1、11/14/2022郑平正 制作曲线的参数方程曲线的参数方程高二数学高二数学 选修选修4-4高二数学高二数学 选修选修4-4 第二讲第二讲 参数方程参数方程1.1.参数方程的概念参数方程的概念1、参数方程的概念：、参数方程的概念：如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时时机呢？时时机呢？提示：提示：即求飞行员在离救援点的水平距离即求飞行员在离救援点的水平距离
2、多远时，开始投放物资？多远时，开始投放物资？救援点救援点投放点投放点1、参数方程的概念：、参数方程的概念：xy Ao设飞机在点设飞机在点A将物资投出机舱，将物资投出机舱，记物资投出机舱时为时刻记物资投出机舱时为时刻0，在时刻，在时刻t时物资时物资的位置为的位置为M(x,y).则则x表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度。表示物资距地面的高度。如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空
3、气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系，其中平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线，轴为地平面与这个平面的交线，y轴经过点轴经过点A.由于水平位移量由于水平位移量x与高度与高度y 是两种不是两种不同的运动得到的，因此直接建立同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足的关系式并不容易。所要满足的关系式并不容易。1、参数方程的概念：、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1
4、）沿）沿ox作初速度为作初速度为100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动；如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。xy500o0,y 令10.10.ts得100,1010.xtxm代入得.1010 所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在 指定位置 txy解
5、：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s1、参数方程的概念：、参数方程的概念：如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？一、方程组有一、方程组有3个变量，其中的个变量，其中的x,y表示点的表示点的坐标，变量坐标，变量t叫做参变量，而且叫做参变量，而且x,y分别是分别是t的的函数。函
6、数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯唯一决定，从数学角度看，这就是点一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标的坐标x,y由由t唯一确定，这样当唯一确定，这样当t在允许值范围内连在允许值范围内连续变化时，续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。）之间有一一对应关系。(),().xf tyg t（2）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许
7、值,由方程组由方程组(2)所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上,那么方程那么方程(2)就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程,联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做参变数叫做参变数,简称参数简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：关于参数几点说明：参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,1、参数方程的概念：、参数方程的概念：一般地一般地,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的坐标坐标x,y都是某个变数
8、都是某个变数t的函数的函数1.参数方程中参数可以有物理意义参数方程中参数可以有物理意义,几何意义几何意义,也可以没有明显意义。也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围 一架救援飞机以一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.在离灾在离灾区指定目标区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力时投放救援物资（不计空气阻力,重重力加速力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到（精确
9、到1m）变式变式:例例1:已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线与曲线C的位置关系；的位置关系；（2）已知点）已知点M3(6,a)在曲线在曲线C上上,求求a的值。的值。23,()21.xttyt为参数解解：（：（1）把点把点M1(0,1)代入方程组，解得：代入方程组，解得：t=0,因此因此M1在曲线在曲线C上。上。把点把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，代入方程组，方程组无解，因此因此M2不在曲线不在曲线C上。上。（2）因为）因为M3（6，a)在曲线在曲线C上。上。263,21.tat解得：解得：t=2,a=9a=92、方程、
10、方程 所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是（）sin(cosxy为参数）A、（、（2，7）；）；B、C、D、（、（1，0）1 2(,);3 31 1(,);2 21、曲线、曲线 与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是()A、（、（1，4）；）；B、C、D、21(43xttyt 为 参 数）25(,0);16(1,3);25(,0);16BD训练1：已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 点点M(5,4)在该在该 曲线上曲线上.（1）求常数）求常数a;（2）求曲线）求曲线C的普通方程的普通方程.212,().xttyat 为参数,aR解解:(1)由题意可知由题意可知:1+2t=5
11、at2=4解得解得:a=1t=2 a=1(2)由已知及由已知及(1)可得可得,曲线曲线C的方程为的方程为:x=1+2t y=t2由第一个方程得由第一个方程得:12xt代入第二个方程得代入第二个方程得:21(),2xy2(1)4xy为所求.训练2：思考题：思考题：动点动点M作等速直线运动作等速直线运动,它在它在x轴和轴和y轴方向的轴方向的速度分别为速度分别为5和和12,运动开始时位于点运动开始时位于点P(1,2),求点求点M的的轨迹参数方程。轨迹参数方程。解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得tytx12251所以，点M的轨迹参数方程为tytx12251参数方程求法参数方程求法:（1）建
12、立直角坐标系）建立直角坐标系,设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为(x,y)（2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义物理意义,建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程小结：小结：一般地，在平面直角坐标系中，一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数 (),().xf tyg t（2）并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组
13、（2）所确定的点）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上，那么方程（那么方程（2）就叫做这条曲线的）就叫做这条曲线的参数方程参数方程，系变数系变数x,y的变数的变数t叫做参变数，简称参数。叫做参变数，简称参数。2.2.圆的参数方程圆的参数方程yxorM(x,y)0M(,)tMM x yt如果在时刻，点转过的角度是，坐标是，那么，OMr设，那么由三角函数的定义有：cos,sinxyttrrcos()sinxrttyrt即为参数Or这就是圆心在原点，半径为 的圆的参数方程。()t其中参数 有明确的物理意义质点作匀速圆周运动的时刻yxorM(x,y)0Mt考虑到，也可以取 为参数，co
14、s()sinxryr于有 为参数是Or这也是圆心在原点，半径为 的圆的参数方程其中参数 的几何意义是:00OMOOMOM绕点 逆时针旋转到的位置时，转过的角度。0(,),Px yrP OP如果点 的坐标为圆半径为sincosryrx并且对于并且对于 的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组所确定的点所确定的点P(x,y),都在圆都在圆O上上.o思考思考1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？的圆的参数方程？-555-5rp0P(x,y)我们把方程组我们把方程组叫做圆心在原点、半径为叫做圆心在原点、半径为r的圆的的圆的参数方程，参数方程，是参数是参数.,Pxy根据三角函
15、数定义 点 的横坐标、纵坐标 都是 的函数 即11cossinxryr又?,)()(),(:22221那么参数方程是什么呢为的圆的标准方程、半径为圆心为思考rbyaxrbaO5-5-55v(a,b)oP(x,y)O1),(111yxP(a,b)r1(,),O a brOr圆心为、半径为 的圆可以看作由圆心为原点、半径为 的圆平移得到cossinxarybr byyaxx111111(,)(,),OP x yOP x y设圆上任意一点是圆上的点平移得到的,由平移公式 有圆的参数方程的一般形式圆的参数方程的一般形式00(,)o xyr圆心在点半径为 的圆的参数方程2220000cos()s()()
16、inxxyxxryyyrr对应的普通方程为为参数圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程：的圆的参数方程：222cossinxryrxyr（为对 应 的 普 通 方 程 为参 数）由于选取的参数不同，圆有不同的参由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示不同的参数方程，它们表示 的曲线可的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数
17、及参数的取值数参数时，要注明参数及参数的取值范围。范围。sincosryrxx x2 2+y+y2 2=r=r2 2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。坐标与参数之间的关系。2、参数方程的应用往往是在、参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P
18、是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆作匀速圆周运动时，求点周运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ(,),Mx yxOP解：设点的坐标是，(2cos,2sin),P则点由中点坐标公式得：2cos62x2sin2ycos3,cos3()sinMxy所以，点的轨迹的参数方程是为参数sin例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆作匀速圆周运动时，求点周运动时，求点M的
19、轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。cos3()sinMxy点的轨迹的参数方程是为参数思考：思考：这里定点这里定点Q在圆在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线？外，你能判断这个轨迹表示什么曲线？223)1Mxy消去，点的轨迹方程是:(如果定点如果定点Q在圆在圆O上，轨迹是什么曲线？上，轨迹是什么曲线？如果定点如果定点Q在圆在圆O内，轨迹又是什么？内，轨迹又是什么？221)1(1)Mxyx点的轨迹方程是:(22/2)1Mxay点的轨迹方程是:(3.3.参数方程和普通参数方程和普通方程的互化方程的互化cos3,()sinxMy由参数方程为参数 直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化
20、为熟悉的普通方程，则比较简单。由参数方程得：cos3,sinxy2222sincos(3)1xyM所以点 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。22(3)1xy3.参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：（1 1）普通方程化为参数方程需要引入参数）普通方程化为参数方程需要引入参数如：如：直线直线L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程.22,tytx（t为参数）为参数）在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x=tan,可以化为参数方程可以化为参数方程 .cot,tanyx （为参数）（2 2）参数方程通过）参数方程通过代入消元代入消元或或加减消元加减消元消
21、去参数消去参数化为化为普通方程普通方程如：如：参数方程参数方程.sin,cosrbyrax消去参数 可得圆的普通方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.42,tytx参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x0）注意：注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取的取值范围保持一致。值范围保持一致。否则，互化就是不等价的否则，互化就是不等价的.31sincos1()2)(1 sin21 2xtxtyyt 例、把下列参数方程化为普通方程，并说明各表示什么曲线？（）为
22、参数（为参数）1 1xt 解:(1)由1tx有1 2,yt 代入23(1)yxx 与参数方程等价的普通方程是23yx 得到(1,1)()这是以为端点的一条射线 包括端点yxo(1,1)类型一：参数方程化为普通方程类型一：参数方程化为普通方程代入消元法代入消元法31sincos1()2)(1 sin21 2xtxtyyt 例、把下列参数方程化为普通方程，并说明各表示什么曲线？（）为参数（为参数）2(2)sincos1 sin2,xyxy 解：把平方后减去得到sincos2sin(),4x又2,2,x 2,2,2.xy x 与参数方程等价的普通方程为：这是抛物线的一部分。xoy22类型一：参数方程
23、化为普通方程类型一：参数方程化为普通方程三角变换消元法三角变换消元法步骤：步骤：1、消掉参数消掉参数(代入消元，三角变形，配代入消元，三角变形，配方消元方消元)2、写出定义域写出定义域（x的范围）的范围）参数方程化为普通方程的步骤参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须在参数方程与普通方程的互化中，必须使使x,y前后的取值范围保持一致。前后的取值范围保持一致。注意：注意：练习：练习：参数方程参数方程)20()sin1(21|,2sin2cos|yx表示表示 （）（A）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，21）：）：（B）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的
24、一部分，这部分过（211，）；）；（C）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，21）；）；（D）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（1，21）B分析 一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解解x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线。)42sin(2|2sin2cos|x，又0-22cos(,)sin,2)_.xP x yyyx 3、已知点在曲线（为参数）上，则 的取值范围是30,3例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动上动点，求（点，求（1）x2+y2 的最值，的最值，（
25、2）x+y的最值，的最值，（3）P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。解：圆解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为用参数方程表示为sin2cos3yx由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin）（1）x2+y2=(3+cos)2+(2+sin)2=14+4 sin+6cos=14+2 sin(+).13(其中其中tan =3/2)x2+y2 的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14-2 。1313(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）24 x+y的最大值为的最大
26、值为5+，最小值为，最小值为5-。22(3)2)4sin(2421sin2cos3d显然当显然当sin（+）=1时，时，d取最大值，最取最大值，最小值，分别为小值，分别为 ，。4122221例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动上动点，求（点，求（1）x2+y2 的最值，的最值，（2）x+y的最值，的最值，（3）P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。练习：练习：1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是sin5cos5yx(0 2 )5 5 32,22QQ如果圆上点 所对应的坐标是则点 对应的参数 等于如果圆上点如果圆上点
27、P所对应的参数所对应的参数 ，则点，则点P的坐标是的坐标是 35235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 选择题：参数方程为参数 表示的曲线是圆心在原点 半径为 的圆圆心不在原点 但半径为 的圆不是圆以上都有可能A半径为表示圆心为参数方程、填空题sin2cos2)1(:3yx的圆，化为标准方程为（2，-2）112222yxsin22cos21yx化为参数方程为把圆方程0142)2(22yxyx小小 结结:1、圆的参数方程、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种
28、方法：、求轨迹方程的三种方法：相关点点问相关点点问题（代入法）；题（代入法）；参数法；参数法；定义法定义法5、求最值、求最值（1 1）写出定义域写出定义域（x的范围）的范围）（2 2）消去参数消去参数(代入消元，三角变换消元）代入消元，三角变换消元）1、参数方程化为普通方程的步骤、参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，在参数方程与普通方程的互化中，必须必须使使x,y前后的取值范围保持一致前后的取值范围保持一致。注意：注意：2、普通方程化为参数方程的步骤、普通方程化为参数方程的步骤把含有参数等式代入即可把含有参数等式代入即可)(2110012为参数，表示时间、tgthytx)(
29、4132,41,32),(2为参数以时间的轨迹的参数方程为于是点则，动点的位置是、设经过时间ttytxMtytxyxMt习题习题2.1答案答案xyACBO6)23(sin)21(cos)23(sin)21(cossin)1(cos)sin,(cos)23,21(),23,21(),0,1(,)(sincos,13222222222MCMBMAMCBAyxxCBABC则设点的坐标分别为为参数是那么外接圆的参数方程轴对称关于，时点如图的平面直角坐标系，建立的外接圆的半径为、解：不妨设双曲线；）（一段抛物线；为端点的以）（直线；、解,43)2,1(),2,1(,1,1,22,072)1(;4222yxxxyyx)(sincos)2()(113)1(5442为参数为参数、ayaxttyttx
