1、理科数学 第 1 页（共 13 页） 2020 年全国新课标卷 3 月高三大联考（3） 数学（理）试题 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1已知集合 |20Axx ， |ln(1)BxyxZ ，则AB A 1,2 B( 1,2 C0,1,2 D 1,0,1,2 2设复数z满足|i| |i|zz ，i为虚数单位，且z在复平面内对应的点为( , )Z x y，则下列结论一定正确的 是 A1x B1y C0x D0y 3已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若
2、 95 3Sa，则一定成立的是 A 46 SS B 45 SS C 57 SS D 56 SS 4 国家统计局发布数据显示， 2020 年 1 月份全国 CPI （居民消费价格指数） 同比上涨 5.4%， 环比上涨 1.4%. 下图是 2019 年 1 月到 2020 年 1 月全国居民消费价格同比（与去年同期相比）和环比（与上月相比）涨 跌幅，则下列判断错误的是 A各月同比全部上涨，平均涨幅超过 3% B各月环比有涨有跌，平均涨幅超过 0.3% C同比涨幅最大的月份，也是环比涨幅最大的月份 D环比跌幅最大的月份，也是同比涨幅最小的月份 5历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法
3、寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆 理科数学 第 2 页（共 13 页） 内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只 用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术近代无穷乘积式、无穷连分数、无 穷级数等各种值的表达式纷纷出现， 使得值的计算精度也迅速增加 华理斯在 1655 年求出一个公式： 224466 21 3 3 557 ，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行 该程序框图，已知输出的2.8T ，若判断框内填入的条件为?km，则正整数m的最小值是 A2 B3 C4 D5 6已知实数, x y满足约束条
4、件 220 220 1,1 xy xy xy ，则2xy的取值范围是 A( 3,6 B 3,6 C 3 (,6 2 D 3 ,6 2 7函数 52sin ( )( ,0)(0,) 33 xx xx f xx 的图象大致为 8已知向量 ( 1, ),(2, )ty ab ，其中 2 2 1 2 1 yt t ，则当y最小时，cos ,a b A 2 5 5 B 2 5 5 C 5 5 D 5 5 9已知 x表示不超过 x 的最大整数，数列 n a满足 1 2 2 ( 1) n n an ，则数列 n a的前 60 项的和为 A1830 B1830 C3660 D3660 理科数学 第 3 页（共
5、 13 页） 10将函数 2 2 ( )6sin cos2cos 2 f xxxx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 ，纵坐标不变，得 到函数 ( )g x的图象.对于下列四种说法，正确的是 函数 ( )g x的图象关于点 (,0) 3 成中心对称 函数 ( )g x在( ,) 上有 8 个极值点 函数 ( )g x在区间 , 24 上的最大值为2，最小值为 2 2 函数 ( )g x在区间 (,) 4 4 上单调递增 A B C D 11如图平面多边形中，四边形ABCD是边长为2的正方形，外侧 4 个三角形均为正三角形.若沿正方形的 4 条边将三角形折起，使顶点 1234 ,S SS
6、 S重合为S点，得到四棱锥SABCD ，则此四棱锥的外接球的 表面积为 A B2 C3 D4 12已知过点(4,0)M的直线与抛物线 C： 2 4yx交于点, A B，设O为坐标原点，则 | | OAOB AB 的最大值 为 A1 B2 C2 D 2 2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 5 (21)xy的展开式中 22 x y的系数为_. 14若 1 sin(),(0,) 63 ，则 sin(2) 3 _. 15已知双曲线E： 2 2 2 1(0) x ya a 的左、右焦点分别为 12 ,F F，M在E的右支上，若 12 , 4 3 FMF ， 则 12
7、 MF MF的最大值为_. 理科数学 第 4 页（共 13 页） 16若存在直线 l 与函数 1 ( )(0)f xx x 及 2 ( )g xxa的图象都相切，则实数a的最小值为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 12 分） 已知四边形 ABCD 中，ABAD， 6 BDC，2AD ，4DC . （1）若 5 cos 3 ABD，求 BD，BC； （2）若CADC ，求sinCBD. 18（本小题满分 12 分） 如图所示，正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直，MBAN，2NAAB，4BM ， 2 3
8、CN . （1）证明：平面DMN 平面BCN； （2）求二面角CMND的余弦值. 19（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，过椭圆 C 的左、右焦点 12 ,F F分别作倾斜角为 3 的直 线 12 ,l l， 12 ,l l之间的距离为3. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，求点 12 ,F F到直线 l 的距离之积. 20（本小题满分 12 分） 某位学生为了分析自己每天早上从家出发到教室所花的时间，随机选取了 10 天的数据，统计如下（单 位：分钟） ：23，21，22，19，2
9、2，19，17，19，21，17. 理科数学 第 5 页（共 13 页） （1） 若每天上学所花的时间X服从正态分布 2 ( ,)N ， 用样本的平均数和标准差分别作为和的估 计值. （）求和的值； （）若学校 7 点 30 分上课，该学生在 7 点 04 分到 7 点 06 分之间任意时刻从家出发，求该学生上学 不迟到的概率的范围； （2）在这 10 天中任取 2 天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为Y，求Y的分布列 和数学期望. 附： 若随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ， 则() 0 . 6 8 2 6PX，(22 )PX 0.9544，(33 )0.9974PX.
10、 21（本小题满分 12 分） 已知函数( )cos(1)(1ln )f xxxx. （1）设( )( )g xfx，求证： 1 ( )g x x ； （2）讨论( )f x的单调性. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个 题目计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 8 2 4 2 x t t y t （t为参数） 以坐标原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2sin （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若射线 (
11、0) 4 与l和C分别交于点, A B，求| |AB 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) |21|1|f xxax ，aR （1）当2a 时，求不等式 1( )1f x 的解集； （2）当 1 (,0) 2 x 时，不等式 ( )2f xx 恒成立，求实数a的取值范围 理科数学 第 6 页（共 13 页） 答案+全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B D B B A B D B D C 1 C 【解析】 因为 |20 |2Axxx x ， |ln(1)|1Bxyxxx ZZ ， 所以 0,1,2AB . 故选 C 2D
12、【解析】因为满足| i| |i|zz 的点Z为复平面内到点(0,1)和(0, 1) 的距离相等的点的集合，所以 ( , )Z x y的轨迹为x轴，其方程为0y .故选 D 3B 【解析】因为 955 93Saa，所以 5 0a ，则 5454 SSaS.故选 B 4D 【解析】由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(1.71.52.32.52.72.72.82.8 3.03.84.54.55.4) 13 1%3.09%，超过 3%，故 A 正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5 1.00.40.10.00.10.40.70.90.90.40.01.4) 13 1%0.446%，超过 0
13、.3%，故 B 正确； 同比涨幅最大的是 2020 年 1 月，环比涨幅最大的也是 2020 年 1 月，故 C 正确；环比跌幅最大的是 2019 年 3 月，同比涨幅最小的是 2019 年 2 月，故 D 错误，故选 D 5B 【解析】初始：1k ，2T ，第一次循环： 228 22.8 133 T ，2k ，继续循环； 第二次循环： 844128 2.8 33545 T ，3k ，此时2.8T ，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ，所以正整数m的最小值是 3，故选 B 6B 【解析】作出不等式组 220 220 1,1 xy xy xy 表示的平面区域，如图中阴影部
14、分所示，设2zxy，则 2yxz ，平移该直线，当直线2yxz 经过点A时，z 取到最大值，由 220 220 xy xy 得 2 2 x y ， 即(2,2)A，则 max 426z；当直线2yxz 经过点C时，z 取到最小值，易得( 1, 1)C ，则 min 213z ，所以2xy的取值范围是 3,6.故选 B 7A 【解析】因为 5()2sin()52sin ()( ) 3333 xxxx xxxx fxf x ，所以)(xf是偶函数，排除 B,D，因为 理科数学 第 7 页（共 13 页） 5 ()0 33 f ，排除 C，故选 A. 8 B 【解析】 222 222 111 2(1
15、)32 (1)31 111 yttt ttt ， 当且仅当 2 2 1 1 1 t t ， 即0t 时，取等号，y取得最小值为1，此时， ( 1,0),(2, 1) ab ，则 22 5 cos, | |515 a b a b ab . 故选 B 9D 【解析】当43nk或42nk时， 1 2 ( 1)1 n ；当41nk或4nk时， 1 2 ( 1)1 n ，所以 4342kk aa 2222 414 (43)(42)(41)(4 )3212 kk aakkkkk ，所以数列 n a的前 60 项和 60 S 321232 1512 153660 2 .故选 D 10B 【解析】 2 261
16、cos22 ( )6sin cos2cossin222sin(2) 22226 x f xxxxxx ，将函 数 ( )f x图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 ， 纵坐标不变， 得到 ( )2sin(4) 6 g xx的图象.对于， 4 ( )2sin()2 336 g ，故函数( )g x的图象不关于点 (,0) 3 成中心对称，所以错误；对于， 由 ( ,)x 得 23 25 4(,) 666 x ，结合函数图象可得( )g x在( ,)上有 8 个极值点，所以正确； 对于，由 24 x ，得 115 4 666 x ，则 2 ( )2 2 g x，所以 ( )g x的最大值为 2
17、，最 小值为 2 2 ，所以正确；对于，当 44 x 时， 57 4 666 x ，故函数 ( )g x在区间 (,) 4 4 上不单调， 所以错误.故选 B 11D 【解析】连接,AC BD，设ACBDH，连接SH，根据题意可得SH 平面ABCD.设O为四棱锥 SABCD的外接球的球心，则O在SH上，连接OC，设此四棱锥的外接球的半径为R，则 OSOCR，如图所示. 因为正方形ABCD的边长为2，所以1,2,1CHSCSH，所以,H O重合，即四棱锥的外接球的 半径为1R ，所以四棱锥的外接球的表面积为 2 44SR.故选 D 12C 【解析】设 1122 (,),(,)A x yB xy，
18、直线 AB 的方程为4xmy，与 2 4yx联立得 2 4160ymy，则 理科数学 第 8 页（共 13 页） 12 4yym， 12 16y y ， 所以 2 12121212 (4)(4)(1)4 ()1616(1OA OBmymyy ymy ym yy 22 ) 16160mm，所以OAOB，则 222 |OAOBAB,所以 22 |2(| )OAOBOAOB 2 |AB（当且仅当| |OAOB时等号成立） ，所以 | | OAOB AB 的最大值为2.故选 C 13120 【解析】由题意， 5 (21)xy的展开式中含 22 x y的项为 2222122 531 CC (2 )C(
19、1)120xyx y ，所 以所求系数为120. 14 4 2 9 【解析】因为 (0,) ，所以 7 (,) 666 ，又因为 1 sin()0 63 ，所以 7 (,) 66 ， 所以 2 12 2 cos()1() 633 .则 12 24 2 sin(2)2sin()cos()2()() 366339 . 152 22 【解析】设1 2 |,|MFm MFn， 12 FMF ，则 222 42coscmnmn.又 2mna，即 222 24mnmna，解得 2 1cos mn ，所以 1212 2cos | | coscos 1cos MF MFMFMFmn 2 1 1 cos ， 因
20、为 , 4 3 ， 所以 12 cos 22 ， 1 22 cos ， 1 2111 cos ， 则 2 2 1 1 c o s 2 2 22 21 ，所以 12 MF MF的最大值为2 22. 16 3 3 2 2 【解析】设直线 l 与函数 ( )f x及( )g x的图象分别相切于 1 ( ,)(0)A mm m ， 2 ( ,)B n na， 因为 2 1 ( )fx x ， 所以函数 ( )f x的图象在点A处的切线方程为 2 11 ()yxm mm ， 即 2 12 yx mm ， 因为 ( )2g xx ， 所以函数 ( )g x的图象在点B处的切线方程为 2 2 ()ynan
21、xn， 即 2 2yn x na， 因为存在直线 l 与函数 ( )f x及( )g x的图象都相切，所以 2 2 1 2 2 n m na m ，所以 4 12 4 a mm ， 令 1 (0)tt m ，设 4 1 ( )2 (0) 4 h ttt t ，则 3 ( )2h tt， 当 3 2t 时， ( )0h t ，函数 ( )h t单调递减；当 3 20t 时， ( )0h t ，函数 ( )h t单调递增， 所以 3 3 min 3 2 ( )(2) 2 h th ，所以实数a的最小值为 3 3 2 2 17（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）在RtABD中，由 5 cos
22、3 ABD，得 2 2 sin1cos 3 ABDABD， 所以3 sin AD BD ABD .（3 分） 在BCD中， 由余弦定理得 22222 3 2cos342 3 425 12 3 2 BCBDCDBD CDBDC ， 理科数学 第 9 页（共 13 页） 所以2512 3BC .（6 分） （2）设CBDx，由CADC ， 6 BDC可得 5 6 Cx， 6 ABDx， 在RtABD中，因为2AD ，所以 2 sin sin() 6 AD BD ABD x ， （8 分） 在BCD中，由正弦定理得 sinsin BDCD CCBD ，即 4 5 sin sin() 6 BD x x
23、 ， 所以 24 5 sin sin()sin() 66 x xx ，整理得 2 4sin2sin10xx .（10 分） 由sin0x 得 15 sin 4 x ，所以 15 sin 4 CBD .（12 分） 18（本小题满分 12 分） 【解析】（1） 因为正方形ABCD 所在平面与梯形 ABMN所在平面垂直，BCAB， 所以BC 平面 ABMN， 因为MN 平面 ABMN，BN 平面 ABMN，所以BCMN，BCBN， 由2,2 3BCCN，得 22 2 2BNCNBC，由2NAAB，可得ABAN， （3 分） 在直角梯形 ABMN 中, 可得2 2MN ， 由4BM ，2 2BNMN
24、，可得 222 BNMNBM，所以BNMN， 因为BCBNB，所以MN 平面BCN， 因为MN 平面 DMN，所以平面DMN 平面BCN.（6 分） （2）如图，以 B 为坐标原点，,BA BM BC所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 B-xyz， 则(0,0,0), (0,0,2),(2,0,2)BCD,(0,4,0),(2,2,0)MN,(2, 2,0)MN ,(2,2, 2)CN ,(0,2, 2)DN , 设 111 (,)x y zn是平面 CMN 的法向量，则 0 0 MN CN n n ，即 11 111 220 2220 xy xyz ， 理科数学 第 10 页（
25、共 13 页） 取 1 1x ，得(1,1,2)n.（8 分） 设 222 (,)xyzm是平面 DMN 的法向量，则 0 0 MN DN m m ，即 22 22 220 220 xy yz ， 取 2 1z ，得(1,1,1)m， （10 分） 设二面角CMND的平面角为，则 222222 1 1 1 12 12 2 cos |3 112111 n m n m ， 由图可知二面角CMND的余弦值为 2 2 3 .（12 分） 19（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）设 22 cab，由 12 ,l l之间的距离为3，得 2 sin3 3 c，所以1c， （2 分） 由椭圆 C 的离心
26、率为 1 2 ，得 1 2 c a ，所以2a ， 22 3bac， 所以椭圆 C 的标准方程为 22 1 43 xy .（5 分） （2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为2x ，点 12 ,F F到直线 l 的距离之积为 3； （6 分） 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为ykxm， 联立ykxm及 22 1 43 xy ，消去y得 222 (34)84120kxkmxm， （8 分） 因为直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，所以 22222 (8)4(34)(412)48(43)0kmkmmk， 所以 22 43mk. 点 1( 1,0) F 到直线 l：ykxm的距离
27、1 2 | 1 km d k ， 点 2(1,0) F到直线 l：ykxm的距离 2 2 | 1 km d k ， 所以 2222 12 22 |43| 3 11 mkkk d d kk ， （11 分） 综上可得，若直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，则点 12 ,F F到直线 l 的距离之积为 3.（12 分） 20（本小题满分 12 分） 【解析】 （1） （）样本的平均数为 1 (232122192219171921 17)20 10 ，样本的标准 差为 22222 1 (2320)2(2120)2(2220)3 (1920)2(1720) 2 10 ， 因此20，2.（2 分） （
28、）学校 7 点 30 分上课，若该学生 7 点 04 分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为 26 理科数学 第 11 页（共 13 页） 分钟，若该学生 7 点 06 分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为 24 分钟， 由于 11 (26)(3 )1(1(33 )1(10.9974)0.9987 22 P XP XPX ， 11 (24)(2 )1(1(22 )1(10.9544)0.9772 22 P XP XPX .（4 分） 所以该学生上学不迟到的概率的范围是(0.9772,0.9987).（6 分） （2）把该学生这 10 天早上从家出发到教室所花的时间从小到大排列
29、为 17，17，19，19，19，21，21， 22，22，23.在这 10 天中任取 2 天，所花时间的差的绝对值为Y，则Y的可能值为 0,1,2,3,4,5,6， 且 2222 2322 2 10 CCCC62 (0) C4515 P Y ， 1111 2221 2 10 C CC C62 (1) C4515 P Y ， 111111 232321 2 10 C CC CC C14 (2) C45 P Y ， 11 32 2 10 C C62 (3) C4515 P Y ， 1111 2231 2 10 C CC C7 (4) C45 P Y ， 11 22 2 10 C C4 (5) C
30、45 P Y ， 11 21 2 10 C C2 (6) C45 P Y ， （10 分） 所以Y的分布列是 Y 0 1 2 3 4 5 6 P 2 15 2 15 14 45 2 15 7 45 4 45 2 45 Y的数学期望是 22142742112 ( )0123456 1515451545454545 E Y .（12 分） 21（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）因为( )cos(1)(1ln )f xxxx，所以( )( )sin(1)ln (0)g xfxxx x ， （1 分） 设 1 ( )ln(0)h xxx x ，则 22 111 ( ) x h x xxx ，
31、当(0,1)x时，( )0h x，( )h x是增函数；当(1,)x时，( )0h x，( )h x是减函数, 所以( )(1)1h xh ，即 1 ln1x x ，所以 1 ln1x x ，当1x 时取等号.（4 分） 因为sin(1)1x，所以 1 ( )sin(1)ln1lng xxxx x ，等号不同时成立， 所以 1 ( )g x x .（6 分） （2）因为( )sin(1)lng xxx ，所以 1 ( )cos(1)g xx x ， 当(0,1x时， 1 cos(1)0,0x x ，( )0g x， 所以( )g x在(0,1上是减函数，当(0,1x时( )(1)0g xg，
32、即(0,1x时( )0fx，所以( )f x在(0,1上是增函数； （8 分） 理科数学 第 12 页（共 13 页） (1,1)x时，1(0,)x ，所以sin(1)0, ln0xx，所以( )0g x ， 当1,)x时,sin(1)1, ln1xx ，所以( )0g x ， 所以当(1,)x时( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x在(1,)上是减函数， 综上，可得( )f x在(0,1上是增函数，在(1,)上是减函数.（12 分） 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 【解析】 （1）由 8 2 x t 可得0x ， 由 8 2 4 2 x t t y
33、t ，消去参数t，可得直线l的普通方程为 40(0)xyx （2 分） 由 2sin 可得 2 2 sin，将 siny ， 222 xy代入上式，可得 22 20xyy， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 20xyy （5 分） （2）由（1）得，l的普通方程为 40(0)xyx ， 将其化为极坐标方程可得 cossin40() 2 ， （7 分） 当 0 4 时， 2 2 A ，2 B ， 所以| | |2 22 |2 AB AB （10 分） 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 【解析】 （1）当2a 时， 1 2, 2 11 ( ) |21|21|4 , 22 1
34、2, 2 x f xxxxx x ， （2 分） 当 1 2 x 或 1 2 x 时，|( )| 2f x ，所以1( )1f x 可转化为 11 2 4 2 11x x ， 解得 11 44 x ，所以不等式 1( )1f x 的解集为 1 1 , 4 4 （5 分） （2）因为 1 (,0) 2 x ，所以|2 1| 21xx ， 所以 ( )2f xx ，即2 1 |1| 2xaxx ，即| 1| 1ax 当0a 时，因为 1 (,0) 2 x ，所以| 1| 1ax ，不符合题意 （7 分） 当0a 时，解| 1| 1ax 可得 2 0x a ， （8 分） 理科数学 第 13 页（共 13 页） 因为当 1 (,0) 2 x 时，不等式( )2f xx恒成立，所以 12 (,0)(,0) 2a ， 所以 21 2a ，解得40a ，所以实数a的取值范围为 4,0) （10 分）
