1、 - 1 - 华东师范大学出版社义务教育教科书数学 九年级上册第 24 章解直角三角形第 3 节 锐角三角函数（1） 教学设计 吉林省第二实验学校 刘 雪 飞 - 2 - 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 本节课的教学内容是华师版义务教育教科书 数学 九年级上册第 24 章 解直角三角形 第 3 节锐角三角函数的第一课时 锐角三角函数是初中数学“图形与几何”领域的重要内容本章是在学生已学完一 次函数和反比例函数基础上进行的，它反映的是数值与角度之间的对应关系通过“锐角三 角函数”的学习，不仅可以了解直角三角形的边与角之间的关系，而且还能进一步体会变化 与对应的函数思想 锐角三角函数分三课时
2、完成，本节课设计的是第一课时的教学，通过 实验探究使学生知道“在直角三角形中，当一个锐角确定时，其对边与斜边的比值是常数.” 这一事实本节课的重点是理解正弦函数的意义 二、目标和目标解析 1知识与技能 （1）理解正弦函数的意义 （2）用正弦函数解决简单的问题 2过程与方法 （1）通过实际问题的解决，让学生经历实验操作、观察猜想、推理证明等探究过程，经 历锐角三角函数生成的过程 （2）体会通过实验探究解决问题的方法，积累基本数学活动经验 3情感态度价值观 学生能积极参与数学学习活动，并从中获得成功的体验，建立自信心 目标解析：锐角三角函数是解直角三角形的重要工具之一，它揭示了直角三角形中边与 角
3、之间的关系通过本节课的学习，应让学生理解正弦函数的意义，并会用正弦函数解决简 单的实际问题 有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，动手实践、自主探索与合作交流是学生 数学学习的重要方式本节课通过创设实际问题情景，让学生经历实验操作、观察猜想、推 理证明等探究过程， 积累基本数学活动经验， 让学生通过“做”数学， 实现学习方式的转变， 成为数学学习的主体，积极参与到数学实验，并从中获得成功的体验，建立自信心 三、教学问题诊断分析 学生刚刚学完图形的相似，对于课堂开始提出的实际问题，容易联想到构造相似三角形 来解决，但是探究 55 角的对边与斜边的比值是否为定值，对学生比较困难.本节课设计了数
4、 学实验 1，让学生通过实验操作、观察猜想等探究过程，感知 55 角的对边与斜边的比值为定 值，进而解决问题，使学生初步感受实验探究也是解决问题的有效方法之一. 部分学生对于实验 1 中 55 角的对边与斜边的比值是定值不容易理解， 教师要引导学生一 起分析实验中存在的误差. 遵循从特殊到一般的认知规律， 在实验 1 的基础上， 是否可以把结论推广到一般锐角呢？ 对于部分学生依然是一个难点.设计了数学实验 2，让学生在实验探究的过程中感悟，直角三 角形中，对于任意锐角 ，其对边与斜边的比值为定值，从而引出正弦的概念，落实本节课 的重点.因为大部分学生画的锐角并不相等，使学生进一步体会每给锐角
5、一个值，都有唯一 的正弦值与之对应，引出函数，突破本节课的难点 四、教学支持条件分析 九年级的学生已经有了做数学实验的经验，尤其在实验中小组合作、任务分工及基本实 验流程是明确的.本节课借助于信息技术，制作课件辅助教学 五、教学过程设计 - 3 - 环节环节 名称名称 具体内容与呈现形式具体内容与呈现形式 师生行师生行 为预设为预设 设计意图设计意图 创 设 情 境 引 发 思 考 【问题提出】 十一期间，小明和同学去游乐园玩，下 图为他们一起坐过山车的图片.小明想知道 他们从底部上升到最高点 B 处时， 与地面的 垂直高度是多少. 轨道 AB 的长为 20 米，与地面的夹角 为 55 ，你能
6、帮助小明求出 BC 的长吗？ 【实验探究 1】 实验过程： 1.分别画出三个大小不同的直角三角 形，使其均满足有一个锐角等于 55 . 2. 分别测量上面三个直角三角形中 55 角的对边及斜边的长，并计算其对边与 斜边的比. 3. 观察每组数据，你有什么发现呢？ 【解决问题】借助实验结果，解决前面提出 的问题. 本章的第一 节课是测量，学 生可能会联想到 计 算 旗 杆 高 度 时，构造相似三 角形的方法，从 而解决问题. 此实验探究 为本节课的核心 内容之一. 不构 造相似三角形， 学生可能会不知 从何思考，教师 适时引导学生类 比于直角三角形 中， 30 的对边 与斜边的比值为 2 1 ，
7、45 的对边与 斜 边 的 比 值 为 2 1 ，大胆猜想 55角的对边与 斜边的比值应当 为定值，并通过 实验加以探究. 进而解决问题. 从实际问题引 入， 意在引发学生兴 趣的同时， 感知数学 与生活密不可分. “直角三角形 中，30 所对的直角 边等于斜边一半” 是这节课的切入点. 类比 30 、45 ，为 探究55 角的对边与 斜边的比值是否为 定值提供了实验方 案， 若为定值， 就可 以找到解决问题的 更简便的方法.学生 通过实验操作、 观察 猜想等探究过程， 得 出55 角的对边与斜 边的比值是定值， 进 而解决问题， 使学生 初步感受实验探究 也是解决问题的有 效方法之一. -
8、4 - 探 究 新 知 深 入 思 考 遵循从特殊到一般的认知规律，实验 1 的结论是否能推广到一般锐角呢？ 【实验探究 2】 实验过程： 1.画一个锐角， 记做 ， 并剪下来. （可 课前准备） 2.分别画出三个大小不同的直角三角 形，使其均满足有一个锐角与所画锐角 相等. 3.分别测量上面三个直角三角形中锐 角 的对边及斜边的长， 并计算其对边与斜 边的比. 4.观察每组数据，你有什么发现呢？ 【验证猜想】 . B A C B AB BC AACC CBAABC 试证明： . 中，和已知：在 ， 90 RtRt 【得出结论】 正弦概念: 在 RtABC 中，C=90 ，我们把锐角 A 的对
9、边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA 说明：sinA，sinABC，sin，sin1 有了前面的 实验经验，学生 能较为顺利的完 成任务，并敢于 猜想：直角三角 形中， 任意锐角 的对边与斜边的 比值为定值. 学生刚学完 相似三角形，能 顺利的完成实验 猜想的证明根 据实验结果，了 解锐角 每取一 个值，都有唯一 的正弦值与之对 应，体会函数思 想 从特殊到一般 是数学学习的重要 思想方法之一.学生 经历了从 30 、45 、 55 到任意锐角 的 实验探究得出相同 的结论： 直角三角形 中， 任意锐角 的对 边与斜边的比值为 定值.这一探究经 历， 既能培养学生数 学思考的严谨性， 学
10、 会通过实验探究的 方法研究问题， 又极 大地建立了学生数 学学习的自信心. 学生是数学学 习的主体.通过前面 的实验探究， 让学生 经历操作、 观察、 猜 想， 进而到推理、 证 明，这样的探究过 程， 能让学生经历三 角函数生成的过程， 实现有意义的数学 学习，进而落实重 点，突破难点 . c aA A 斜边 的对边 即sin C A A C B B B b c a CA - 5 - 例如 当A=30 时，sinA=sin30 = 1 2 ； 当A=55 时， 我们有 sinA=sin550.8 分析实验结果，对于任意锐角 ，都有 唯一的正弦值与之对应， 我们称之为正弦函 数 例 题 解
11、析 巩 固 新 知 例 1 在 RtABC 中， C=90 ， AB=5， BC=3，求A 和B 的正弦值. 例 2如图，点 A、B、C 均在边长为 1 的正方形网格的格点上，求 sin 的值. 两道题目都 是基础题目，应 用正弦函数的定 义计算.学生基 本上能够独立完 成. 请一名同学 到黑板书写,师 生共同强调规范 书写. 两道例题都起 到了巩固新知的作 用.例 1 与勾股定理 相结合， 直接应用正 弦函数的定义计算； 例 2 借助网格应用 正弦函数的定义计 算.两道题目都有效 的落实了本节课的 学习目标. 课 堂 小 结 总 结 提 升 谈谈你在本节课有哪些收获? 教师鼓励学生 畅所欲言
12、，总结 对本节课的收获 和体会学生思 考后充分发表自 己的意见，相互 补充，师生共同 归纳得到结论 有利于培养学生 归纳、 总结的习惯和 能力， 让学生自主建 构知识体系 目 标 检 测 设 计 题目设置 设计意图 1.如图，在ABC 中，C=90 ，AB=5，BC=3，则 sinA 的值是（ ） A 4 3 B. 3 4 C. 5 3 D. 5 4 1、2、3 题都考 查了正弦函数的定 义，属于基础题目. 第 1 题直接应用正 弦函数的定义计算， 第 2 题需要根据勾 股定理先求出斜边 AB 的长，再应用正 弦函数的定义计算， 第 3 题考查了应用 第2题 A C B 第3题 B C A 第
13、2题 A C B 第1题 CB A - 6 - 2. 如图，在ABC 中，C=90 ，AC=8，BC=6，则 sinB 的值是（ ） A 4 3 B. 3 4 C. 5 3 D. 5 4 3. 如图，在ABC 中，C=90 ，AB=5，sinA= 4 3 ，则 BC 的长为（ ） A3 B.4 C. 4 15 D. 3 20 4. 如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标 是(2， 3)， 则 OP 与 x 轴正半轴的夹角的正弦值是 . 5. 如图，点 A、O、B 均在边长为 1 的正方形网格的格点 上，则 sinAOB 的值是 . 6. 在 RtABC 中，若锐角 A 的对边和斜边
14、同时扩大 100 倍，则 sinA 的值将（ ） A扩大 100 倍 B缩小 C不变 D不能确定 7.如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，CDAB，AD=3， AC=5，求 sinB 的值 正弦函数的定义逆 向运算.三道题目都 围绕本节课的知识 目标设定， 有效的考 查学生对本节课学 习目标的达成情况， 具有很好的效度. 4、5 题进一步 考查了对正弦函数 的理解， 以及构造直 角三角形的意识和 能力.锐角三角函数 刻画的是直角三角 形的边与角的关系， 所以求某锐角的正 弦值， 必须要构造相 应的直角三角形. 6、7 题都考查 了函数的对应关系， 明确了正弦值只与 角度的大小有关， 而
15、与角的位置以及所 在图形的形状和大 小无关 本组题目的设 计共分为三个梯度， 从易到难， 让不同的 学生有不同的思考 和收获.预计前三个 题目学生基本都能 正确解答，4、5 题 经过分析大多数同 学也能得出正确答 案，6、7 两题则需 要认真思考， 理解相 同锐角（或相等锐 角）的正弦值相等， 对于基础较弱的同 学会有一定的难度， 但同时也给学有余 力的同学提供思考 的空间. 第 7 题 D B C A 第 5 题 B O A (2，3) x y O P 第 4 题 - 7 - 六、设计说明： 本节课通过解决实际问题，借助于两个数学实验，探究了正弦函数的生成过程，完成学 习目标.学生已经有了一
16、次函数和反比例函数学习的经验， 但锐角三角函数刻画的是直角三角 形边与角之间的对应关系，对学生来说，仍是一个难点.本节课主要研究了正弦函数的生成过 程，余弦函数和正切函数留在下节课学习.有了本节课的学习经验，学生对余弦函数和正切函 数的学习会更容易接受，所以本节课的重点放在了正弦函数的探究过程. 我们期待不同的学生在数学学习中得到不同的发展.对于学习基础薄弱的学生， 在数学实 验中，能通过画图、测量、计算等活动，了解锐角三角函数的定义，完成本节课的学习目标； 对于学习能力较强的同学，在数学实验中，完成本节课学习目标的同时，还应体会探究学习 的方式方法，更主要的是提高分析问题、解决问题的能力，为后续的学习奠定基础.期待学生 的数学思维更加灵动. 希望本节课能给大家提供一个案例，创设一个开放的数学课堂环境，让学生真正成为学 习的主体，经历动手、动脑、探究、交流的学习过程，学会学习数学.
