1、5 微积分学基本定理 一、变限积分与原函数的存在性 本节将介绍微积分学基本定理,并用以证明连续函数的原函数的存在性.在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法.三、泰勒公式的积分型余项 二、换元积分法与分部积分法一、变限积分与原函数的存在性,fa,bxa,bfa,x设设在在上上可可积积,则则在在上上 积分积分;类似称类似称()()dbxxf tt 为变下限的定积分为变下限的定积分.定理定理9.9(变上限定积分的连续性变上限定积分的连续性),fa,b若在上可积若在上可积()()d,xaxf tta b 则则在在,bax 证证,baxx 若若则则.上上连连续续()()d,xaxf ttxa
2、b 称称为变上限的定为变上限的定.可可积积()d()dxxxaaf ttf tt .d)(xxxttf,fa,b因在上有界因在上有界,|()|,.Mf txa b故故于是于是|()d|,xxxf ttx 从从而而定理定理9.10（微积分学基本定理（微积分学基本定理)若若 f 在在 a,b 上连续上连续,()()d,xaxf tta b 则则在在上处处可导上处处可导,且且d()()d(),.dxaxf ttf xxa bx 由由 x 的任意性的任意性,f 在在 a,b 上连续上连续.0lim 0.x 证证,0,xa bxxxa b 当当且且时时1()dxxxf ttxx),(xxf 01.由于由
3、于 f 在在 x 处连续，因此处连续，因此0()lim()().xxf xxf x 注注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似续函数必存在原函数续函数必存在原函数”这个重要结论这个重要结论.乎不相干的概念之间的内在联系乎不相干的概念之间的内在联系,也证明了也证明了“连连注注2 由于由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数的任意两个原函数只能相差一个常数,()()d.xaF xf ttC();xaF aCxb用用代代入入,得得再再用用代代入入,则则得得()d()().baf ttF bF a定理定理9.11(积分第二中值定理积分第二中值定理)设设 f
4、在在a,b上可积上可积.(i)若函数若函数 g 在在 a,b 上单调减上单调减,且且,0)(xg则存则存,a b 在在使使.d)()(d)()(abaxxfagxxgxf所以当所以当 f 为连续函数时为连续函数时,它的任一原函数它的任一原函数 F 必为必为(ii)若函数若函数 g 在在 a,b 上单调增上单调增,且且,0)(xg则存则存,a b 在在使使()()d()()d.bbaf x g xxg bf xx 证证 这里只证这里只证(i),类似可证类似可证(ii).证明分以下五步证明分以下五步:(1)对任意分割对任意分割 T：,10bxxxan ()()dbaIf x g xx11()()d
5、iinxxif x g xx111()()()diinxixif xg xg xx.21II 111()()diinxixig xf xx(2)|()|,f xL xa b故故因因1111|()()()diinxixiIf xg xg xx111|()|()()|diinxixif xg xg xx 1.ngiiiLx 01,:,ngT axxxb因因可可积积 故故使使1ngiiixL 1|.I 2111()()()niiiiIg xF xF x010()()()g xF xF x)()()(11 nnnxFxFxg(3)()()d,xaF xf tt设设则则11,()0,()()0.niig
6、g xg xg x由由对对的的假假设设记记101()()()F xg xg x.)()()()()(1111niniiixgbFxgxgxF)()()()()(1121 nnnnnxgxFxgxgxF(,)min(),xa bmF x(,)max(),xa bMF x12111()()()(),niiniIMg xg xMg xMg a则则12111()()()(),niiniImg xg xmg xmg a(4)综合综合(2),(3),得到得到12()().mg aIIMg a 0,()().mg aIMg a 令令便便得得(5)()0,()()d0,bag aIf x g xx若若则则此此
7、时时任任取取,a b 满满足足()()d()()d.baaf x g xxg af xx).()(2aMgIamg 于于是是()0,g a若若则则.)(MagIm()()dxaF xf tt由由()()d,()aIFf ttg a ,a b 则则存存在在使使()()d()()d()()d.bbaaf x g xxg af xxg bf xx 推论推论(),(),f xa bg xa b设设在在上上可可积积,在在上上单单调调,使使存存在在,ba 的连续性,的连续性,()()d()()d.baaf x g xxg af xx 即即证证 若若 g 为单调递减函数，为单调递减函数，()()(),h x
8、g xg b令令则则 h 非负、单调减非负、单调减,由定理由定理 9.11(i)，,a b 使使()()d()()dbaaf x h xxh af xx ()()()d.ag ag bf xx 因此因此()()d()()dbbaaf x g xxg bf xx()()()d,ag ag bf xx 即得即得()()dbaf x g xx()()d()()d()()dbaaag af xxg bf xxg bf xx ()()d()()d.bag af xxg bf xx 二、换元积分法与分部积分法(),(),(),ab atb t 则则()d()()d.baf xxfttt ()()d()()
9、()d.bbaaftttFtF xf xx 证证()(),F xf xa b设设是是在在上上的的一一个个原原函函数数,则则(),t 连连续续,在在上上连连续续可可微微,且且定理定理9.12（定积分换元积分法）（定积分换元积分法）(),f xa b若若在在上上的一个原函数的一个原函数.因此因此()()()Ftftt 是是注注 与不定积分不同之处与不定积分不同之处:定积分换元后不一定要定积分换元后不一定要例例1202d.1x xx求求解解21222222 1 20020d1d(1)12(1)22(1)1x xxxxx.15（不变元（不变元,不变限）不变限）元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限
10、元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限.保留原积分变量，因此不必改变积分限保留原积分变量，因此不必改变积分限;用第二换用第二换用原变量代回用原变量代回.一般说来，用第一换元积分法时，一般说来，用第一换元积分法时，例例2402d.21xxx求求解解2121,dd,22ttxxxt t x设设则则23;01,43.2txtxt时时于是时时于是4320121d(3)d221xxttx3311(3)23tt1271(9)(3)233.322（变元（变元,变限）变限）例例3350sinsind.xx x求求解解350sinsindxx x320sin|cos|dxxx3322202sincos ds
11、in(cos)dxx xxxx3322202sind(sin)sind(sin)xxxx552220222sinsin55xx224().555（必须注意偶次根式的非负性）（必须注意偶次根式的非负性）例例4120ln(1)d.1xxx求求解解2dtan,d.1xxttx设设则则,00 xt时时当当1,00tan1,44txtt 时时且且当当时时,于于是是14200ln(1)dln(1tan)d1xxttx40cossinlndcostttt402cos()4lndcosttt444000ln 2dlncos()dlncos d.4ttttt,dd,4utut 设设则则0,4tu时时4t 时时0
12、404lncos()dlncos(d)4ttuu40lncos d.u u 因此因此,14200ln(1)dln2d1xxtxln2.8 定理定理9.13（定积分分部积分法）（定积分分部积分法）若若 u(x),),v(x)为为 a,b 上的连续可微函数上的连续可微函数,则有定则有定0,u于是于是 积分的分部积分公式：积分的分部积分公式：()()d()()()()d.bbbaaau x v xxu x v xu x v xx证证 因为因为 uv 是是vuvu 在在 a,b 上的一个原函数上的一个原函数,()()dbau x v xx()().bau x v x 移项后则得移项后则得所以所以()(
13、)d()()dbbaau x v xxu x v xx()()d()()()()d.bbbaaau x v xxu x v xu x v xx例例5120arcsind.x x求求解解2darcsin,d,dd,1xux vxuvxx设设则则 111 2220002darcsindarcsin1x xxxxxx112222011(1)d(1)262xx 1 220112x 31.122例例620sind.nx x求求解解20sindnnJx x1222200sincos(1)sincosdnnxxnxxx 22200(1)sind(1)sindnnnx xnx x.)1()1(2nnJnJn于
14、是于是21,2.nnnJJnn 200d,2Jx210sin d1,Jx x221231(21)!,22222(2)!2mmmmJmmm 212222(2)!1,21213(21)!mmmmJmmm 1,2,.m 其中其中若若 u(x),v(x)在在 a,b 上有上有(n+1)阶连续导函数阶连续导函数,则则(1)()()dbnau x vxx()(1)()()()()nnu x vxu x vx1(1)(1)()()d.bnnaux v xx 三、泰勒公式的积分型余项由此可得以下带积分型余项的泰勒公式由此可得以下带积分型余项的泰勒公式.()(1)()()bnnaux v x()()(),nnf
15、 xP xRx0(1)1()()()d.!xnnnxRxftxttn00(),()(),()(),nxU xu txtv tf ttx证证 设设在在阶连续导数阶连续导数,则则()(),nPxf xn为为的的阶阶泰泰勒勒多多项项式式 余余项项为为其中其中,x与之间与之间则则定理定理9.1400()()1f xxU xn 设在的某邻域内有设在的某邻域内有.d)(!1)(0)1(xxnnnttxtfnxR其其中中注注 由推广的积分第一中值定理由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日型可得拉格朗日型000!()!()()()n f xnf xfxxx ()00()()!(),!nnnfxxxn Rxn
16、00!()0()dxxxxn f tf tt0(1)()()dxnnxxtftt()1(1)()()()()nnnnxtftn xtft由积分第一中值定理由积分第一中值定理,可得可得0(1)1()()()d!xnnnxRxftxttn(1)01()()(),!nnfxxxn 0(1)1:()()()d!xnnnxRxftxttn余余项项0(1)1()()d!xnnxfxttn(1)101()().(1)!nnfxxn )(!1)(00)1(xxxfnxRnn 000()()nxxxxxx.)()1)(!11000)1(nnnxxxxxfn 此式称为泰勒公式的此式称为泰勒公式的柯西型余项柯西型余
17、项.00(),01,xxx 则则 若记若记复习思考题:1.举例说明“可积”与“存在原函数”之间没有蕴举例说明“可积”与“存在原函数”之间没有蕴涵关系.涵关系.()()d,2.xag xf txa b若在某区间上处处可导 试若在某区间上处处可导 试(,),(,.)3.:fA Ba bA B设在上连续可以证明设在上连续可以证明()(),?g xf xxa b问问是是否否必必有有0()()limd()().bhaf xhf xxf bf ah试试分分析析下下面面的的“证证法法”错错在在何何处处:00()()()()limdlimdbbhhaaf xhf xf xhf xxxhh(2)给出正确证明给出正确证明(提示提示:需要借助变限积分需要借助变限积分).()d()()().bbaafxxf xf bf a要求要求:(1)指出其中三处错误指出其中三处错误;
