1、6.1 总体与样本总体与样本一、总体一、总体 一般我们把研究对象的全体称为总体（或母体），而一般我们把研究对象的全体称为总体（或母体），而把每一个研究对象称为个体把每一个研究对象称为个体.例如，在研究某灯泡厂生产例如，在研究某灯泡厂生产的灯泡质量时，该厂生产的灯泡全体构成的一个总体，其的灯泡质量时，该厂生产的灯泡全体构成的一个总体，其中每只灯泡都是个体；研究某班高等数学课程的成绩时，中每只灯泡都是个体；研究某班高等数学课程的成绩时，该班每个同学都是个体，全体同学构成一个总体该班每个同学都是个体，全体同学构成一个总体.在实际问题中，人们主要关心的往往是研究对象的某在实际问题中，人们主要关心的往往
2、是研究对象的某个（或某些）数量指标及其在总体中的分布情况个（或某些）数量指标及其在总体中的分布情况.如研究如研究灯泡的质量时，关注的是灯泡的使用寿命这一指标；在研灯泡的质量时，关注的是灯泡的使用寿命这一指标；在研究大学生的体质时，则主要关心的是大学生的身高、体重、究大学生的体质时，则主要关心的是大学生的身高、体重、视力等指标视力等指标.由于每个个体都有一个（或多个）数量指标由于每个个体都有一个（或多个）数量指标值，那么，所有个体的这些指标值就形成一个集合，该集值，那么，所有个体的这些指标值就形成一个集合，该集合包含了研究指标在总体中的所有可能取值合包含了研究指标在总体中的所有可能取值 比如，某
3、厂灯泡的寿命指标，其所有可能的取值比如，某厂灯泡的寿命指标，其所有可能的取值就是所有具体灯泡寿命值；某班的高等数学成绩就是所有具体灯泡寿命值；某班的高等数学成绩这一指标的取值就是该班所有同学的高等数学成这一指标的取值就是该班所有同学的高等数学成绩数理统计中，我们关心的并不是每个个体的绩数理统计中，我们关心的并不是每个个体的具体指标特征，而关心的正是象某厂灯泡寿命、具体指标特征，而关心的正是象某厂灯泡寿命、某班高数成绩这样的总体指标特征要研究总体某班高数成绩这样的总体指标特征要研究总体的指标，就要进行试验或观察的指标，就要进行试验或观察 由于预先不知道由于预先不知道观察到的是哪个个体，因而观察到
4、的相应指标值观察到的是哪个个体，因而观察到的相应指标值也就不能预先确定，完全是随机的，这样，总体也就不能预先确定，完全是随机的，这样，总体的指标就是一个随机变量，其分布完全描述了指的指标就是一个随机变量，其分布完全描述了指标在总体中的分布状况于是，在数理统计中就标在总体中的分布状况于是，在数理统计中就把把总体总体定义为服从某一分布的随机变量定义为服从某一分布的随机变量X（数量（数量指标），其概率分布称为指标），其概率分布称为总体的分布总体的分布，而每个，而每个个个体体对应随机变量对应随机变量X一个具体观察值前面谈到的一个具体观察值前面谈到的所有个体的指标值集合就是总体所有个体的指标值集合就是总
5、体X的所有可能取的所有可能取值的集合值的集合二、样本二、样本 我们知道，研究总体离不开研究它的体但我们知道，研究总体离不开研究它的体但在许多实际问题中，不可能对所有个体逐一进行在许多实际问题中，不可能对所有个体逐一进行研究，而只能从总体中抽取一部分个体进行观察研究，而只能从总体中抽取一部分个体进行观察（或试验），根据对这部分个体的观察结果来推（或试验），根据对这部分个体的观察结果来推断总体的分布情况断总体的分布情况 一般地，如果从总体中按一定规则抽取一般地，如果从总体中按一定规则抽取n个个个体进行观察（或试验），则称这个体进行观察（或试验），则称这n个个体为总个个体为总体的一个体的一个样本样本
6、（Sample），样本中所含个体的数），样本中所含个体的数目目n称为称为样本容量样本容量（Sample Size），抽取一个样），抽取一个样本的过程称为本的过程称为抽样抽样（Sampling）本书所涉及的抽样均指随机抽样，即，在具本书所涉及的抽样均指随机抽样，即，在具体的抽样之前，哪些个体被抽取，不能预先确定体的抽样之前，哪些个体被抽取，不能预先确定而应由观察（或试验）来定如果用而应由观察（或试验）来定如果用 表示样本表示样本中的第中的第i个个体的数量指标个个体的数量指标 ，那么一个容，那么一个容量为量为n的样本就可以表示为的样本就可以表示为 ，这是一个，这是一个n维随机向量如果用维随机向量如
7、果用 表示表示 的观察值的观察值，那么，那么，便是样本便是样本 的一个观察的一个观察值，称其为值，称其为样本观察值样本观察值或或样本值样本值，它是一组具体，它是一组具体的数据今后，为了方便起见，记号的数据今后，为了方便起见，记号 有时也表示样本值，这可以从上下文的联系来区有时也表示样本值，这可以从上下文的联系来区分：如果在一次具体抽样之前，那么，分：如果在一次具体抽样之前，那么，表示样本，它是一个表示样本，它是一个n维随机向量维随机向量iX),2 ,1(ni),(21nXXXixix),2 ,1(ni),(21nxxx),(21nXXX),(21nXXX),(21nXXX（这种情形多出现在理论
8、研究或推导中）；（这种情形多出现在理论研究或推导中）；如果在一次具体抽样之后，则如果在一次具体抽样之后，则 表表示样本值，它是一个具体的数值向量（在示样本值，它是一个具体的数值向量（在实际应用中就是这种情形）实际应用中就是这种情形）.要想由样本推断总体，就应当使样本要想由样本推断总体，就应当使样本既能够反映出总体的特点，又便于数学上既能够反映出总体的特点，又便于数学上的处理为此，要求样本具有以下两个特的处理为此，要求样本具有以下两个特性：性：（1）同分布性，即，样本）同分布性，即，样本 的各分的各分量与总体量与总体X有相同的分布；有相同的分布；（2）独立性，即，样本）独立性，即，样本 的各分量
9、的各分量相互独立相互独立),(21nXXX),(21nXXX),(21nXXX 我们把满足以上两个特性的样本称为我们把满足以上两个特性的样本称为简单随简单随机样本机样本，把获得简单随机样本，把获得简单随机样本 的过程，的过程，称为称为简单随机抽样简单随机抽样.由于简单随机样本实际上是由由于简单随机样本实际上是由一组独立同分布的随机变量构成的，因此，简单一组独立同分布的随机变量构成的，因此，简单随机抽样就是独立地、重复地对总体随机抽样就是独立地、重复地对总体X做抽样试做抽样试验验.就具体的方法而言，有放回抽样与不放回抽样就具体的方法而言，有放回抽样与不放回抽样之分之分.对于有限总体（即总体中个体
10、的数量有限），对于有限总体（即总体中个体的数量有限），我们通常采用放回抽样，这样随机抽取的样本便我们通常采用放回抽样，这样随机抽取的样本便是一个简单随机样本；对于无限总体（即总体中是一个简单随机样本；对于无限总体（即总体中个体的数量无限），放回抽样与不放回抽样几乎个体的数量无限），放回抽样与不放回抽样几乎没什么差别，因此没什么差别，因此通常采用不放回抽样通常采用不放回抽样.在实在实用上，即使对有限总体用上，即使对有限总体，只要抽取的，只要抽取的),(21nXXX 的个体数目的个体数目n与总体中个体的总数目与总体中个体的总数目N之比之比 很小（通常要小于很小（通常要小于0.1），仍可用不放回抽）
11、，仍可用不放回抽样，这样得到的样本可近似地看成一个简样，这样得到的样本可近似地看成一个简单随机样本单随机样本.今后，如不特别申明，我们所说的样本均今后，如不特别申明，我们所说的样本均指简单随机样本指简单随机样本 由于样本由于样本 的各分量独立且每的各分量独立且每个分量的分布都与总体个分量的分布都与总体X的分布相同，所以，的分布相同，所以，对密度函数对密度函数 为的连续型总体为的连续型总体X而言，样而言，样本本 的联合密度函数的联合密度函数.(6-1)Nn),(21nXXX)(xf),(21nXXXniinxfxxxf121)(),(而当总体而当总体X是离散型的且其概率函数是离散型的且其概率函数
12、（）时，样本）时，样本 的联合概率函的联合概率函数（或分布为）数（或分布为）.(6-2)不论是联合密度函数，还是联合概率函数，不论是联合密度函数，还是联合概率函数，它们都是样本信息最全面的概括，非常适它们都是样本信息最全面的概括，非常适合在某些场合（如第七章的参数估计）中合在某些场合（如第七章的参数估计）中使用但这种概括有时也不便或也没必要使用但这种概括有时也不便或也没必要使用，这时就需要引入能反映样本信息某使用，这时就需要引入能反映样本信息某个侧面的专门特征刻画个侧面的专门特征刻画.)(xpxXP,21aax),(21nXXX,2211nnxXxXxXPniiniiixpxXP11)(三、统
13、计量与样本数字特征三、统计量与样本数字特征1统计量统计量 完全由样本决定的量就称为完全由样本决定的量就称为统计量统计量（Statistic），它只依赖于样本，而不依赖），它只依赖于样本，而不依赖任何未知参数统计量可以看作是对样本任何未知参数统计量可以看作是对样本的一种的一种“加工加工”，是对样本中所含有用信，是对样本中所含有用信息的一种息的一种“提炼提炼”和和“集中集中”.比如对正态比如对正态总体总体 中抽取的样本中抽取的样本 来说，每个来说，每个 都含有都含有 的信息，而统计量的信息，而统计量 就是对这种就是对这种信息的一个集中，在做统计推断时，我们信息的一个集中，在做统计推断时，我们),(
14、2N),(21nXXXiXX2样本数字特征样本数字特征 主要利用的正是这种集中信息的统计量，而主要利用的正是这种集中信息的统计量，而不直接利用样本，可以说，统计量是进行统不直接利用样本，可以说，统计量是进行统计推断的一个基本工具计推断的一个基本工具.设设 是来自总体是来自总体X的容量为的容量为n的的样本，为提炼样本所反映的总体信息，简单样本，为提炼样本所反映的总体信息，简单的方法就是引进刻画样本特征的数量指标即的方法就是引进刻画样本特征的数量指标即样本的数字特征样本的数字特征.常用的样本数字特征有：常用的样本数字特征有：（1）样本均值样本均值（Sample Mean）：）：（6-3）),(21
15、nXXXniiXnX11 它反映了样本各分量取值的平均状态，是它反映了样本各分量取值的平均状态，是对样本位置特征的一个刻画，可作为总体对样本位置特征的一个刻画，可作为总体均值均值 的一个近似值的一个近似值.（2）样本方差样本方差（Sample Variance）：）：，（，（6-4）以及以及样本标准差样本标准差（Sample Standard Deviation）（或）（或样本均方差样本均方差）：）：.样本方差反映了样本中各分量取值的离散程样本方差反映了样本中各分量取值的离散程度，可用来作为总体方差的一个近似值度，可用来作为总体方差的一个近似值.在在)(XEniiXXnS122)(11niiX
16、XnS12)(11具体计算时，通常选用其简化公式具体计算时，通常选用其简化公式 （6-5）类似地，还有公式类似地，还有公式 ,其中其中a为任意常数为任意常数.（3）样本的）样本的k阶阶原点矩原点矩(Sample Raw Moment，Sample Moment)：,；niiXXnS122)(11niiiXXXXn122)2(11niniiiXnXXXn1212211niiXnXn12211niiaXnaXnS1222)()(11nikikXnA11,2 ,1k显然，样本均值显然，样本均值 就是样本的就是样本的1阶原点矩阶原点矩 .（4）样本的）样本的k阶阶中心矩中心矩(Sample Central Moment)：,；可见，样本方差可见，样本方差 与样本的与样本的2阶中心矩阶中心矩 只相差一个常数因子：只相差一个常数因子：.为明确这种为明确这种联系与区别，样本的联系与区别，样本的2阶中心矩阶中心矩 有时还有时还可用以下记号来表示可用以下记号来表示 .（6-6）X1AkniikXXnB)(11,3 ,2k2S2B221BnnS2B212)(1niinXXnS
