF静N1,0 ,N 1 PFXP由时N2N3 ,N 3maxFPP时练习练习2 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。求：使物体平衡时块C的重量Q=？解：解：A不动（即i点不产 生 平移）求QN2505005.0 11NfFTA由于1N25
16、05005.0T0)cos1010(cossin10sin15QQT分析轮有0coscossin101522QT)N(208)541(1025015cos11015TQ0Em由 E 点不产生水平位移)531000(2.02.0:QNfNFE即Qmi可得由0)N(3848.73000 :068.13000 :0)cos5.0cos(sin10)6.01000(2.0150)5cos10(cossin10sin1522QQQQQQQF即化简 B轮不向上运动，即N0;0sin,0QGNYB由)N(16706.01000,0531000sinQQQGNB显然,如果i,E两点均不产生运动,Q必须小于20
17、8N,即)N(208maxQ 补充方程 fNF21QQPf 当时，能滚过去（这是小球与地面的f 条件）21QQPf练习练习3 已知：P、D、d、Q1、Q2，P为水平。求：在大球滚过小球时，f=?解解：研究整体FPX,0由fQQP)(21将、代入得：要保证大球滚过小球，必须使大球与小球之间不打滑要保证大球滚过小球，必须使大球与小球之间不打滑21,0QQNY0cos)90cos(,010NFPXPFDPDFmO,022,0由求大球与小球之间的f,研究大球0cossin1NPP补充方程 fFNfNF11 ,将代入得：0cossinfPPP又dDDddDdDdDdD2sin1cos,2222sin2当
18、 时能滚过小球Ddf 结论：结论：当 和时能保证大球能滚过小 球的条件。Ddf 21QQPf Ddfsin1cos解得：注注大球与小球间的大球与小球间的f又一种求法：又一种求法：1tgQPf 解：解：作法线AH和BH 作A,B点的摩擦角 交E,G两点 E,G两点间的水平距 离l为人的 活 动范围练习练习4 水平梯子放在直角V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面间的摩擦系数（摩擦角均为），如人在梯子上走动，试分析不使梯子滑动，人的活动应限制在什么范围内？l090AGBAEB)60cos()30sin()60cos()30cos()60sin()30cos(000000ABBGBDABAEAC所以人在
19、AC和BD段活动都不能满足三力平衡必汇交的原理，只有在只有在CD段段活动时活动时，才能满足三力平衡必汇交，能交上（有交点）证明证明：由几何关系 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C就是此空间平行力系的空间平行力系的中心中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。6-66-6平行力系的中心、物体的重心平行力系的中心、物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心1 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理：)()(iOOFmRmnnCFrFrFrRr22110110,PFFPRR令nnCrFrFrFrR2211iiinnCFrFRrFrF
20、rFr2211RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC ,:投影式如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。由合力矩定理：iiCxPxP物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，常用积分法求物体的重心位置。二、重心坐标公式二、重心坐标公式：niiCyPyP 根据物体的重心位置与物体放置的位置无关的性质，将物体与坐标系统绕x轴转动力90，再应用合力矩定理对 x 轴取矩得：iiCzPPz综合上述得重心坐标公式重心坐标公式为：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC ,若以Pi=mig ,P=Mg 代入上式可得质心公式MzmzMymy
21、MxmxiiCiiCiiC ,设 i表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积，则 ，代入上式并取极限，可得：式中 ，上式为重心重心C 坐标的精确公式坐标的精确公式。PdVzzPdVyyPdVxxVCVCVC,iiiVPVdVP对于均质物体，=恒量，上式成为：VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC,同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC,:立体AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC,:平板lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,:细杆解解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段dRdLRdRLdLxxLC2cos 2sinRxC下面用积分法求物体的重心实例求物体的重心实例：例例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。Ocos Rx三、重心的求法三、重心的求法：组合法cm4.6 212211SSySySAyAyiiC由解解：cm248 cm4 21,80cm212 221)R(y,y,RSS 求：该组合体的重心？已知：0)(FmB由01CxPlP称PlPxC1称简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。实验法：悬挂法称重法
