1、数学数学学科核心学科核心素养导向的素养导向的教材设计与教学实施教材设计与教学实施章建跃（人民教育出版社 课程教材研究所）一、引子：为什么要强调整体单元教学一、引子：为什么要强调整体单元教学（一）课程方案和课程标准的变化（一）课程方案和课程标准的变化 为为建立核心素养与课程教学的内在联系，充分建立核心素养与课程教学的内在联系，充分挖掘挖掘各学科课程教各学科课程教学对全面贯彻党的教育方针、落实立德树人根本学对全面贯彻党的教育方针、落实立德树人根本任务任务、发展素质、发展素质教育的教育的独特育人价值独特育人价值，各学科，各学科基于学科本质凝练了本基于学科本质凝练了本学科学科的核心的核心素养素养，明确
2、了学生学习该学科课程后应达成的正确价值，明确了学生学习该学科课程后应达成的正确价值观念观念、必、必备品格和关键备品格和关键能力能力。更新了教学内容。进一步更新了教学内容。进一步精选精选了学科内容，重视以了学科内容，重视以学科大学科大概念概念为为核心，使课程内容核心，使课程内容结构化结构化，以，以主题主题为引领，使课程内容为引领，使课程内容情境化情境化，促进促进学科核心素养的落实。学科核心素养的落实。明确各学科学业评价标准明确各学科学业评价标准 各学科明确学生完成本学科学习各学科明确学生完成本学科学习任务后任务后，学科核心素养应该达到，学科核心素养应该达到的水平，各水平的关键表现构成评价的水平，
3、各水平的关键表现构成评价学业学业质量的标准质量的标准。引导引导教学更加关注育人目的，更加注重培养学生核心教学更加关注育人目的，更加注重培养学生核心素养素养，更加，更加强调提高学生综合运用知识解决实际问题的强调提高学生综合运用知识解决实际问题的能力能力；帮助教师和帮助教师和学生把握教与学的深度和广度，为阶段性评价、学业学生把握教与学的深度和广度，为阶段性评价、学业水平考试水平考试和升学和升学考试命题提供重要依据，考试命题提供重要依据，促进教、学、考有机衔促进教、学、考有机衔接，形成接，形成育人合力育人合力。课程标准的教学与评价建议课程标准的教学与评价建议 在教学活动中，教师应在教学活动中，教师应
4、准确把握课程目标、课程内容、学业准确把握课程目标、课程内容、学业质量质量的要求，合理设计教学目标，并通过相应的教学实施，在学生的要求，合理设计教学目标，并通过相应的教学实施，在学生掌掌握握知识技能的同时，促进数学学科核心素养的提升及水平的达成知识技能的同时，促进数学学科核心素养的提升及水平的达成。在在教学与评价中，要关注学生对具体内容的掌握情况，更要关注教学与评价中，要关注学生对具体内容的掌握情况，更要关注学生学生数学学科核心素养水平的表现；要关注数学学科核心素养各数学学科核心素养水平的表现；要关注数学学科核心素养各要素的要素的不同特征及要求，更要关注数学学科核心素养的不同特征及要求，更要关注
5、数学学科核心素养的综合性综合性与与整体性整体性。教师应结合相应的教学内容，落实教师应结合相应的教学内容，落实“四基四基”，培养培养“四四能能”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展，达到相应促进学生数学学科核心素养的形成和发展，达到相应水平水平的的要求，部分学生可以达到更高水平的要求。要求，部分学生可以达到更高水平的要求。学科知识结构图学科知识结构图 哲学思考哲学思考 学科学科 应用广泛、统摄性强应用广泛、统摄性强 一般观念一般观念 能揭示学科本质，形成方法论能揭示学科本质，形成方法论 学科视角学科视角 有效掌握四基、四能有效掌握四基、四能 核心概念与思想方法核心概念与思想方法 形成数学知识的
6、自我生长能力形成数学知识的自我生长能力 统摄性较低的统摄性较低的 基本事实、概念、定理基本事实、概念、定理杨振宁：爱因斯坦杨振宁：爱因斯坦-机遇与眼光机遇与眼光 洛伦兹有数学，但没有物理学；庞加莱有哲学，但也没有物理学。洛伦兹有数学，但没有物理学；庞加莱有哲学，但也没有物理学。正是正是26岁的爱因斯坦敢于质疑人类关于时间的原始观念，坚持同岁的爱因斯坦敢于质疑人类关于时间的原始观念，坚持同时性是相对的，才能从而打开了通向微观世界的新物理之门时性是相对的，才能从而打开了通向微观世界的新物理之门。洛伦兹和庞加莱都没有抓住那个时代的机遇。他们致力于当时最洛伦兹和庞加莱都没有抓住那个时代的机遇。他们致力
7、于当时最重要的问题之一，即运动系统中的电动力学。可是他们都错失其重要的问题之一，即运动系统中的电动力学。可是他们都错失其重点，因为他们死守着旧观念，正如洛伦兹自己后来所说的一样。重点，因为他们死守着旧观念，正如洛伦兹自己后来所说的一样。爱因斯坦没有错失重点是因为他对于时空有更自由的眼光。爱因斯坦没有错失重点是因为他对于时空有更自由的眼光。要有自由的眼光要有自由的眼光(free perception)，必须能够同时近观和远看同一，必须能够同时近观和远看同一课题课题。远距离眼光。远距离眼光(distant perception)这一常用词就显示了保持这一常用词就显示了保持一定距离在任何研究工作中的
8、必要性。可是只有远距离眼光还不一定距离在任何研究工作中的必要性。可是只有远距离眼光还不够，必须与近距离的探索相结合。够，必须与近距离的探索相结合。正是这种能自由调节、评价与正是这种能自由调节、评价与比较远近观察的结果的能力形成了自由的眼光比较远近观察的结果的能力形成了自由的眼光。按照这一比喻，。按照这一比喻，我们可以说洛伦兹失败了是因为他只有近距离眼光，而庞加莱失我们可以说洛伦兹失败了是因为他只有近距离眼光，而庞加莱失败了是因为他只有远距离眼光败了是因为他只有远距离眼光。杰出教师对我国中小学教师现状的判断“人民教育家人民教育家”于漪（于漪（1929.2.7出生）出生）“现在的教师缺乏两样东西，
9、一是独立思考，二是学科知识，本领不扎实，都是“一课一练”培养出来的。基础教育与科学研究不是一回事，基础教育是整体的，不是分支的，它更重要的是“基础”，基础是要整体构架的，我们的教师最缺少对自己所教学科知识的整体构架，这样他们就兜不转。”余慧娟余慧娟 任国平任国平.办教育要明晰办教育要明晰“根在哪里，走向何方根在哪里，走向何方”访于漪老师访于漪老师J.J.人民教育：人民教育：20182018（2424），），p22.p22.二、数学学科核心素养导向的二、数学学科核心素养导向的教材设计关教材设计关注注的几个主要问题的几个主要问题（一）明确基本套路，增强教学的整体性（一）明确基本套路，增强教学的整体
10、性1.函数的基本套路函数的基本套路 集合（概念、关系、运算）集合（概念、关系、运算）函数的一般概念与基本性质函数的一般概念与基本性质基本初等函数；基本初等函数；函数的一般概念：背景函数的一般概念：背景概念概念性质性质应用；应用；基本初等函数：背景基本初等函数：背景概念概念图象与性质图象与性质应用；应用；导数：物理背景、几何背景导数：物理背景、几何背景概念概念运算及运算法则运算及运算法则应应用用。2.几何的基本套路几何的基本套路 背景背景概念概念判定、性质判定、性质结构（联系）结构（联系）应用。应用。3.向量向量的基本的基本套路套路 背景背景概念概念运算及其性质（运算的几何性质、运算律）运算及其
11、性质（运算的几何性质、运算律）联系（向量基本定理及坐标表示）联系（向量基本定理及坐标表示）应用。应用。4.概率概率的基本的基本路径路径 预备知识：样本点、样本空间，随机事件，事件的关系和运算预备知识：样本点、样本空间，随机事件，事件的关系和运算 随机现象随机现象概率的定义及表示概率的定义及表示概率的性质、运算法则概率的性质、运算法则古古典概型、频率的稳定性等典概型、频率的稳定性等概率的计算、随机模拟试验概率的计算、随机模拟试验 归纳以上各条主线的研究路径，其基本要点都是：归纳以上各条主线的研究路径，其基本要点都是：背景背景（一类（一类事物的实例事物的实例）概念（研究对象）概念（研究对象）性质（
12、要素、性质（要素、相关要素之间的关系、变化规律等）相关要素之间的关系、变化规律等）结构（相关知识的联结构（相关知识的联系）系）应用。应用。（二）加强一般观念的指导发展理性思维（二）加强一般观念的指导发展理性思维 所谓一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提所谓一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对
13、事物答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用灯的作用。能能自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，是学生学会学自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，是学生学会学习的标志，习的标志，是是实现实现从从“知其然知其然”到到“知其所以然知其所以然”再到再到“知何由知何由以知其所以然以知其所以然”跨越跨越的的表现表现，也是理性思维得到良好发展的表现。也是理性思维得到良好发展的表现。例例“运算运算”是代数学的一般观念是代数学的一般观念“代数学的根源在于代数代数学的根
14、源在于代数运算运算”，因此因此“运算运算”是一般是一般观念。数观念。数系扩充中的核心问题就是为了解决加法、乘法和乘方逆运算的需系扩充中的核心问题就是为了解决加法、乘法和乘方逆运算的需要。要。“引进一种新的数，就要研究关于它的运算；定义一种运算，引进一种新的数，就要研究关于它的运算；定义一种运算，就要研究运算律就要研究运算律”是代数的核心思想。同时，运算也是解决代数是代数的核心思想。同时，运算也是解决代数问题的基本方法，我们可以通过运算发现和提出问题，通过运算问题的基本方法，我们可以通过运算发现和提出问题，通过运算发现数据中的规律，通过运算归纳出代数定理发现数据中的规律，通过运算归纳出代数定理等
15、式的性质与不等式的性质等式的性质与不等式的性质通过运算研究函数通过运算研究函数指数函数概念的抽象：指数函数概念的抽象：探究：探究：我们我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次作减法得到知道，年增加量是对相邻两年的游客人次作减法得到的的。能否能否通过对通过对B地景区每年的游客人次作其他运算发现游客人地景区每年的游客人次作其他运算发现游客人次的变化规律呢？次的变化规律呢？通过计算年增长率得出规律后，教材在边空中给出了一个总结，通过计算年增长率得出规律后，教材在边空中给出了一个总结，明示了运算在发现规律中的重要作用明示了运算在发现规律中的重要作用：作：作减法可以得到游客人次减法可以得到游客人次的年增
16、加量，作除法可以得到游客人次的年的年增加量，作除法可以得到游客人次的年增长率增长率。增加增加量、增量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。通过运算发现和证明函数通过运算发现和证明函数性质性质：与初中通过图象直观定性描述函数性质比较，高中阶段要在图象与初中通过图象直观定性描述函数性质比较，高中阶段要在图象直观的基础上，通过代数运算研究函数性质。在指数函数的研究直观的基础上，通过代数运算研究函数性质。在指数函数的研究中中，要要特别特别注意引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再注意引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握
17、指数函数的运算法则和变化规律；到实数指数幂的拓展过程，掌握指数函数的运算法则和变化规律；而具体函数变化规律的研究则而具体函数变化规律的研究则更要更要借助借助运算运算来来实现实现。以以“运算运算”贯穿贯穿“数列数列”一章的一章的始终始终 在在求数列通项公式的过程中，教材在显著位置提示求数列通项公式的过程中，教材在显著位置提示学生：学生：“当不当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律如逐次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，对差或律如逐次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，对差或商加以观察商加以观察”；通过通过“
18、思考思考”栏目，引导学生通过运算探究等差数列的取值栏目，引导学生通过运算探究等差数列的取值规律：规律：“在代数的学习中，我们总是通过运算来发现规律。例如，在指在代数的学习中，我们总是通过运算来发现规律。例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变两地旅游人数的变化规律。类似的，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？化规律。类似的，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？”在等比数列节引言中在等比数列节引言中提出：提出：“等差数列的特征是等差数列的特征是从第从第2项起，项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数每一项与它的前一项的差等于同一个
19、常数，类比等差数列的研，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？得研究的？”在分析等比数列的具体实例后，通过在分析等比数列的具体实例后，通过“探究：类比探究：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？值规律？”引导学生抽象等比数列概念引导学生抽象等比数列概念。（三）加强获得（三）加强获得数学对象数学对象的过程发展数学的过程发展数学抽象素养抽象素养 抽象研究对象是数学研究的首要任务，是把握数学对象的第一步。抽抽象研究对
20、象是数学研究的首要任务，是把握数学对象的第一步。抽象研究对象的过程就是学生获得数学核心概念的过程，对数学学习具象研究对象的过程就是学生获得数学核心概念的过程，对数学学习具有奠基性作用，也是发展学生数学抽象素养的主要契机有奠基性作用，也是发展学生数学抽象素养的主要契机。抽象抽象过程不充分，数学对象不明确过程不充分，数学对象不明确，后续，后续研究就无法展开研究就无法展开。采取采取“一个定义，三项注意一个定义，三项注意”的的“告诉式告诉式”教学，致使学生对将要研教学，致使学生对将要研究的对象不甚了了究的对象不甚了了，是，是导致学生数学学习困难的导致学生数学学习困难的主因之一。主因之一。获得研究对象的
21、过程就是使学生经历获得研究对象的过程就是使学生经历“从事实到概念从事实到概念”的数学化过程，的数学化过程，即通过数学抽象而明确概念的内涵、要素，并用数学语言予以表征即通过数学抽象而明确概念的内涵、要素，并用数学语言予以表征（下定义），再通过分类（划分）而明确概念的外延。显然，这对发（下定义），再通过分类（划分）而明确概念的外延。显然，这对发展学生的数学素养意义展学生的数学素养意义重大重大。例例 几何对象的抽象过程几何对象的抽象过程 抽象一个（类）几何图形的逻辑顺序是：定义抽象一个（类）几何图形的逻辑顺序是：定义表示表示分类分类。定义定义给出了几何图形本质特征的确切而简要的陈述。一个几何图形的给
22、出了几何图形本质特征的确切而简要的陈述。一个几何图形的本质特征是指其组成要素的形状及位置关系（如相交、平行、垂直本质特征是指其组成要素的形状及位置关系（如相交、平行、垂直等）。以此为指导思想，通过对典型实例的分析、归纳得出共性，再等）。以此为指导思想，通过对典型实例的分析、归纳得出共性，再抽象、概括出几何图形的组成要素的形状及位置关系，然后用严谨的抽象、概括出几何图形的组成要素的形状及位置关系，然后用严谨的数学术语作出表述，就得到了几何图形的定义数学术语作出表述，就得到了几何图形的定义。教学教学中，一定要让学生在明确中，一定要让学生在明确“几何图形的要素、要素之间的关系各几何图形的要素、要素之
23、间的关系各指什么指什么”的基础上，对的基础上，对“这类图形的组成要素是什么这类图形的组成要素是什么”、“要素的形要素的形状如何状如何”、“要素之间有什么位置关系要素之间有什么位置关系”等展开分析、归纳、类比的等展开分析、归纳、类比的思维活动，这样才能做到有的放矢。思维活动，这样才能做到有的放矢。第二第二，几何，几何对象的对象的表示与众不同，表示与众不同，有符号语言、文字语言和图形有符号语言、文字语言和图形语言等多种方式。特别是符号语言的使用，使数学表达具有简洁语言等多种方式。特别是符号语言的使用，使数学表达具有简洁性、明确性、抽象性、逻辑性等融为一体的特点，可以极大地缩性、明确性、抽象性、逻辑
24、性等融为一体的特点，可以极大地缩减数学思维过程，减轻大脑的负担，更有利于我们认识和表达数减数学思维过程，减轻大脑的负担，更有利于我们认识和表达数学对象的本质。所以，在抽象研究对象阶段，要重视数学对象的学对象的本质。所以，在抽象研究对象阶段，要重视数学对象的符号表示。符号表示。第三，以要素的特征与关系为标准对几何图形进行分类。第三，以要素的特征与关系为标准对几何图形进行分类。分类是理解数学对象的重要一环分类是理解数学对象的重要一环。一一个数学对象的具体例子不胜枚举，按某种特征对个数学对象的具体例子不胜枚举，按某种特征对它们分类，它们分类，就就使这一对象所包含的事物条理化、结构化，并可由此确定一种
25、分使这一对象所包含的事物条理化、结构化，并可由此确定一种分类研究的路径，使后续研究顺序展开类研究的路径，使后续研究顺序展开。分类分类就是把研究对象归入一定的系统和级别，形成有内在层级关就是把研究对象归入一定的系统和级别，形成有内在层级关系的系的“子类子类”系统结构，从而就进一步明确了数学对象所含事物系统结构，从而就进一步明确了数学对象所含事物之间的逻辑关系，由此可以极大地增强之间的逻辑关系，由此可以极大地增强“子类特征子类特征”的可预见性，的可预见性，从而也就有利于我们发现数学对象的性质从而也就有利于我们发现数学对象的性质。（四）（四）在探究数学对象性质的过程中发展在探究数学对象性质的过程中发
26、展逻辑推理、数学运算素养逻辑推理、数学运算素养1.数学性质指什么数学性质指什么 探究一个数学对象的性质，一方面是为了更深入地认识这个对象，探究一个数学对象的性质，一方面是为了更深入地认识这个对象，另一方面是为了能更好地解决与其相关的数学与现实问题。这里，另一方面是为了能更好地解决与其相关的数学与现实问题。这里，首先要清楚数学性质的表现方式，明确首先要清楚数学性质的表现方式，明确“性质性质”所要研究的问题所要研究的问题是什么，这样才能使探究活动有的放矢、富有成效，使性质的发是什么，这样才能使探究活动有的放矢、富有成效，使性质的发现成为必然而不是现成为必然而不是“撞大运撞大运”。函数性质函数性质“
27、变化中的规律性变化中的规律性”、“变化中的不变性变化中的不变性”是它们的共性，这是是它们的共性，这是函数性质的基本表现形式。函数性质的基本表现形式。函数性质的研究，更加关键的是对刻画变量关系、变化规律的数函数性质的研究，更加关键的是对刻画变量关系、变化规律的数学方法的研究，即通过直角坐标系建立函数的不同表示之间的联学方法的研究，即通过直角坐标系建立函数的不同表示之间的联系，通过数形结合（代数运算和图像直观相结合）的方法展开研系，通过数形结合（代数运算和图像直观相结合）的方法展开研究，最终结果是用精确的代数语言、微积分的语言表达。事实上，究，最终结果是用精确的代数语言、微积分的语言表达。事实上，
28、要实现对函数性质的精确研究，必须使用导数工具，通过极限运要实现对函数性质的精确研究，必须使用导数工具，通过极限运算才能完成。算才能完成。几何几何性质性质 几何学几何学是研究几何图形的形状、大小和位置关系的科学。由此，是研究几何图形的形状、大小和位置关系的科学。由此，图形的形状特征、大小度量及位置关系就是几何性质的基本问题。图形的形状特征、大小度量及位置关系就是几何性质的基本问题。几何性质所研究的主题是与相应的几何对象相关的几何元素之间几何性质所研究的主题是与相应的几何对象相关的几何元素之间的相互关系的相互关系位置关系、（定性或定量的）大小关系。位置关系、（定性或定量的）大小关系。高中高中阶段的
29、几何，重点在以向量、直角坐标系为工具，用代数方阶段的几何，重点在以向量、直角坐标系为工具，用代数方法研究几何图形的性质。例如，在直角坐标系中，我们利用确定法研究几何图形的性质。例如，在直角坐标系中，我们利用确定椭圆的几何要素（焦距和长轴），建立椭圆的方程，再通过方程椭圆的几何要素（焦距和长轴），建立椭圆的方程，再通过方程研究其性质。因此，熟悉代数工具的性质又是前提。研究其性质。因此，熟悉代数工具的性质又是前提。代数代数性质性质 代数代数性质比几何性质要庞杂得多。我们知道，代数的研究对象是性质比几何性质要庞杂得多。我们知道，代数的研究对象是数量关系。数量关系。“代数学的根源在于代数运算，也即加、
30、减、乘、除、代数学的根源在于代数运算，也即加、减、乘、除、乘方、开方等等乘方、开方等等”，因此代数性质也是与运算紧密关联的，因此代数性质也是与运算紧密关联的。代数性质总是与运算相关，通过归纳发现和证明代数性质总是与运算相关，通过归纳发现和证明“运算中的规律运算中的规律性，运算中的不变性性，运算中的不变性”是代数性质的研究主题。是代数性质的研究主题。概率的概率的性质性质（五）（五）创设情境提出问题引导学生开展系创设情境提出问题引导学生开展系列化数学学习活动列化数学学习活动“情境与问题情境与问题”专指教材或教学中创设的教学情境及其相伴相随专指教材或教学中创设的教学情境及其相伴相随的数学问题。无论是
31、教材还是教学，情境与问题的设计都具有关的数学问题。无论是教材还是教学，情境与问题的设计都具有关键的意义，如何提高教学情境的质量，使学生能够在情境的引导键的意义，如何提高教学情境的质量，使学生能够在情境的引导下发现和提出问题，是一个值得下大力气研究的问题。下发现和提出问题，是一个值得下大力气研究的问题。衡量情境与问题质量衡量情境与问题质量的的八个八个指标指标（1）目的明确目的明确，围绕当前的教学任务，能将学生的注意力吸引到，围绕当前的教学任务，能将学生的注意力吸引到教学任务上来；教学任务上来；（2）反映本质反映本质，情境中蕴含着新知识的要素，反映所学新知识的，情境中蕴含着新知识的要素，反映所学新
32、知识的本质，能引导学生从情境中提出数学问题、发现数学规律，能有本质，能引导学生从情境中提出数学问题、发现数学规律，能有效促进学生领悟知识所蕴含的数学思想和解决问题的方法；效促进学生领悟知识所蕴含的数学思想和解决问题的方法；（3）系统连贯系统连贯，以数学知识的发生发展过程为基本线索，形成一，以数学知识的发生发展过程为基本线索，形成一个循序渐进、具有内在逻辑关联的个循序渐进、具有内在逻辑关联的“情境与问题链情境与问题链”，其中，第，其中，第一个问题要有统摄性、贯通性，起到先行组织者的作用，随后的一个问题要有统摄性、贯通性，起到先行组织者的作用，随后的一系列问题要能引导学生的思维逐步走向所学知识的本
33、质一系列问题要能引导学生的思维逐步走向所学知识的本质；（4）自然而然自然而然，从知识的发生发展过程和相互联系中提出问题，从知识的发生发展过程和相互联系中提出问题，使问题具有逻辑的必然性；使问题具有逻辑的必然性；（5）难易适度难易适度，与学生认知水平相适应，在学生思维最近发展区，与学生认知水平相适应，在学生思维最近发展区内提出问题，对学生的思维形成适度的挑战性，为学生创造独立内提出问题，对学生的思维形成适度的挑战性，为学生创造独立思考空间，满足思考空间，满足“导而弗牵，强而弗抑，开而弗达导而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的要求，让的要求，让学生自己学生自己“捅破窗户纸捅破窗户纸”；（6）简明易懂简明
34、易懂，问题清晰、明确且有启发性，语言准确、无歧义，问题清晰、明确且有启发性，语言准确、无歧义且有条理性，学生不会因为情境与问题的字面意思难懂而发生理且有条理性，学生不会因为情境与问题的字面意思难懂而发生理解困难解困难；（7）恰时恰点恰时恰点，与学生的学习进程相协调，准确把握提问的时机，与学生的学习进程相协调，准确把握提问的时机，“想学生所想，问学生所问想学生所想，问学生所问”；（8）启迪创新启迪创新，“看过问题三百个，不会解题也会问看过问题三百个，不会解题也会问”，使学生，使学生逐渐学会自主提问。逐渐学会自主提问。例例 向量的数量积教学设计中的向量的数量积教学设计中的系列化情境与系列化情境与问
35、题问题 问题问题1 前面学习了向量的加、减和数乘运算，我们把这些运算统前面学习了向量的加、减和数乘运算，我们把这些运算统称为向量的线性运算。你能总结一下我们是如何研究这些运算的称为向量的线性运算。你能总结一下我们是如何研究这些运算的吗？吗？追问追问1：类比数的运算，你认为接下来还可以研究向量的什么运：类比数的运算，你认为接下来还可以研究向量的什么运算？算？追问追问2：如果向量能够做乘法运算，那么你认为应按怎样的路径：如果向量能够做乘法运算，那么你认为应按怎样的路径研究这种运算？研究这种运算？问题问题2 向量及其线性运算有明确的物理背景，在你学过的物理知向量及其线性运算有明确的物理背景，在你学过
36、的物理知识中，你认为哪一个概念可以作为识中，你认为哪一个概念可以作为“向量乘法向量乘法”的物理背景？的物理背景？追问追问1：你能分析一下功的定义中所涉及的要素吗？：你能分析一下功的定义中所涉及的要素吗？追问追问2：受此启发，你觉得要定义向量的乘法，我们需要先定义：受此启发，你觉得要定义向量的乘法，我们需要先定义什么？什么？教师引导学生讨论，得出向量夹角的教师引导学生讨论，得出向量夹角的概念概念后，提出后，提出 问题问题3 有了上述准备，你能给出向量乘法的定义吗？有了上述准备，你能给出向量乘法的定义吗？图1图2 问题问题5 接下来我们要研究数量积运算的性质。根据已有的研究经验，接下来我们要研究数
37、量积运算的性质。根据已有的研究经验，你认为可以从哪些角度研究数量积的性质？你认为可以从哪些角度研究数量积的性质？追问追问1：因为向量既是几何对象也是代数对象，所以向量运算的性质：因为向量既是几何对象也是代数对象，所以向量运算的性质一定既有几何性质也有代数性质。你认为应该怎样入手研究几何性质？一定既有几何性质也有代数性质。你认为应该怎样入手研究几何性质？在学生思考的基础上，提出如下在学生思考的基础上，提出如下“探究探究”任务：任务：从投影向量的探究中我们看到，两个非零向量从投影向量的探究中我们看到，两个非零向量a与与b相互平行或垂直时相互平行或垂直时的投影具有特殊性。这时，它们的数量积又有怎样的
38、特殊性？的投影具有特殊性。这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？追问追问2：回顾上面研究性质的过程，你能说说研究一种向量运算的几：回顾上面研究性质的过程，你能说说研究一种向量运算的几何性质时所采用的思想方法吗？何性质时所采用的思想方法吗？问题问题6前面从特殊向量及两个向量的特殊几何关系入手研究了数前面从特殊向量及两个向量的特殊几何关系入手研究了数量积的性质，你认为从代数角度应研究数量积的什么性质？量积的性质，你认为从代数角度应研究数量积的什么性质？追问：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你追问：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明
39、吗能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？问题问题7（课堂小结课堂小结）：（1）你能归纳一下本节课我们是如何研究向量的数量积运算的吗？）你能归纳一下本节课我们是如何研究向量的数量积运算的吗？（2）你认为定义向量的数量积时，应注意哪些问题？）你认为定义向量的数量积时，应注意哪些问题？（3）你认为我们可以利用投影向量解决怎样的问题？）你认为我们可以利用投影向量解决怎样的问题？（4）向量数量积的性质要研究的问题是什么？我们是如何发现这）向量数量积的性质要研究的问题是什么？我们是如何发现这些性质的些性质的？三、基于数学整体性的单元三、基于数学整体性的单元-课时教学设课时教学设计计 学生数学学科核心素
40、养水平的达成不是一蹴而就的，具有学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的，具有阶段性、阶段性、连续性、整合性连续性、整合性等特点。教师应理解不同数学学科核心素养水平等特点。教师应理解不同数学学科核心素养水平的具体要求，不仅关注每一节课的教学目标，更要关注主题、单的具体要求，不仅关注每一节课的教学目标，更要关注主题、单元的教学目标元的教学目标。所以，。所以，整体把握教学内容整体把握教学内容对对促进数学学科核心素促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展养连续性和阶段性发展具有重要意义。这就是提倡具有重要意义。这就是提倡单元整体单元整体设计设计教学的理由。教学的理由。防止碎片化教学现象的延续防止碎
41、片化教学现象的延续 老师的困惑：单元设计会出现课的容量过大问题，知识不巩固、老师的困惑：单元设计会出现课的容量过大问题，知识不巩固、解题能力不过关。解题能力不过关。受应试的困扰，大家习惯于受应试的困扰，大家习惯于“当堂巩固当堂巩固”，学一个知识点就要进，学一个知识点就要进行大量巩固性练习。这样的教学，结果必然是：知识碎片化，而行大量巩固性练习。这样的教学，结果必然是：知识碎片化，而孤立的、缺乏知识系统性的知识点训练也导致了训练效果不佳，孤立的、缺乏知识系统性的知识点训练也导致了训练效果不佳，学生综合运用知识的能力不强。学生综合运用知识的能力不强。单元整体设计追求什么？单元整体设计追求什么？数学
42、的整体性数学的整体性 逻辑的连贯性逻辑的连贯性 思想的一致性思想的一致性 方法的普适性方法的普适性 思维的系统性思维的系统性单元单元-课时教学设计的要素课时教学设计的要素 研究研究对象；对象；逻辑连贯的学习内容；逻辑连贯的学习内容；连续的、环环相扣的问题链；连续的、环环相扣的问题链；教学过程：系列化数学活动，教学过程：系列化数学活动，基于情境、问题导向的互动式、启基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式发式、探究式、体验式；结果诉求：结果诉求：核心知识核心知识、思想方法、思维、思想方法、思维能力能力、问题解决、问题解决能力；注能力；注重学习重学习结果的可迁移性，举一反三、触类旁通。结
43、果的可迁移性，举一反三、触类旁通。单元单元-课时教学设计框架课时教学设计框架第第n单元（单元（k课时）课时）一、单元内容及其解析（含单元教学重点）一、单元内容及其解析（含单元教学重点）二、单元目标及其解析二、单元目标及其解析三、单元教学问题诊断（含单元教学难点）三、单元教学问题诊断（含单元教学难点）四、单元教学支持条件四、单元教学支持条件第第1课时课时第第k课时课时1.课时教学内容课时教学内容2.课时教学目标课时教学目标3.课时重点、难点课时重点、难点4.教学过程设计教学过程设计 课时教学设计前先进行单元教学设计，对本单元内容及其蕴含的课时教学设计前先进行单元教学设计，对本单元内容及其蕴含的数
44、学思想和方法、本单元着重培养的数学学科核心素养、本单元数学思想和方法、本单元着重培养的数学学科核心素养、本单元的主要学习难点等作出全面分析，并将课标规定的本单元内容按的主要学习难点等作出全面分析，并将课标规定的本单元内容按知识的发生发展过程、学生的认知过程（从概念、原理等的学习知识的发生发展过程、学生的认知过程（从概念、原理等的学习到练习再到目标检测等）分解到课时，同时将相应的到练习再到目标检测等）分解到课时，同时将相应的“内容要求内容要求”（即单元目标）分解为课时目标（即单元目标）分解为课时目标（一一）单元）单元内容内容和内容和内容解析解析1 1内容：对单元教学内容的内涵和外延作简要说明内容
45、：对单元教学内容的内涵和外延作简要说明在此基础上，在此基础上，给出课时和对应的内容。给出课时和对应的内容。2 2内容解析：重点是在揭示概念内涵的基础上，说明概念的内容解析：重点是在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心，核心，分析分析概念概念的的地位地位及其及其蕴含蕴含的数学思想和的数学思想和方法方法在此基础上阐明教在此基础上阐明教学重点学重点 这里要在章节整体知识结构中，对教学内容进行深入分析这里要在章节整体知识结构中，对教学内容进行深入分析“内容内容”部分，只要部分，只要列举列举课程标准课程标准中中相应单元的内容即可相应单元的内容即可“内容解析内容解析”的基本结构的基本结构：内容的内容的本质
46、本质；内容蕴含的数学思想和内容蕴含的数学思想和方法方法；知识的上下位知识的上下位关系关系；内容的育人内容的育人价值价值；阐明本单元教学重点阐明本单元教学重点（二二）单元）单元目标目标和目标和目标解析解析1 1目标：用目标：用“了解了解”“”“理解理解”“”“掌握掌握”以及有关行为动词以及有关行为动词“经经历历”“”“体验体验”“”“探究探究”等表述目标等表述目标2 2目标解析：对目标解析：对“了解了解”“”“理解理解”“”“掌握掌握”以及以及“经历经历”“”“体体验验”“”“探究探究”的含义进行解析的含义进行解析 教学目标是教学设计的教学目标是教学设计的“灵魂灵魂”。应注意单元教学目标与课时教
47、应注意单元教学目标与课时教学目标的内在一致性学目标的内在一致性。单元教学目标是通过一个阶段教学要达到单元教学目标是通过一个阶段教学要达到的，而课时教学目标是一个课时要达成的目标；课时目标的积累的，而课时教学目标是一个课时要达成的目标；课时目标的积累就成为单元目标的达成就成为单元目标的达成。单元单元教学教学目标目标解析解析应应基于教学内容及其解析，着重解析课标中的基于教学内容及其解析，着重解析课标中的“内容与要求内容与要求”的具体涵义。具体操作时，可以与单元教学内容的具体涵义。具体操作时，可以与单元教学内容解析相对应，给出学生在学完本单元后在知识、技能、思想方法解析相对应，给出学生在学完本单元后
48、在知识、技能、思想方法等方面达到的要求（会做哪些以往不会做的事情）等方面达到的要求（会做哪些以往不会做的事情）。（三三）单元）单元教学教学问题问题诊断诊断 根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析碍的原因进行分析。在分析基础上指出教学难点在分析基础上指出教学难点。可以从认知分析入手，即分析学生已具备的认知基础（包括知识、可以从认知分析入手，即分析学生已具备的认知基础（包括知识、思想方法和思维发展基
49、础），对照教学目标，发现已有基础和目思想方法和思维发展基础），对照教学目标，发现已有基础和目标之间的标之间的差距差距，分析学生学习中可能出现的障碍，分析学生学习中可能出现的障碍，然后然后给出教学给出教学难点难点。（四四）单元）单元教学教学支持支持条件条件 为了为了有效实现教学目标，要根据问题诊断分析的结果，决定采取有效实现教学目标，要根据问题诊断分析的结果，决定采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地地开展数学活动，开展数学活动，进行进行有有数学含金量的数学含金量的探究探究，使他们更好地发现数学使他们更好地发现数学规律规律。（五五）课时课时教学教学设计设计第第
50、i课时课时1.课时教学内容课时教学内容 指本课的数学内容。指本课的数学内容。2.课时教学目标课时教学目标 课时教学目标要注意过程与结果的融合、隐性目标与显性目标的融合课时教学目标要注意过程与结果的融合、隐性目标与显性目标的融合。具体具体写作时，可以考虑以下格式：写作时，可以考虑以下格式：通过（经历）通过（经历）X，能（会），能（会）Y，发展（提高、体会），发展（提高、体会）Z。其中其中，X表示数学活动过程，表示数学活动过程，Y表示应会解决的问题（显性目标，主要是具表示应会解决的问题（显性目标，主要是具体知识点目标），体知识点目标），Z表示数学思想和方法、数学关键能力（隐性目标）表示数学思想和方
