1、理科数学? 押题突破卷二?第?页? 共?页?理科数学? 押题突破卷二?第?页? 共?页? 绝密?启用前 ? ? ? ?年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学? 押题突破卷二? 注意事项? ?本卷共? ? ?分? 考试时间? ? ?分钟?答卷前? 考生务必将自己的姓名? 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上? ?回答选择题时? 选出每小题答案后? 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑?如需改动? 用橡皮擦干净后? 再选涂其它答案标号?回答非选择题时? 将答案写在答题卡上? 写在本试卷上无效? ?考试结束? 将本试题和答题卡一并交回? 一? 选择题? 本大题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?
2、分?在每小题给出的四个选项中? 只有一项是符合题目要求的? ?复数? ? ? ? ? 若? 则? ? ? ? 的值为? 槡? ? ? ? ? ?集合? ? ? ? ? ? ?的非空真子集的个数是? ? ? ? ? ? ? ? ? ?某校从? ? ? ?年的高考体检表中随机抽取了?名女生的身高? 厘米? 和体重? 公斤? 的数据如表所示?由散点图 知两变量具有线性相关性? 且根据上表得回归直线方程为? ? ? 则当女生身高为? ? ? 厘米?时? 据此预 估其体重为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?下列说法正
3、确的是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 图? ?是函数? ? ? ? 为指数函数的充分不必要条件 ?命题? 若? ? ? 则?的否命题是? 若? ? 则? ? ? ?若命题? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ?运行如图?程序框图? 若输入?的值? ? 则输出?的值为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在? ? ?中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ?的值为 ? 槡槡? ? ? 图? ?已知正方体? ? ? ?的棱长为? 某一个三棱锥的三个顶点为此正方体的三 个顶点? 第四个顶点
4、为一条棱的中点? 三视图如图?所示? 则此三棱锥的体积为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知双曲线? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线? ?交双曲线于?两点? ? ? 的面积为? ?为原点? ? 则函数? ? ?为奇函数?为偶函数 ?存在最小值?存在最大值 图? ?函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的部分图象如图?所示? 若把函数? ? 的图象 纵坐标不变? 横坐标扩大到原来的?倍得到函数? ?的图象? 把函数?的图象向左平 移? ? 得到函数? ?的图象? 则函数? ? ? 其中? ?为?的导数?在 ? ? ?的值域为 ? ?槡? ? ? ?
5、 ? ? ? ? ?槡? ?槡? ? ?已知圆? ? ?的圆心?在直线? ? ? ? ? ?上? 则? ? ? ? ? 的最小值是 ? ? ? ? ? ? ? ?在? ? ?中?为? ?的中点? ? ? ? ? ? ? ? 则?的大小为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?定义在? ? ?上的函数? ? ? ? ? ? ? 其中?为自然对数的底数? ? ? ? 下列关于函数? ?的三个命 题? ? ?当? ? 时? ?有最大值? ? ?当?时?有极小值? ? ?当? ? 对? ? ? ?恒成立时? ?的取值范围为? ? 其中正确的命题个数为? ? ? ? ? ? 二
6、? 填空题? 本大题共?小题? 每小题?分? 共? ?分? ? ?设 点? ? ? ? ? ? ?若 点?在? ? ?内 运 动 ? 包 括 边 界? ?则? ? ? ? 的 取 值 范 围 为? ? ?已知正六边形?的边长为? 在这?个顶点中任意取?个不同的顶点? ? ? ? ? 得到 线段? ? 则?的概率为? ? ?已知角?顶点在原点? 始边与?轴非负半轴重合? 点?槡?在终边上? 则? ? ? ? ? ? ? ? ?已知抛物线? ? ? ? 上任意一点到焦点?距离的最小值为? 且过点? 的直线?交抛物线于? ?两 点? 弦? ?中点?到?轴的距离为? 则? ? ? ? ? ? ? 三?
7、 解答题? 共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤?第? ? ?题为必考题? 每个试题考生都必须作 答?第? ? ? ?题为选考题? 考生根据要求作答? ? 一?必考题? 共? ?分? ? ? 本小题满分? ?分? 已知数列? ?的前?项和为? 且满足? ? 数列? 满足? ? ? 是首项为? 公差 为?的等差数列? ? ?求数列? ? ?的通项公式? ? ?若? ? ? ? 求数列? ?的前?项和为? 理科数学? 押题突破卷二?第?页? 共?页?理科数学? 押题突破卷二?第?页? 共?页? ? ? 本小题满分? ?分? 图? 如图? 直三棱柱? ? ?中? 底面是等腰直角三角形
8、? ? ? ?槡? ? ?为?的中点?在线段?上? ? ?当? ?时? 求三棱锥? ?外接球的表面积? ? ?设? ? 求?与平面? ?所成角的正弦值? ? ? 本小题满分? ?分? 图? 在网络空前发展的今天? 电子图书发展迅猛? 大有替代纸质图书之势?但电子阅 读的快餐文化本质? 决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料? 缺乏思想 深度和回味? 电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充?某地为了提高居民的 读书兴趣? 准备在各社区兴建一批自助图书站? 电子? 纸质均可凭电子借书卡借 书?由于不同年龄段需看不同类型的书籍? 为了合理配备资源? 现从一社区内随 机抽取了一天中的? ?名读书者进行
9、调查? 将他们的年龄分成?段? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?后得到如图?所示的频率分布直 方图? ? ?求? ?名读书者年龄的平均数和中位数? ? ?若将该? ?人分成两个年龄层次? 年龄在? ? ?定义为中青年? 在? ? ?定义为老年?为进一步调查阅读 习惯? 电子阅读和传统阅读?与年龄层次是否有关? 得到如下?列联表? 中青年老年合计 电子阅读 ? ? 传统阅读 ? ? 合计 ? ? 完善该表数据? 并判断? 是否能在犯错误率不超过?的前提下? 认为? 阅读习惯与年龄层次有关? 附? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10、 ? ? 其中? 临界值表供参考? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 图? 如图? 椭圆? ? ? ? ? ? ? ? ? 与?轴分别交于?点? 与?轴分别交于 ?点? 原点?到直线?的距离为? ? ? 槡? ? ? 椭圆?的离心率为? 且椭圆 ?经过点? ? ? 槡? ? ? ? ?求椭圆?的方程? ? ? 设?是椭圆?上的一点? 设? ? ? ? ? ? ? 过? ?作?于? 设?与椭圆?交于? 连接? ? 求直线? ?的斜率的取值范围? ? ? 本小题满分? ?分? 设函数? ?
11、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?证明? 函数?的图象过定点? 并求函数?的图象在定点处的切线斜率? ? ?当?时? 求证? ? ? ? ?在? ?存在唯一零点? ? 二?选考题? 共? ?分?请考生在? ? ? ?题中任选一题作答?如果多做? 则按所做的第一题计分? ? ? 本小题满分? ?分? ? 选修? 坐标系及参数方程? 已知曲线?的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为参数? ? 以坐标原点为极点? 以?轴非负半轴为极轴建立极坐标系? 直 线?的极坐标方程为? ? ? ? ? ? ? ?求出直线?的直角坐标方程和曲线?的普通方程? ? ?当直线?与曲线?
12、相切时? 求?的值? ? ? 本小题满分? ?分? ? 选修? 不等式选讲? 函数? ? ? ? ? ? ? ?证明? ? ? ?若存在? ? ? ? ? ? ? 使得 ? ? ? ? ?成立? 求?的取值范围? ? ? ? ? ?年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学? 押题突破卷二?参考答案 ?一? ? ?分? ? ? 因为? 所以? ? ? ? ? 故应选? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以?的非空真子集有? ? ? ?个? 故应选? ? ? 由上表得? ? ? ? ? ? ? 由样本 中心点? ? ? ? 在回归直线上可得? ? ? ? ? ? ?
13、 ? 则当? ? ?时? 体重的预估值? ? ? ? ? ? ? 故应选? ? ? 当? ? ? ? ? 故?不正确? 由 ? ? ? ? ?解 得? ?槡? ? ? ?当? ?槡? ? ? ? 时不是指数函数? 故?不正确? 易 知选项?的两个命题是互为逆否? 故?不正确? 由特称命题? ?的否定为全称命 题? ?得?正确? 故应选? ? ? 第一次运行? ? 第二次运行? ? ? ? 第三次运行? ? ? ? ? ? 所以输出? ? ? ? ? 故应选? ? ? 因为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14、? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ?槡? 故应选? ? ? 根据三视图得? 对应的三棱锥为? ? ? 所以体积为? ? ? ? ? ? ? 故应选? ? ? 是直线? ?与 ? ? ? ? ? ? ? ?相交于? ? ?所得的? ? ? ? ?的面积? 注意 到双曲线关于原点?中心对称性? 直线?与直线 ? ?也关于原点?中心对称性? 得? ? ? 所以? 是偶函数?由函数? ?的几何意义?既无最大值也无最 小值? 故应选? ? ? 由图易知? 且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ?
15、? ? ? 即? ? ? ?代入得? ? ? ? ? ? ? ? 由题意可得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设? ? ? ? ? ? ? 当? ? ? ? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? 则? ? ? 由二次函数的图象和性 质可得当? ? 时? ? ? ? ? ? 当?槡 ? ? 时? ? ?槡 ? 所以所求值域为
16、? ? ? ? ? ?槡? 故应选? ? ? ? 因为圆? ? ?的圆 心?在直线? ? ? ? ? ? ? ?上? 所以? 即? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? 当且仅当? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? 时? 取 得最小值? 故应选? ? ? ? 设? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为?为? ?的中点? 所以? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ?
17、 ? 所以? ? ? ? ? ? 由正弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以? ? ? ? ? ? ? 由已知得? ? ? 所以? 所以? ? ? ? ? ? 故应选? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设 ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 恒成立? 即? ? 在? ? ? 单调递增? ? ? ? ? ? ? ? ? 故当? ?时? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? 即 ?在? ? ?单调递减? ?有最大值? ? 故结论?正确? 当?时? 可知? ? ? ? ? ? 由?在?
18、? ?单调递增知存 在唯一? ? ? ? 使得? ? 且 ? ? ?时? ? ? 时? ? 则? ?时? 取得极小值? 故结论? 正确? 当? ? ? ?时? 可知? ? ? 恒成立? 即? ?在? ? ? 单调递减? 又? ? 所以? ? 恒成 立? 不满足? ? ? ? 当 ? ? ? ?时? 由上讨 论可知? 当? ?时? 也 不满足? ? ? ? 当? ? 时? 可知? ? ? 恒 成立? 即? ? 在? ? ? 单调递增? 所以? ? ?恒成立? 综上得结论?也正确? 故应选? 二? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作出三角形 ? ? ?所在的区 域? 直
19、线? ?的方程为? ?到直线 ? ?的距离为 ? 槡? ? ? ? ?的长为 槡? ? ? ? 所以的取值 范围为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由已知得? ?槡? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? 在这?个顶点中任意取?个不同的顶点? ? ? ? ? ? ?得到以下? ?条线段? ? ? ? 其中满足?槡? ? ?的有以下?条线 段? ? ? 根据古典概型的计算公式得? ? ? ?的概率为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由三角函数的定义易得 ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? 则? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ?
20、 ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? 由抛物线的定义可知? ? 即 ? 则? ? ?易知当直线?斜率不存在 时不满足? 设直线? ? ? ? ?联立 ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? 又? ? ? ? ? 则? ? ? 即? 代入到直线方程中得 ? ? ?槡? ? 又? ? ? ? ? ?设?到直线?的距离为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ?槡 ? ? ? 三? ? ? ?分? ? ?由题意?时? ?分? ? ? 时? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 综上? ? ? ?
21、? ? ? ? ? ? ?分? 又? ? ? ?时? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当?时? ?也适合? ?分? ? ?由? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 当? ? 时? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 上式相减得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 化简得? ? ? ? ?分 ? 当?时? ?也满足? 故? ? ? ? ? ?分 ? ? ? 直三棱柱? ? ?中得? ? ?平面? 所以? ? 因为? ? ? ?为?的中点? 所以? 因为 ? ? 所以?平面? ? ? 即 ?平面? ? ?
22、 因为? ?平面? ? ? 所以? ? ?分 ? 若? ? 因为? 所以 ? ?平面? ? 所以? ? ?分 ? 所以三棱锥? ?外接球的球心是 ?的中点? 因为? ?槡? ? 所以? ? ? ?槡 ? ?槡? ? 所以三棱锥? ?外接球的表面积为 ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ?在直三棱柱? ? ?中? 以?点 为原点? ? ? ? ?分别为?轴建立如图 所示空间直角坐标系? ?分? 因为? ?槡 ? 所以?槡? ? 因为? ? 所以? ? ? 所以? ? ?槡? 因为? ? ?槡 ? 所以? ?槡? ? 槡? ? ? ? 因为? ? 所以? 槡? ? 因为? 槡? ?
23、 ? 槡? ? ? ? ?分 ? 所以 ? ? ? ?槡?槡? ? ? ? ? ? 槡? ? ?槡 ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ? 为平面? ?的法向量? ? ?分 ? 设?与平面? ?所成的角为? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ?名读书者年龄的平均数为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设中位数为? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? 即? ?名读书者年龄的中位数
24、为? ? ?分 ? ? ?由频率分布直方图可得中青年人数为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 老年人数为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由此可得?列联表? 中青年老年合计 电子阅读 ? ? ? ? 传统阅读 ? ? ? ? 合计 ? ? ? ? ? ?分? 由题 意? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ?能在犯错误率不超过?的前提下? 认 为? 阅读习惯与年龄层次有关? ? ?分? ? ?由已知条件得? ? ? ? 槡? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ?
25、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ?槡 ? ? ? 所以椭圆?的方程为 ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ?设直线?的斜率是? 则? 槡? ?分 ? ? ?的坐标分别是? ? ? ? 则直线?的方程是? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 消去?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 由?点坐标为 ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 同理得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
26、 ? ? ? ? ? ?分 ? ? 因为? ? ? 在? ?槡? 上单调递增? 所以? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ?分? ? ? 因为? 所以函数? 的图 象过定点? ? ?分 ? 因为 ? ? ? ? ? ? ? ? 所以切线的斜 率为 ? ? ? ?分 ? ? ?当? ? 时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ? 单调递增? ? ? ? ? ? ? ? 也 单调递增? 所以 ? ? ? ? 在? 单调递增? ?分? ? ? ? 槡? 槡? ? ? 槡? ? 槡? ? ?槡? ? 因为? ? ? 所以? 槡? ? ? ? ?槡? ? ? 所以 ? ? ? 槡? ? ?
27、 ?当?时? ? ? ? ?分? ?当 ? ? ? 时? ? ? ? 槡? 槡? ? ? ? ? 槡? ? ? 槡? ? ? ? ?分 ? ?当?时? ? ? ? ? ? 综上?由 零 点 存 在 定 理 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在? ? 有唯一零点? ? ?分 ? ? ? 曲线?的直角坐标方程为 ? ? ? ? ? ? ?分? 直线?的直角坐标方程为? ?分 ? ? ? ?将?代入 ? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? 因为直线?与曲线?相切? 所以? ? ? ? ? ? ? ? 解得?槡? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ?当? ? 时? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? 当且仅当 ? ? ? ?槡?时? 取等号? 因为存在? ? ? ? ? ? ? 使得 ? ? ? ? ?成立? 所以? 所以?槡 ?或 ? ? ? 或? 槡? ?分 ?
