1、轴对称全章复习与巩固(基础)轴对称全章复习与巩固(基础) 【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形,理解轴对称的基本性质及它们的简单应用;2. 了解垂直平分线的概念,并掌握其性质;3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称(1)轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(2)轴对称定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说
2、这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质:关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形;如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的.联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形2.线
3、段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形(1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形;(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点(,)关于轴对称的点的坐标为(,);点(,)关于轴对称的点的坐标为(,);点(,)关于原点对称的点的坐标为(,).要点三、等腰
4、三角形 1.等腰三角形(1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.(2)等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45.(3)等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等 边”).2.等边三角形(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.(2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60.(3)等边三角形的判定: 三条边都相等的三角形是等边三角形; 三个角都相等的三角形是等边三角形; 有一个角为
5、 60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用1、如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式,该算式的实际情况是怎样的?【答案与解析】该算式的情况是:12085205【总结升华】从镜子里看物体左右相反举一反三:【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的( ).【答案】B ;提示:从水中看物体上下颠倒2、如图,C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点,A、B是桌面上的两个球,怎样击打A球,才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球?请画出A球经过的路线
6、,并写出作法 【答案与解析】解:作点A关于直线CF对称的点G,连接BG交CF于点P,则点P即为A球撞击桌面边缘CF的位置,A球经过的路线如下图.【总结升华】这道题利用了轴对称的性质,把AP转化成了线段GP,通过找A点的对称点,从而确定点P的位置.举一反三:【变式】(2016春深圳校级期中)如图,AOB=30,AOB内有一定点P,且OP=10在OA上有一点Q,OB上有一点R若PQR周长最小,则最小周长是()A10 B15 C20 D30【答案】A;提示:根据轴对称的性质,PQF的周长等于.3、如图,ABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),点B的坐标为(3,1),如果要使ABD与
7、ABC全等,求点D的坐标 【思路点拨】关于AB直线对称,且与ABC全等的ABD有一个,此时的ABC与ABD绕着AB的中点旋转180,又可以找到两个与ABC全等的三角形.【答案与解析】解:满足条件的点D的坐标有3个(4,1);(1,1);(1,3). 【总结升华】有一条边相同的全等三角形,可以通过轴对称和旋转的方法找出,注意不要漏解.举一反三:【变式】在直角坐标系中,ABC关于直线1轴对称,已知点A坐标是(4,4),则点B的坐标是( )A.(4,4) B.(4,2) C.(4,2) D.(2,4)【答案】C;提示:点A和点B是关于直线1对称的对应点,它们到1的距离相等是3个单位长度,所以点B的坐
8、标是(4,2)类型二、等腰三角形的性质与判定4、已知:一等腰三角形的两边长,满足方程组,则此等腰三角形的周长为()A.5 B.4 C.3 D.5或4【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长,由于没有指定边长是腰还是底,所以需要分类讨论,最后还要注意检验能否构成三角形.【答案】A;【解析】解:解方程组得,当腰为1,2为底时,112,不能构成三角形, 当腰为2,1为底时,能构成三角形,周长为2215【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形,涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去举一反三:【变式】已知等腰三
9、角形的一个内角为70,则另两个内角的度数是()A.55,55 B.70,40 C.55,55或70,40 D.以上都不对 【答案】C;提示:当70为顶角时,另外两个角是底角,它们的度数是相等的,为(18070)255,当70为底角时,另外一个底角也是70,顶角是180140405、(2015秋淮安校级期末)如图:(1)P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点,过点P作BC的垂线,交AB于点Q,交CA的延长线于点R请观察AR与AQ,它们有何关系?并证明你的猜想(2)如果点P沿着底边BC所在的直线,按由C向B的方向运动到CB的延长线上时,(1)中所得的结论还成立吗?请你在图(2)中完成图形,并给予
10、证明【思路点拨】(1)由已知条件,根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出PRC与AQR的关系;(2)由已知条件,根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出BQP与PRC的关系【答案与解析】解:(1)AR=AQ,理由如下:AB=AC,B=CRPBC,B+BQP=C+PRC=90,BQP=PRCBQP=AQR,PRC=AQR,AR=AQ;(2)猜想仍然成立证明如下:AB=AC,ABC=CABC=PBQ,PBQ=C,RPBC,PBQ+BQP=C+PRC=90,BQP=PRC,AR=AQ【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及判定;题中有两个类别的特殊三角形,等腰三角形
11、是两个底角相等,直角三角形是两个锐角互余,还有对顶角相等的条件,为角的关系转化提供依据举一反三:【变式1】(2016常州)如图,已知ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O(1)求证:OB=OC;(2)若ABC=50,求BOC的度数.【答案】(1)证明:AB=ACABCACB,BD、CE是高,DBCECB,OB=OC(2)ABC50,AB=AC,A=180-250=80,BOC=180-80=100.【变式2】如图,BAC90,以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD,M是BC的中点,请你探究线段DE与AM之间的数量关系【答案】ED2AM解:连接DE,BAC
12、90,M是BC的中点AMBMMCEADBAC90,AEAB,ACADABCAEDEDBCED2AM类型三、等边三角形的性质与判定6、如图,设D为等边ABC内一点,且ADBD,BPAB, DBPDBC.求BPD的度数.【答案与解析】解:如图,连接CD,ABC是等边三角形,ABACBC,又ADBD,DC是公共边,BDCADC(SSS),DCBDCA6030,DBCDAC,DBPDBC,DACDBP,又已知BPAB,BPAC,DBPDAC(SAS),PACD30【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质,在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件举一反三:【变式】(2014
13、秋东胜区校级期中)如图,已知点B、C、D在同一条直线上,ABC和CDE都是等边三角形BE交AC于F,AD交CE于H(1)求证:BCEACD;(2)求证:FHBD【答案】证明:(1)ABC和CDE都是等边三角形,BC=AC,CE=CD,BCA=ECD=60,BCA+ACE=ECD+ACE,即BCE=ACD,在BCE和ACD中,BCEACD (SAS)(2)由(1)知BCEACD,则CBF=CAH,BC=AC又ABC和CDE都是等边三角形,且点B、C、D在同一条直线上,ACH=180ACBHCD=60=BCF,在BCF和ACH中,BCFACH (ASA),CF=CH,又FCH=60,CHF为等边三角形FHC=HCD=60,FHBD8 / 88 / 8