1、第第2章章 符号计算符号计算教学目标教学目标教学重点教学重点教学内容教学内容教学目标 一是讲述一是讲述MATLAB符号计算基本知识，包符号计算基本知识，包括符号对象的创建、符号数字、符号表达括符号对象的创建、符号数字、符号表达式的操作；式的操作；二是介绍符号微积分的计算；二是介绍符号微积分的计算；三是介绍符号矩阵分析和代数方程（组）三是介绍符号矩阵分析和代数方程（组）的符号解法；的符号解法；四是介绍符号计算结果的可视化。四是介绍符号计算结果的可视化。教学重点 熟悉符号对象的创建、符号数字、符号熟悉符号对象的创建、符号数字、符号表达式的操作。表达式的操作。熟悉符号微积分的基本计算函数指令。熟悉符
2、号微积分的基本计算函数指令。熟悉代数方程（组）的符号解法。熟悉代数方程（组）的符号解法。熟悉符号计算结果可视化的的基本指令。熟悉符号计算结果可视化的的基本指令。了解符号计算帮助系统及其帮助指令。了解符号计算帮助系统及其帮助指令。教学内容2.1符号对象和符号表达式符号对象和符号表达式2.2 符号数字及表达式的操作符号数字及表达式的操作 2.3 符号微积分符号微积分2.4 微分方程的符号解法微分方程的符号解法2.5 符号变换和符号卷积符号变换和符号卷积 2.6 符号矩阵分析和代数方程解符号矩阵分析和代数方程解 2.7 代数状态方程求符号传递函数代数状态方程求符号传递函数 2.8 符号计算结果的可视
3、化符号计算结果的可视化 2.9 符号计算资源深入利用符号计算资源深入利用Matlab的符号计算功能的符号计算功能umatlab自产生起就在数值计算上功能卓著自产生起就在数值计算上功能卓著,深受各专深受各专业计算人员的欢迎业计算人员的欢迎.但由于在数学但由于在数学,物理等各种科研和工物理等各种科研和工程应用中经常会遇到符号运算的问题程应用中经常会遇到符号运算的问题.为此为此,公司于公司于1993年购买了年购买了 Maple 软件的使用权软件的使用权,并在此基础上并在此基础上,开开发了符号计算工具箱发了符号计算工具箱(Symbolic Math Toolbox)umatlab 从从2008b 开始
4、与符号计算语言开始与符号计算语言MuPAD 相相结合，到结合，到2009b止仍然支持止仍然支持Maple引擎（需单独安装引擎（需单独安装Maple软件）软件）。在此版本之间输入指令。在此版本之间输入指令symengine弹出选择弹出选择MuPAD和和 Maple引擎的窗口。引擎的窗口。u从从2010a开始不再支持开始不再支持Maple引擎。引擎。符号运算与数值运算的区别：符号运算与数值运算的区别：符号运算中，解算数学表达式、方程时，不是在离散符号运算中，解算数学表达式、方程时，不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式和数学定化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式和数学定理，通过推理和演
5、绎，获得解析结果。这种计算建立理，通过推理和演绎，获得解析结果。这种计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础上，所得在数值完全准确表达和推演严格解析的基础上，所得结果是完全准确的。结果是完全准确的。符号运算符号运算-代数运算，公式推导代数运算，公式推导数值运算数值运算-算术运算算术运算代值代值2.1 符号对象和符号表达式符号对象和符号表达式在在matlab中中,数值和数值变量用于数值的存储和各种数值计算数值和数值变量用于数值的存储和各种数值计算.而而符号常量符号常量,符号变量符号变量,符号函数符号函数,符号操作等则是用来形成符号操作等则是用来形成符号符号表达式表达式,严格按照代数严格按照
6、代数,微积分等课程中的规则微积分等课程中的规则,公式进行运算公式进行运算,并并尽可能给出尽可能给出解析表达式解析表达式.2.1.1 符号对象的创建和衍生符号对象的创建和衍生 数值计算数值计算-变量先赋值变量先赋值,再使用再使用.符号计算符号计算-先定义基本的符号对象先定义基本的符号对象(可以是可以是常量常量,变变 量量,表达式表达式),然后用这些基本符号对象去构成新的表达然后用这些基本符号对象去构成新的表达式式,再进行所需的符号运算再进行所需的符号运算2.1.1 符号对象的创建和衍生符号对象的创建和衍生1.生成符号对象的基本规则生成符号对象的基本规则 任何基本符号对象（数字、参数、变量、表达式
7、）任何基本符号对象（数字、参数、变量、表达式）都必须借助专门的符号函数指令都必须借助专门的符号函数指令sym或或syms定义。定义。任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性。即任何包含符号对象的表达式、方程对象的属性。即任何包含符号对象的表达式、方程也一定是符号对象。也一定是符号对象。2 符号数字的定义符号数字的定义格式：格式：sc=sym(num)%sc为值为为值为num的符号数字的符号数字注意：注意：i)单引号必须在英文状态下输入，构成字符串单引号必须在英文状态下输入，构成字符串 ii)num为一个具体的数字为一个具体的数字如：如：sc
8、=sym(2/3)sb=sym(pi+sqrt(5)sc=2/3sb=pi+5(1/2)2 符号数字的定义符号数字的定义【例【例2.1-1】符号（类）数字与数值（类）数字之间的差异。】符号（类）数字与数值（类）数字之间的差异。a=pi+sqrt(5)sa=sym(pi+sqrt(5)Ca=class(a)Csa=class(sa)vpa(sa-a)a=5.3777sa=pi+5(1/2)Ca=doubleCsa=symans=0.00000000000000001382237584108520004859354256418 本例表现符号数字总是被准确记录和运算，而数值数字并不本例表现符号数字总
9、是被准确记录和运算，而数值数字并不总能保证被准确存储，运算时会引进截断误差。总能保证被准确存储，运算时会引进截断误差。3.基本符号变量：基本符号变量：定义格式：定义格式：i)syms para para=sym(para)syms a;a=sym(a)ii)syms para flag para=sym(para,flag)syms a positive;a=sym(a,positive)flag为参数属性：为参数属性：positive-参数取正实数参数取正实数real-参数为实数参数为实数unreal-参数为限定的复数参数为限定的复数iii)syms a b c syms a b c fla
10、g无逗号无逗号符号参数符号参数（表达式中的参数）（表达式中的参数）,“待解符号变量待解符号变量”或或“自由符号变量自由符号变量”（表达式中的自变量（表达式中的自变量x，默认默认为为x）25sin(3)30uzxzwa4.自由符号变量自由符号变量symvar(expression)列出表达式中所有基本符号变量列出表达式中所有基本符号变量symvar(expression,n)列出表达式中认定列出表达式中认定n个自由符号变量个自由符号变量expression是符号表达式或符号表达式矩阵，是符号表达式或符号表达式矩阵，x是是首选自由符号变量，认定优先次序为首选自由符号变量，认定优先次序为x,y,w,
11、z,v等等u解题结果是解题结果是“用符号参数构成的表达式表述自由符号用符号参数构成的表达式表述自由符号变量变量”。解题时自由符号变量可。解题时自由符号变量可“人为指定人为指定”，也可也可“默认地自动认定默认地自动认定”：与小写字母与小写字母 x 的的ASII码距离最码距离最小的变量。小的变量。syms u v w z a5f=sym(3);Eq=sin(f)*u*z2+v*z+f*w-a5;u【例【例2.1-2】用符号计算研究方程用符号计算研究方程 的解的解。25sin(3)30uzvzwasymvar(Eq)%按字母表顺序列出基本符号变量按字母表顺序列出基本符号变量,无无 fans=a5,u
12、,v,w,z symvar(Eq,100)%按离按离x的距离列出所有自由符号变量的距离列出所有自由符号变量ans=w,z,v,u,a5result_1=solve(Eq)result_1=a5/3-(v*z)/3-(u*sin(3)*z2)/3 result_2=solve(Eq,z)result_2=-(v-(v2+4*a5*u*sin(3)-12*u*w*sin(3)(1/2)/(2*u*sin(3)-(v+(v2+4*a5*u*sin(3)-12*u*w*sin(3)(1/2)/(2*u*sin(3)syms a b x X Yk=sym(3);z=sym(c*sqrt(d)+y*sin
13、(t);EXPR=a*z*X+(b*x2+k)*Y;u【例【例2.1-3】元符号表达式、衍生符号表达式定义，基】元符号表达式、衍生符号表达式定义，基本符号变量、自由符号变量的机器认定。本符号变量、自由符号变量的机器认定。E3=sym(a*sqrt(theta)?Error using=sym.sym convertExpression at 2515 E4=sym(a*sqrt(theta1)E5=sym(a*sqrt(theta*t)%在在R2009b版本中还正确版本中还正确?Error using=sym.sym convertExpression at 2515symvar(EXPR)a
14、ns=X,Y,a,b,c,d,t,x,y 无无 k zsymvar(EXPR,10)ans=x,y,t,d,c,b,a,X,Y 4.自由符号变量自由符号变量syms a b t u v x yA=a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+vsymvar(A,1)A=a+b*x,u+sin(t)x/exp(t),v+log(y)ans=x u【例【例2.1-4】symvar确定自由变量是对整个矩阵进行的。确定自由变量是对整个矩阵进行的。2.1.2 符号计算中的算符符号计算中的算符u由于新版由于新版matlab采用了重载采用了重载(Overload)技术技术,使得使得用来构成
15、符号计算表达式的算符和基本函数用来构成符号计算表达式的算符和基本函数,无论在形无论在形式式,名称名称,还是使用方法上还是使用方法上,都与数值计算中的算符和基都与数值计算中的算符和基本函数几乎完全相同本函数几乎完全相同,这给编程带来极大的方便这给编程带来极大的方便.(1)基本运算符基本运算符算符算符”+”,”-”,”*”,”,“/”,“”分别构成矩阵的加分别构成矩阵的加,减减,乘乘,左除左除,右除右除,求幂运算求幂运算.算符算符”.*”,“./”,“.”,“.”分别实现元素对元素的数组乘分别实现元素对元素的数组乘,除除,求幂运算求幂运算.算符算符”,“.”分别实现矩阵的共轭转置分别实现矩阵的共轭
16、转置,非共轭转置非共轭转置2.1.2 符号计算中的算符符号计算中的算符(2)关系运算符关系运算符在符号对象的比较中在符号对象的比较中,没有大于没有大于,大于等于大于等于,小于小于,小于等小于等于的概念于的概念,而而只有是否等于的概念只有是否等于的概念。”=“=“分别分别用来对算符两边的对象进行相等和不等的比较用来对算符两边的对象进行相等和不等的比较,返回返回为逻辑量。事实为真时，比较结果为为逻辑量。事实为真时，比较结果为1，事实为假时，事实为假时，结果为结果为0.2.1.3 符号计算中的函数指令符号计算中的函数指令符号计算中的函数分成三个层次：符号计算中的函数分成三个层次：1.与数值类函数和指
17、令对应的同名符号类函数和指令。与数值类函数和指令对应的同名符号类函数和指令。2.约约50个经典特殊函数（误差函数个经典特殊函数（误差函数erf、贝塞尔函数、贝塞尔函数besselj、椭圆积分、椭圆积分ElliptiK等），借助等），借助mfun调用，调用，用用mfunlist可列出。可列出。3.数量较大的数量较大的MuPAD库函数，借助库函数，借助evalin和和feval调调用。用。(2)指数指数,对数函数对数函数 sqrt,exp,expm在两者中用法相同符号计算中只在两者中用法相同符号计算中只有自然对数有自然对数log，而没有数值计算中的，而没有数值计算中的log2,log10(3)复数
18、函数复数函数 conj,imag,real,abs在两者中用法相同在两者中用法相同.但在符号但在符号计算中没有求相角的指令计算中没有求相角的指令angle.(1)三角函数三角函数,双曲线函数以及他们的反函数双曲线函数以及他们的反函数除除atan2只能用于数值计算外只能用于数值计算外,另外的在两种运算中另外的在两种运算中使用方法相同使用方法相同.与数值类函数和指令对应的同名符号类函数和指令与数值类函数和指令对应的同名符号类函数和指令(4)矩阵代数指令矩阵代数指令在符号计算中在符号计算中,matlab提供的常用矩阵代数指令有：提供的常用矩阵代数指令有：diag,tril,inv,det,rank,
19、eig,svd（Singular value decomposition奇异值分解）等奇异值分解）等与数值类函数和指令对应的同名符号类函数和指令与数值类函数和指令对应的同名符号类函数和指令(5)方程求解指令方程求解指令solve，与数值类不同。，与数值类不同。(6)微积分如微积分如diff，int，与数值类不完全相同。，与数值类不完全相同。(7)积分变换和反变换函数如积分变换和反变换函数如laplace，ilaplace，数，数值类只有值类只有Fourier变换。变换。(8)绘图函数如绘图函数如ezplot，ezsurf，数值类绘图指令更丰富。，数值类绘图指令更丰富。u数值计算对象数值计算对象
20、,符号计算对象符号计算对象,字符串是字符串是MATALB中最常用中最常用的数据对象的数据对象.他们遵循各自不同的运算法则他们遵循各自不同的运算法则,但有时在外形但有时在外形上却十分相似上却十分相似.MATLAB提供了一些识别不同数据对象的提供了一些识别不同数据对象的指令指令,常用的有常用的有class,isa,whos 例例2.1.3-1 数据对象及其识别指令的使用数据对象及其识别指令的使用(1)生成三种不同类型的矩阵，给出不同的显示形式生成三种不同类型的矩阵，给出不同的显示形式clear,a=1;b=2;c=3;d=4%产生四个数值变量产生四个数值变量Mn=a,b;c,d%利用已赋值变量构成
21、数值矩阵利用已赋值变量构成数值矩阵Mc=a,b;c,d%字符串中的字符串中的a,b,c,d与前面输入的数值变量无关与前面输入的数值变量无关Ms=sym(Mc)%符号变量，与前面的各变量无关符号变量，与前面的各变量无关2.1.4 符号对象的识别符号对象的识别Mn=1 2 3 4Mc=a,b;c,dMs=a,b c,dSizeMn=size(Mn),SizeMc=size(Mc),SizeMs=size(Ms)SizeMn=2 2SizeMc=1 9SizeMs=2 2(3)用用class获得每种矩阵的类别获得每种矩阵的类别CMn=class(Mn),CMc=class(Mc),CMs=class
22、(Ms)CMn=doubleCMc=charCMs=sym(4)用用isa判断每种矩阵的类别判断每种矩阵的类别isa(Mn,double),isa(Mc,char),isa(Ms,sym)ans=1ans=1ans=1Mn=1 2 3 4 Mc=a,b;c,dMs=a,b c,d(2)三个矩阵的大小不同三个矩阵的大小不同(5)利用利用whos观察内存变量的类别和其他属性观察内存变量的类别和其他属性 Name Size Bytes Class Mc 1x9 18 char array Mn 2x2 32 double array Ms 2x2 312 sym objecta=0:1:6;thet
23、a=sym(30*pi/180*a)alfa=sym(30*pi/180)*atheta=30*pi/180*aalfa=0,1/6*pi,1/3*pi,1/2*pi,2/3*pi,5/6*pi,pia与数组与数组a无关无关whos P26 Name Size Bytes Class ans 1x1 8 double t 1x201 1608 double y 1x201 1608 double 2.1.5 符号运算机理和变量假设符号运算机理和变量假设1.符号运算的工作机理符号运算的工作机理u Matlab借助借助sym或或syms定义符号变量时，启动定义符号变量时，启动MuPAD引擎并启动一
24、个专供引擎并启动一个专供MuPAD使用的内存工作使用的内存工作空间执行符号运算；空间执行符号运算；u matlab内存空间只保存该符号变量和计算结果。内存空间只保存该符号变量和计算结果。u 该定义变量的限定性假设（该定义变量的限定性假设（assumption）被保存在）被保存在MuPAD的内存空间。的内存空间。u 若变量不带限定性假设，则若变量不带限定性假设，则MuPAD默认为复数。默认为复数。2.1.5 符号运算机理和变量假设符号运算机理和变量假设2.对符号变量的限定性假设对符号变量的限定性假设i)syms x para=sym(x)ii)syms x flag para=sym(x,fla
25、g)syms a positive;a=sym(a,positive)iii)syms a b c syms a b c flagflag为参数属性：为参数属性：positive-参数取正实数参数取正实数real-参数为实数参数为实数unreal-参数为限定的复数参数为限定的复数2.1.5 符号运算机理和变量假设符号运算机理和变量假设3.清除变量和撤销假设清除变量和撤销假设u符号变量和其假设存放在不同的内存空间，因此删除符号变量和其假设存放在不同的内存空间，因此删除符号变量和撤销关于变量的假设是两件需要分别处理符号变量和撤销关于变量的假设是两件需要分别处理的事情。的事情。clear all 可
26、同时删除可同时删除clear x 删除删除matlab内存中的内存中的x变量变量syms x clear 撤销撤销MuPAD内存中对变量内存中对变量x的假设的假设evalin(symengine,getprop(x)获取获取x的限定性假设的限定性假设 evalin(symengine,anames(Properties)列出列出MuPAD内存中带限定性假设的符号变量内存中带限定性假设的符号变量reset(symengine)重启重启MuPAD引擎，清空引擎，清空MuPAD内存内存clear all 删除删除matlab及及 MuPAD内存中的所有变量内存中的所有变量【例【例2.1-6】syms
27、 对符号变量限定性假设的影响对符号变量限定性假设的影响syms x clearf=x3+4.75*x+2.5;rf=solve(f,x)rf=-1/2 1/4-(79(1/2)*i)/4 (79(1/2)*i)/4+1/4 evalin(symengine,getprop(x)ans=C_ syms x realrfr=solve(f,x)rfr=-1/2 evalin(symengine,getprop(x)ans=R_ clear xsyms xg=x2+x+5;rg=solve(g,x)Warning:Explicit solution could not be found.In sol
28、ve at 98rg=empty sym evalin(symengine,anames(Properties)ans=xsyms x clearrg=solve(g,x)rg=-(19(1/2)*i)/2-1/2 (19(1/2)*i)/2-1/2 reset(symengine)clear all2.1.6 符号帮助体系符号帮助体系 uMatlab符号指令帮助系统与符号指令帮助系统与2008年前不同，因为用年前不同，因为用MuPAD取代取代maple作为符号计算的内核。作为符号计算的内核。help SymNamehelpwin SymNamedoc SymNamedoc mfunlistd
29、oc(symengine)2.1.6 符号帮助体系符号帮助体系 uMatlab符号指令帮助系统与符号指令帮助系统与2008年前不同，因为用年前不同，因为用MuPAD取代取代maple作为符号计算的内核。作为符号计算的内核。help SymNamehelpwin SymNamedocsearch laplacedoc mfunlistdoc(symengine)2.1.6 符号帮助体系符号帮助体系 uMatlab符号指令帮助系统与符号指令帮助系统与2008年前不同，因为用年前不同，因为用MuPAD取代取代maple作为符号计算的内核。作为符号计算的内核。help SymNamehelpwin S
30、ymNamedocsearch laplacedoc mfunlistdoc(symengine)u开启开启MuPAD帮帮助浏览器。助浏览器。2.2 符号数字及表达式的操作符号数字及表达式的操作2.2.1双精度数字与符号数字之间的转换双精度数字与符号数字之间的转换sym(num,r)%“有理分数有理分数”表达的符号数字表达的符号数字:p/q,n(p/q)sym(num)%sym(num,r)的简写形式的简写形式1.双精度数字向符号数字的转换双精度数字向符号数字的转换(52)22eeN*2Nesym(num,f)%以数值以数值 表示表示“浮点数浮点数”，N,e为整为整数数 sym(1/10,f)
31、is 3602879701896397/36028797018963968 sym(num,e)%“有理分数有理分数”表达表达+机器实际浮点表达误差机器实际浮点表达误差e sym(3*pi/4,e)is 3*pi/4-103*eps/249sym(num,d)%十进制小数近似表示，有效数字位数受十进制小数近似表示，有效数字位数受 digits指令控制。默认为指令控制。默认为digits(32)情况情况.2.2.1双精度数字与符号数字之间的转换双精度数字与符号数字之间的转换sym(num)%sym(num,r)的简写形式的简写形式sym(num)%num是字符串数字是字符串数字 1.双精度数字向
32、符号数字的转换双精度数字向符号数字的转换 sym(num)中中num 用作符号计算函数的输入用作符号计算函数的输入时，体现其理论时，体现其理论真值真值，对对sym(num)中的中的num用作符号计算函数的输入用作符号计算函数的输入时，体现其字面数子的时，体现其字面数子的双精度近似双精度近似。2.2.1双精度数字与符号数字之间的转换双精度数字与符号数字之间的转换double(num_sym)%把符号数字转换为双精度数字把符号数字转换为双精度数字2.符号数字向双精度数字转换符号数字向双精度数字转换 注意：注意：double(num)把字符串数字转换为字符的把字符串数字转换为字符的ASCII码码do
33、uble(0.1)ans=48 46 49f=sym(10/3)Df=double(f)class(Df)Df=3.3333ans=doubledigits 显示当前环境下符号数字显示当前环境下符号数字“十进制浮点十进制浮点”表表示的有效数字位数；示的有效数字位数；digits(n)设定设定“十进制浮点十进制浮点”表示的有效数字位数；表示的有效数字位数；xs=vpa(x)据表达式据表达式x得到得到digits指定精度下的符号数字指定精度下的符号数字xs xs=vpa(x,n)据表达式据表达式x得到得到n位有效数字的符号数字位有效数字的符号数字xs2.2.2 符号数字的任意精度表达形式符号数字的
34、任意精度表达形式 u数值计算与符号计算的最重要区别：数值计算存在截数值计算与符号计算的最重要区别：数值计算存在截断误差，且在计算中不断传播，产生累计误差；符号断误差，且在计算中不断传播，产生累计误差；符号计算完全准确，没有累计误差，但降低计算速度，增计算完全准确，没有累计误差，但降低计算速度，增加内存。为兼顾精度和速度，采用加内存。为兼顾精度和速度，采用“变精度变精度”算法。算法。reset(symengine)sa=sym(1/3+sqrt(2)sa=2(1/2)+1/3 digits Digits=32 format longa=1/3+sqrt(2)sa_Plus_a=vpa(sa+a,
35、20)sa_Minus_a=vpa(sa-a,20)a=1.747546895706428sa_Plus_a=3.4950937914128567869sa_Minus_a=-0.000000000000000022658064826339973669 例例2.2-1 digits,vpa,symengine指令演示指令演示sa32=vpa(sa)digits(48)sa5=vpa(sa,5)sa48=vpa(sa)sa32=1.747546895706428382135022057543sa5=1.7475sa48=1.747546895706428382135022057543031411
36、90300520871 2.2.3 符号表达式的基本操作符号表达式的基本操作collect合并同类项numden获取最小公分母和相应分子expand展开指定项simplify简化表达式，消除冗余项factor因式分解simple搜索寻找最简表达horner转换为嵌套形式 pretty习惯方式显示syms x;f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3);g1=simple(f)g1=(2*x+1)3/x3)(1/3)验证验证:f2=g13f2=(2*x+1)3/x3expand(f2)ans=12/x+6/x2+1/x3+8例例2.2-2 简化简化32611238xxxf 2.2.4 表
37、达式中的置换操作表达式中的置换操作1.公共子表达式法简化表达 RS=subexpr(S);RS=subexpr(S,w);RS,w=subexpr(S,w)其中，w为MATLAB自动寻找的子表达式syms a b c d W;V,D=eig(a,b;c,d);RVD,W=subexpr(V;D,W)【例【例2.2-3】对符号矩阵对符号矩阵 进行特征向量分解。进行特征向量分解。abAcdRVD=(a/2+d/2-w/2)/c-d/c,(a/2+d/2+w/2)/c-d/c 1,1 a/2+d/2-w/2,0 0,a/2+d/2+w/2w=(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2)V=(a/
38、2+d/2-(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2)/2)/c-d/c,(a/2+d/2+(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2)/2)/c-d/c 1,1D=a/2+d/2-(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2)/2,0 0,a/2+d/2+(a2-2*a*d+d2+4*b*c)(1/2)/2 2.2.4 表达式中的置换操作表达式中的置换操作2.通用置换指令通用置换指令RESsubs(ES,old,new)RESsubs(ES,new)例例2.2-4 subs置换规则示例置换规则示例clearsyms a b x;f=a*sin(x)+b f1=subs(f,sin
39、(x),log(y)f2=subs(f,a,3.11)f3=subs(f,a,b,x,2,5,sym(pi/3)class(f3)f1=a*log(y)+b f2=b+(311*sin(x)/100f3=3(1/2)+5ans=sym (5)例例2.2-4 subs置换规则示例置换规则示例format%设为默认输出格式显示设为默认输出格式显示format compactf4=subs(f,a,b,x,2,5,pi/3)class(f4)f4=6.7321ans=double f5=subs(f,x,0:pi/2:pi)class(f5)f5=b,a+b,bans=sym t=0:pi/10:2
40、*pi;f6=subs(f,a,b,x,2,3,t)plot(t,f6)0123456711.522.533.544.55k=(0.5:0.1:1);f6=subs(subs(f,a,b,k,2),x,t);size(f6)plot(t,f6)ans=6 210123456711.21.41.61.822.22.42.62.83 f6=2*sin(t)+3 f=a*sin(x)+b 符号限定假设对方程根不起作用。符号限定假设对方程根不起作用。Matlab6.5 版本上机问题版本上机问题findsym(expression,n)当当n大于实际的基本变量数目时，按字大于实际的基本变量数目时，按字母
41、表顺序列出所有本符号变量；当母表顺序列出所有本符号变量；当n小于等于时，按与小于等于时，按与x距离顺序列出。距离顺序列出。symvar(expression,n)多一个参数多一个参数n在在Matlab6.5中不能用中不能用syms x clearf=x3+4.75*x+2.5;rf=solve(f,x)rf=-1/2 1/4-(79(1/2)*i)/4 (79(1/2)*i)/4+1/4 syms x realrfr=solve(f,x)rfr=-1/2 evalin(symengine,getprop(x)ans=R_ evalin(symengine,anames(Properties)调
42、用调用word问题。问题。指令的输入、编写用指令的输入、编写用M文件编辑器文件编辑器。习题习题2(Page114)除了第除了第3题不能得到实根、正根外，题不能得到实根、正根外，112题题,2325题都可做，只是题都可做，只是4题结果在差值有效数字上与题结果在差值有效数字上与2010版本有差别版本有差别,7题不能得到最简结果题不能得到最简结果,9题结果题结果 6.5版本错误版本错误,。单周上机，鞋套带上。单周上机，鞋套带上。clear all;clear mex syms x unreal通用置换指令通用置换指令RESsubs(ES,old,new)RESsubs(ES,new)digits(n
43、)设定设定“十进制浮点十进制浮点”表示的有效数字位数；表示的有效数字位数；xs=vpa(x,n)据表达式据表达式x得到得到n位有效数字的符号数字位有效数字的符号数字xsdouble(num_sym)%把符号数字转换为双精度数字把符号数字转换为双精度数字sym(num)%双精度数字转符号数字双精度数字转符号数字sym(num,r)的简写形式的简写形式sym(num)%定义符号数字，定义符号数字，num是字符串数字是字符串数字 syms x flag para=sym(x,flag)syms a positive;a=sym(a,positive)reviewdfdvn=diff(f,v,n)求f
44、jac=jacobian(f,v)求多元向量函数f(v)的jacobian矩阵r=taylor(f,n,v,a)把f(v)在v=a处进行泰勒展开2.3 符号微积分符号微积分2.3.1 极限和导数的符号计算极限和导数的符号计算limit(f,v,a)求极限limit(f,v,a,right)求右极限limit(f,v,a,left)求左极限)(limvfav)(limvfav)(limvfavnndvvfd)()10()()!knkkfaxak【例2.3-1】试求kxxx11limsyms x kf=(1-1/x)(k*x);Lf=limit(f,x,inf)Lf=1/exp(k)Lf1=vpa
45、(subs(Lf,k,sym(-1),48)Lf1=2.7182818284590452353602874713526624977572470937 syms a t x f=a,t3;t*cos(x),log(x);df=diff(f)dfdt2=diff(f,t,2)dfdxdt=diff(diff(f,x),t)xxttaflncos3dxdf22dtfddtdxfd2【例2.3-2】求df=0,0 -t*sin(x),1/xdfdt2=0,6*t 0,0dfdxdt=0,0 -sin(x),0 例例2.3-5:设设cos(x+siny)=siny,求求dy/dx(隐函数求导隐函数求导)
46、.%将将dy/dx表达式用表达式用x,y表达表达syms xg=sym(cos(x+sin(y(x)=sin(y(x)dgdx=diff(g,x)g=cos(x+sin(y(x)=sin(y(x)dgdx=-sin(x+sin(y(x)*(cos(y(x)*diff(y(x),x)+1)=cos(y(x)*diff(y(x),x)dgdx1=subs(dgdx,diff(y(x),x),dydx)dgdx1=-sin(x+sin(y(x)*(dydx*cos(y(x)+1)=dydx*cos(y(x)dydx=solve(dgdx1,dydx)dydx=-sin(x+sin(y(x)/(cos
47、(y(x)+cos(y(x)*sin(x+sin(y(x)sym xr=taylor(x*exp(x),9,x,0)pretty(r)例例2.3-6:求求f(x)=xex在在x=0处展开的处展开的8阶阶Maclaurin级数，即忽略级数，即忽略9阶及以上小量的泰勒级数展开阶及以上小量的泰勒级数展开。r=x8/5040+x7/720+x6/120+x5/24+x4/6+x3/2+x2+x 8 7 6 5 4 3 x x x x x x 2 -+-+-+-+-+-+x +x 5040 720 120 24 6 2 MATLAB求解通式求和求解通式求和 问题的指令为：问题的指令为：s=symsum(
48、f,v,a,b)求通式求通式f在指定变量在指定变量v取遍取遍 a,b中所有中所有整数整数时的和。时的和。2.3.2 序列序列/级数的符号求和级数的符号求和()bv af v说明：说明：（1）f是矩阵时，求和对逐个元素进行，但自变量定义在是矩阵时，求和对逐个元素进行，但自变量定义在整个矩阵上。整个矩阵上。（2）v省缺时，省缺时，f中的自变量由中的自变量由findsym（symvar）自动辨自动辨认；认；b可以取有限整数也可以取无穷大。可以取有限整数也可以取无穷大。（3）a，b同时省缺时，默认的自变量求和区间为同时省缺时，默认的自变量求和区间为0,v-1syms n kf1=1/(k*(k+1);
49、s1=symsum(f1,k,1,n)s1=1-1/(n+1)11(1)nkk k12)1(,)12(1kkkk【例2.3-8】求 ，。f2=1/(2*k-1)2,(-1)k/k s2=symsum(f2,1,inf)s3=pi2/8,-log(2)2.3.3 符号积分【例2.3-9】求 。lnxxdx intf=int(f,v)给出给出f 对指定变量对指定变量v的不定积分的不定积分 intf=int(f,v,a,b)给出给出f对指定变量对指定变量v的定积分的定积分syms xf=x*log(x)s=int(f,x)s=simple(s)f=x*log(x)s=(x2*(log(x)-1/2)
50、/2s=x2*(log(x)/2-1/4)2.3.3 符号积分 intf=int(f,v)给出给出f 对指定变量对指定变量v的不定积分的不定积分 intf=int(f,v,a,b)给出给出f对指定变量对指定变量v的定积分的定积分syms a b x;f2=a*x,b*x2;1/x,sin(x)disp(The integral of f is)pretty(int(f2)【例2.3-10】求 。21sina xb xd xxxThe integral of f is +-+|2 3|a x b x|-,-|2 3|log(x),-cos(x)|+-+f2=a*x,b*x2 1/x,sin(x)
