1、I. 平衡态统计物理第一章相变与临界现象第一节 平衡判据和平衡条件 对孤立系，判据为 因为熵增加原理，平衡态的熵应当极大。 假设体系和大热源接触，体系的T、V不变 U为体系的内能， 为体系吸收的热量 由于V不变，0 同理判据为 由平衡判据可以导出平衡条件习题： 导出T、P不变的平衡判据 （1）热平衡条件将孤立系分为两部分内能为， 温度为， 各部分体积不变 即没有互相做功 为热平衡条件 第0定律如，将发生热传导设 即热量（能量）由高温部分流向低温部分 （2）力学平衡条件习题 （3）相平衡回顾特征函数 内能 焓 自由能 吉布斯函数 都是广延量 由特征函数可以导出“所有”热力学性质 记忆：从加减的项
2、看替换的变量对多种粒子体系化学势 为增加一个粒子带来的能量。例如，在 T0 时，理想气体费米子 是粒子数带来的能量变化。假设无外力场（如电磁、重力等），T、P不变，但存在两种粒子，处于不同的“相”。平衡判据为设 ， 如果 ， 粒子还会从一个相跑到另一个相，非平衡。选T、P为独立变量，相平衡条件为这在TP图上体现为一条曲线，这样的TP图称之为相图。例如，冰、水的化学势都与T、P有关，在这曲线上两相共存。 T 水 冰 P冰和水在“冰区域”接触，水会结冰，但记住，这时水处于“冰区域”的T、P之下。如在“水区域”接触，冰处于“水区域”的T、P，冰会融化。体系在曲线上会发生相变。相变是物体宏观状态的一种
3、突然变化，常常可用一个“序参数”的突变描述。l 突然变化必须定量化l 宏观状态或説序参数会随着人们对自然界的认识不断改变。例如，序参数可以是静态结构，统计涨落，也可以是动力学行为。在相变点，特征热力学函数奇异。 相变的阶用特征热力学函数定义。例如，自由能F（T，V）为特征函数的体系不连续 一级相变序参数不连续，两相共存、似稳态例如：水、冰不连续（ 连续） 二级相变序参数一级导数不连续，统计涨落无穷大，普适标度行为例如：铁磁系统如果是二级相变，水变冰的物理图像是：在时，出现冰状板块，板块会随时间变化，时而象水，时而象冰，板块在达到体系的尺度。有时笼统称二级以上的相变为连续相变。级相变例如：Kos
4、terlitz-Thouless相变自旋玻璃相变，类似于二级，但略有不同结构玻璃相变 为什么研究相变？因为它刻划体系的特征。例如，研究材料学的，关心相的性质，研究相变理论的，关心相变的准确位置尤其是相变点附近的行为特征。第二节 Ising model 代表晶格上原子的磁子，最简单情形假设只有两种取向，用描述。 记最紧邻相互作用。(单位体积) 磁化强度 M 二级相变，准确解极困难TC T平均场近似近似计算的要点1 能算出来2 物理意义清楚，在极端情形下，应正确或大体正确。设 d 为空间维数l 这一近似略去了相互作用，可准确计算l 当d，或者在长程作用情形，趋向准确解自恰条件 y(M) y=M y
5、=tanh (k d M) Y M0 M自由能为极大值F为极小值，根据与大热源接触、不做功体系的相平衡条件所以，的任何一个是物理解在附近，体系有种种特征，如何描述？=0很小 很小= 在1/处连续，但一阶导数不连续，因为 发散，是二级相变在1/ 处连续， 这是合理的结果， （） 比热 第三节 临界指数与标度变换热力学参数 大量的实验、理论和数值模拟研究表明，一般而言，在临界点附近，遵从幂次行为。这是一件高度非平庸的事情，为什么不是别的什么形式呢？对Ising模型引入 比热磁化率 一般而言，在平均场近似下 const习题：、称为临界指数。实验表明，大量表面看似不同的体系其临界指数可以相同，临界指数
6、把二级相变系统分为不同普适类。小结起来，宏观量的幂次行为是二级相变的重要特征之一，临界指数具有普适性，只由对称性（包括空间维数）和力程等物理因素决定。临界指数之间存在所谓的标度关系，只有确定数目的指数试独立的。标度变换不变性单位体积自由能在相变点附近，自由能常规部分不重要假设为任意标度因子， a,b是常数。从物理上看，这是一种标度变换不变性，从数学上看，f是广义齐次函数。 习题：计算 、 并给出其与 、的关系。这些关系称为标度关系。换句话说，自由能的标度变换不变性假设，使得Ising模型只有两个独立的临界指数。小结l 在临界点附近，物理量遵从幂次行为，临界指数具有普适性。l 标度变换不变性可以
7、导出幂次行为，还给出临界指数的标度关系，但是没有回答如何计算临界指数。问题：* 如何导出标度不变性* 如何计算临界指数* 如何解释普适性第四节 实空间重整化群d维格点上的Ising模型 在临界点附近，关联长度发散，或说涨落无穷大，所以格点的大小对大范围性质不重要。标度变换a格距自旋组成一个新的注意：越小。令 应该具有如下性质l 封闭性如果、而且 l 交换律 l 结合律 l 取 为单位元但是,不存在逆元素 的集合是“半群”。不动点显然一般的，记重整化变换不动点在不动点附近简单记引入变换 问题：0变到0是不是相变？（应该是二级相变）多个相关参量的意义？小结 自由能的标度变换不变性 在不动点附近，
8、所有临界指数第五节 一维Ising model取每一自旋块里,取其中之一自旋为块自旋,i.e.恒等式恒等式1)2)代表自由能光滑部分不动点 th K K, 。关联函数（或两点关联函数） 当 足够大称为关联长度。在临界点附近，设标度变换 因为在临界点附近发散，相应地涨落无穷大，所以改变格点长度等微观细节，不影响体系的大范围性质，如幂次行为、临界指数等，这便是普适性。 用重整化群的观点看，无关参量在标度变换下在不动点附近的无关性便是普适性的结果或体现。第六节 二维Ising模型 三角点阵取，如图构造自旋块思考题：why？不动点流向图 自然地在附近是相关参量。对任何 所以，在 只有 习题：计算 累积
9、展开这里表示给定，在自旋块I内所有可能的自由度。 + + + + + -+ - +- + +“” “”如果 则可实现重整化群变换令 则部分可以准确计算，然后对V作微扰计算。这里介绍累积展开方法。部分可以准确计算注意：这里的计算是对给定的而言，所以只含4个态，无论（+1或1，对，对假设V很小，对作累积展开说明： 重新对V的幂次编号平均值平均值的涨落若只保留展开的领头项，计算较简单 对，对，不含不同自旋块的相互作用 第七节 连续变量模型Ising模型，连续模型(分立变量的理论常常比连续变量的难,如数论最难) 推广假设短程相互作用,则的Fourier变换在低动量区不奇异。体系的所有性质由一般关联函数
10、表述 为我们希望观察的空间点。也可以引入一个推广的配分函数，或自由能，生成所有的。重整化群变换假设体系处于临界状态 定义重整化群变换：假设使这里注意，这里我们并不打算实施在实空间重进化群中的步骤，真的去积分掉“多余”的自由度。只是假设有一个存在，使和联系起来。换句话说，我们要寻找恰当的实现重整化群变换。假设称不动点Hamiltonian 再作变换 显然则构成半群，且 换句话说，当 ， 实现 与实空间重整化群方法类似，从出发，作变换后，要求，即可得到。，即。 这一条件表述，即便是处于临界状态的体系，也只有大距离的性质才具有标度行为。标度行为典型地表现为幂次行为。无论在格点空间或连续空间，作标度变
11、换后，会出现更复杂的相互作用，但在附近，无关参量对应的相互作用当总会消失。而不同的,若趋于同一,其标度行为相同，这便是普适性。在不动点附近 ，称之为“算符”，而。对给定，对应由张开的空间的一个点，可用一列矩阵表示。当变化时，划出该空间的一条曲线。所以，是的函数。只由决定，是的函数。线性近似为线性算符，即一方阵。假设 已经对角化，本征值为，对应的本征矢为，则 （这里也可以类比实空间情形，引入）（1） 相关算符（2）无关算符（3）周期性算符边缘算符取高阶项例外存在所有临界指数（包括）可由定出。从物理上说，必须用来刻划临界点特征行为的物理参量是“相关算符”，这些算符在重整化变换下，。边缘算符可能在物
12、理上“相关”，也可能“无关”。除了边缘算符的复杂因素。临界点对应的不动点应是，所有物理上“相关”的算符。现在的问题是:如何构造并寻找不动点？第八节 高斯不动点1、不动点Fourier 变换标度变换在 的变换中， 因子来自于 设取可证明不动点为证明：(i)在中作积分变换注意：此时不应被触动（ii） 在中作积分变换注意：(i)相当于实空间重整化群中的“选自旋块” (ii)相当于定义“块自旋”因为(i)和(ii)都是积分变换（不改变积分的值），所以只要我们把(i)和(ii)操作的后果全部归入中的各算符的系数，即实现重整化群变换。令 所以，不动点对应 2、一般算符的变换习题：考察 中的 项在高斯不动点附近的行为 （相关性和无关性等）。 （这里是已经对角化的。）
