1、学习目标：学习目标：掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率采样设计法 理解IIR与FIR数字滤波器的比较第七章第七章 FIRFIR数字滤波器设计数字滤波器设计IIRIIR数字滤波器：数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计FIRFIR数字滤波器：数字滤波器：可以严格线性相位，又可任意幅度特性全零点滤波器，因果稳定系统可用FFT计算当幅频特性指标相同（不考虑相位特性）时，FIRDF的阶次比IIRDF要高得多；但同时考虑幅频特性指标和线性相位时，FIRDF更易实现。主要对幅频特性进行逼进，相频特性会存在不同程度的非线性本章主要讲述：本章主要讲述：p 7.1 线性相位FIRDF及其
2、特点p 7.2 用窗函数法设计FIRDFp 7.3 利用频率采样法设计FIRDFp 7.5 IIR与FIR数字滤器的比较7.1 7.1 线性相位线性相位FIRDFFIRDF及其特点及其特点传输函数幅度特性（可为负值）相位特性第一类线性相位 严格线性函数：第二类线性相位 满足 为常数，为起始相位1()0()()()Njj njgnH eh n eHe)(gH()(0()0返回1 1 线性相位线性相位FIRDFFIRDF系统的群时延：群时延：群时延均为常数称为恒定群延时滤波器：()()dd ()dconstd 返回回到本节对称：对称：类型类型 1:1:0 06 61212n nCentre of
3、symmetryCentre of symmetryN odd,positive symmetryN odd,positive symmetryN为奇数，偶对称为奇数，偶对称对称中心对称中心返回回到本节 类型类型 2 2:0 06 61111n nCentre of symmetryCentre of symmetryN even,positive symmetryN even,positive symmetryN=12N=12N为偶数，偶对称为偶数，偶对称对称中心对称中心返回回到本节 类型类型 3:3:0 06 6n nC Ce en nt tr re e o of f s sy ym mm
4、 me et tr ry yN N o od dd d,n ne eg ga at ti iv ve e s sy ym mm me et tr ry yN N=7 7N为奇数，奇对称为奇数，奇对称返回回到本节类型类型 4:4:0 07 7n nC Ce en nt tr re e o of f s sy ym mm me et tr ry yN N e ev ve en n,n ne eg ga at ti iv ve e s sy ym mm me et tr ry yN N=8 8N为偶数，奇对称为偶数，奇对称返回回到本节2 2 线性相位的条件线性相位的条件（1 1）时域约束：）时域约束
5、：第一类线性相位：其中：1()0()()()(Njj njgnjgH eh n eHHee()10()(cossin)()(cossin)Ngnh nnjnHj1010()cos()cos()sin()sinNgnNgnHh nnHh nn返回回到本节 三角函数的恒等关系 1010()cos()cos()sin()sinNgnNgnHh nnHh nn1010()coscossin()sinNnNnh nnh nn1100sin()coscos()sinNNnnh nnh nn10()sin()0Nnh nn返回回到本节 满足上式的一组解 关于求和区间的中心奇对称 则要求 关于 偶对称 10(
6、)sin()0Nnh nn()sin()h nnsin()(N 1)/2nn=因为关于奇对称，令(n)h(1)/2N()(1)01()1()(1)12(1)2h nh NnnNNN 返回回到本节0 06 61212n nCentre of symmetryCentre of symmetryN odd,positive symmetryN odd,positive symmetry返回回到本节第二类线性相位：第二类线性相位：其中：1(/2)0()()()Njj njgnH eh n eHe()/2 10()(cossin)()(sincos)Ngnh nnjnHj 1010()sin()cos
7、()cos()sinNgnNgnHh nnHh nn返回回到本节1010()sin()cos()cos()sinNgnNgnHh nnHh nn 三角函数的恒等关系 1010()cossincos()sinNnNnh nnh nn1100cos()cossin()sin0NNnnh nnh nn10()cos()0Nnh nn返回回到本节 满足上式的一组解 关于求和区间的中心奇对称 则要求 关于 奇对称10()cos()0Nnh nn()cos()h nncos()(N 1)/2nn=因为关于偶对称，令(n)h(1)/2N 1(),(1)22()(1)01Nh nh NnnN 返回回到本节 2
8、0)1(N 20)5.0(N2 偶对称)(nh 奇对称)(nh图1 线性相位特性返回回到本节h(nh(n)=h(N-n-1)=h(N-n-1)，N N为奇数为奇数幅度特性为：相位特性：由于 偶对称，因此，对这些频率也呈偶对称。(3)/20()2()cosNgnHhh nn()cos()0,2n关于 gH（2）频率约束：）频率约束：返回回到本节 10()Njjj ngnH eHeh n e(3)/20()2()cosNgnHhh nn()11(1)201()(1)2NMjj njN nnNheh n eh Nne 11()(1)221201()()2NMjjNnNjnnNehh n eh n e
9、 102()cos()Mjnehh nn推导：推导：返回回到本节h(nh(n)=h(N-n-1)=h(N-n-1)，N N为偶数为偶数幅度特性：相位特性：12010)21(cos)(2)21cos()()(NnNngNnnhNnnhH()返回回到本节证明：证明：11012(1)01/2 1()()20/2 10122()()(1)()()2()cos()Njjj ngnNj njN nnNNjjnjnnNjNNnH eHeh n eh n eh Nneeh n eh n eeh nn 返回回到本节幅度特性为：相位特性：由于 偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。由于/2 102()cos()Nj
10、jjgnH eHeeh nn(1)/20()2()cosNgnHh nn()coscos(/2 1/2)sin(/2)0nn Nn N()0gHcos()0,2n关于 Hg返回回到本节 h(n)h(n)奇对称，奇对称，N N为奇数，为奇数，h(n)=-h(N-1-n)h(n)=-h(N-1-n)相位特性:()/2 3210NjN nj nnh n eh n e 1()0Njjj ngnH eHeh n e 32101NjN nj nnh n eh Nne 返回回到本节 32101/2 1()()203122011223220()()12sin22sinNjN njj nnNNjjnjnnNNN
11、NjnNjnH eh n eh n eeh n eh n eNjeh nneh nn 320()2sinNgnHh nn返回回到本节由于 点呈奇对称，所以 对这些点也奇对称。由于 时，相当于H（z）在 处有两个零点，不能用于 的滤波器设计2,0sin对n gH1z 2,0 sin0,0,gnH 00)0(HH和 320()2sinNgnHh nn返回回到本节 h(n)h(n)奇对称，奇对称，N N为偶数为偶数 相位特性:频率特性:320()2sinNgnHh nnHg()在=0，2 处为零，即H(z)在 z=1处有零点；Hg()在=0，2 奇对称，在=处偶对称。()/2 /2 1/2N返回回到
12、本节（3 3）线性相位）线性相位FIRDFFIRDF的零点分布特点的零点分布特点 将 代入式 得到：()(1)h nh Nn 10()()NnnH zh n z11001(1)0(1)1()()(1)()()NNnnnnNNmmNH zh n zh Nn zh m zzH z 返回回到本节返回()0iH z*,1/iizz即 也是零点(1)1()()NH zzH z 得：由1）若 z=zi 是H(z)的零点，则 z=zi-1 也是零点2）h(n)为实数，则零点共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对1(1)()()0NiiiH zzH z 回到本节7.2 7.2 窗
13、函数设计窗函数设计FIRDFFIRDFp设计思想设计思想保证线性相位逼近理想滤波器窗口设计法（时域逼近）频率采样法（频域逼近）一般情况下是无穷序列，需对其进行截断，即时域加窗加窗的影响窗函数的设计()jdHe()dhn返回本节主要讲述：本节主要讲述：7.2.1 用窗函数法设计FIRDF的基本方法7.2.2 窗函数法的设计性能分析7.2.3 典型窗函数介绍7.2.4 用窗函数法设计FIRDF的步骤 返回7.2.1 7.2.1 用窗函数法设计用窗函数法设计FIRDFFIRDF的基本方法的基本方法 具体设计步骤：具体设计步骤：（1）构造希望逼近的频率响应函数 。以低通线性相位FIRDF设计为例，一般
14、选择 为线性相位理想低通滤波器，即 （7.2.1）（2）求出 。对 进行IFT得到()jdHe()jdHejcjdce,(e)0,H()jdHe()dh nccjjjjcddsin()11()(e)edeed22()nnnh nHn返回回到本节（3）加窗得到FIRDF的单位脉冲响应h(n)式中，w(n)称为窗函数，其长度为N。如果要求设计第一类线性相位如果要求设计第一类线性相位FIRDFFIRDF，则要求，则要求h h(n n)关关于于 (N N-1)/2-1)/2点偶对称。点偶对称。而而h hd(d(n n)关于关于n n=点偶对称，所以要求点偶对称，所以要求=(=(N N-1)/2-1)/
15、2。同时要求同时要求w w(n n)关于关于(N N-1)/2-1)/2点偶对称。点偶对称。d()()()h nh n w n返回回到本节例：例：理想低通滤波器 N=31，jjg(e)FT()()eHh nH/4c返回回到本节7.2.2 7.2.2 窗函数法的设计性能分析窗函数法的设计性能分析/2 1/2N1,01()()0,RNnNwnRnn其它1(1)2sin(2)()()sin(2)()jNjRRjRgNWeFT wneWeu矩形窗函数：u其频率响应为：返回回到本节 理想滤波器 加窗得到的FIRDF的单位脉冲响应为 h(n)的频率响应函数()()()dRh nhn wn()()jjddg
16、HeHe1()()()()2jjjdRH eFT h nHeWe返回回到本节()1()()()21()()2jjjdRjjdRH eHeWeH eWed()jgHe1()()2jdgRgeHWd()1()()2jjdgRgHeWed ()1()()2jdgRgeHW 返回回到本节 幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与窗函数幅度特性的卷积 相位保持严格线性 因此，只需分析幅度逼近误差1()()()2()(1)/2gdgRgHHWN 返回回到本节返回回到本节卷积结果 矩形窗对理想低通幅度特性的影响返回回到本节对加矩形窗处理后，其频率响应的几点影响：对加矩形窗处理后，其频率响应的几点影响：改变了理
17、想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 等于 的主瓣宽度。（决定于窗长）通带、阻带均有纹波，纹波取决于 的旁瓣，旁瓣幅度大，纹波幅度大，与窗口长度 N无关。（决定于窗口形状）N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值变大，起伏变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。()dh n()RgWN4()RgW返回回到本节改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：数有许多种，但要满足以下两点要求：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较
18、陡的过渡带；窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。高阻带衰减和通带平稳性。但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。返回回到本节1 1矩形窗（矩形窗（Rectangle WindowRectangle Window）窗函数的几个参数:旁瓣峰值旁瓣峰值 n n窗函数的幅频函数 的最大旁瓣的最大值相对主瓣最大值的衰减（dB）；过渡带宽度过渡带宽度 B B用该窗函数设计的FIRD
19、F的过渡带宽度；阻带最小衰减阻带最小衰减 s s用该窗函数设计的FIRDF的阻带最小衰减。()()RNwnRnjjRRRg(e)FT()()e,(1)/2WwnWNRgsin(/2)()sin(/2)NWg()W7.2.3 7.2.3 典型窗函数介绍典型窗函数介绍 返回回到本节 矩形窗的四种波形如图：返回回到本节矩形窗函数的损耗函数曲线：（N=21,31,63时）主瓣宽度与主瓣宽度与N N 成反比，即滤波器过渡带宽度与成反比，即滤波器过渡带宽度与N N成反比，但是旁瓣峰值并不随成反比，但是旁瓣峰值并不随N N增大而变化，增大而变化，返回回到本节2 2三角窗（三角窗（Bartlett Windo
20、wBartlett Window）B21，012()212，112nNnNwnnNnNN2jj(1)/2BB2sin(/4)(e)FT()esin(/2)NNWwnN2Bg2sin(/4)()sin(/2)NWN单位脉冲响应：频率响应：n其主瓣宽度为其主瓣宽度为 ，第一旁瓣比主瓣低，第一旁瓣比主瓣低26dB。8/N返回回到本节三角窗的四种波形如图：返回回到本节3 3升余弦窗（汉宁窗升余弦窗（汉宁窗:HanningHanning Window Window）hn2()0.5 1cos()120.5()()cos1NNNnwnRnNnRnRnN窗函数：窗函数：频率响应频率响应：1122211221
21、1220.50.2511220.50.2511NNjjjNhnRgRgNjNRgNjRgRgRgWeWeWeNWeNWWWeNN返回回到本节当N1，可近似为：三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍，为 12220.50.25NjjhnRgRgRgWeWWWeNN 220.50.25jhngRgRgRgWeWWWNN8N返回回到本节汉宁窗的四种波形如图：返回回到本节4 4改进升余弦窗（哈明窗改进升余弦窗（哈明窗:Hamming Window:Hamming Window）hm2()0.540.46cos()1NnwnRnNjj(1)/2hmhmhmg
22、(e)FT()()eNWwnWhmgRgRgRg22()0.54()0.230.23WWWWNN 窗函数：窗函数：频率响应：频率响应：返回回到本节 当N1，可近似为：是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。(1)/22()0.54()0.23()2()hmRgRgjNRgWWWNWeN22()0.54()0.23()()hmgRgRgRgWWWWNN408/53nsdBBNdB 返回回到本节哈明窗的四种波形如图：返回回到本节5 5布莱克曼窗（布莱克曼窗（Blackman WindowBlackman Window
23、）窗函数窗函数:增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，增加N可减少过渡带频率响应：频率响应：24()0.420.5 cos0.08 cos()11blNnnwnRnNN)12()12(25.0)(42.0)(NWNWWWRRR)14()14(04.0NWNWRR5712/74nsdBBNdB 返回回到本节布莱克曼窗的四种波形如图：返回回到本节6 6凯塞窗（凯塞窗（Kaiser WindowKaiser Window）以上五种窗函数，滤波器的阻带衰减是固定的 不同的窗函数通过增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。对给定的指标，凯塞窗函数可
24、以使滤波器阶数最小。凯塞窗函数凯塞窗函数:20k02I111()()I()NnNw nRn返回回到本节 凯塞窗函数 是调整参数，可自由选择决定主瓣宽度与 旁瓣衰减。越大，wk(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取 49。=5.44 接近汉明=8.5 接近布莱克曼=0 为矩形 22111()()okNonINw nRnI返回回到本节 I0(x)是零阶修正第一类贝塞尔函数 参数 控制滤波器阻带的最小衰减 通带纹波幅度近似等于阻带纹波幅度，未单独控制210!)2/(1)(kkkxxIs0.40.1102(8.7)500.5842(21)0.07886(21)215002182.285sss
25、ssssspdBdBdBdBNBB 返回回到本节六种窗函数基本参数六种窗函数基本参数 窗函数类型旁瓣峰值n（dB）过渡带宽度B阻带最小衰减s（dB）近似值精确值矩形窗134/N1.8/N21三角窗258/N6.1/N25汉宁窗318/N6.2/N44哈明窗418/N6.6/N53布莱克曼窗5712/N11/N74凯塞窗(=7.865)5710/N80返回回到本节7.2.4 7.2.4 用窗函数设计用窗函数设计FIRFIR滤波器的步骤滤波器的步骤p 选择窗函数的类型和长度 根据阻带最小衰减选择窗函数的类型原则是：在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。根据过渡带的宽度选择窗函数的
26、长度p 按性能指标要求，构造希望频率响应函数(理想)理想滤波器的截止频率 近似为过渡带中心频率，幅度函数衰减一半（-6dB)(1)/2()()jjNddgHeHec()/2cps返回回到本节p确定期望滤波器的单位脉冲响应p加窗得到设计结果()()12jddjj ndh nIFT HeHeed()()()dh nh n w n返回回到本节用窗函数设计线性相位高通FIRDF，要求通带边界频率 ，通带最大衰减 ，阻带截止频率 ，阻带最小衰减 解：解：1）选择窗函数 因为阻带最小衰减 ，可选择汉宁窗、哈明窗。这里选择汉宁窗。求N=？根据过渡带宽1pdB/2prad40sdB/4srad40sdB6.2
27、/4BN6.26.26.2/24.8/4psNB返回回到本节高通，N为奇数，N=252)期望理想滤波器2512()1cos()2111cos()212hnNnwnRnNnRn,|()0,|jcjdceHe(1)/212,()/23/8cpsN返回回到本节3）确定期望滤波器的单位脉冲响应1()()21()2ccjjj ndddjj njj nh nIFT HeHeedeedeed3sin(12)/()(12)8(12)dnh nnn全通滤波器全通滤波器低通滤波器低通滤波器sin()sin()()()cnnnn返回回到本节4)加窗()()()dh nh n w n25sin(12)/()(12)0
28、.50.5cos()(1382)12nnh nnRnn返回回到本节7.3 7.3 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIRDF FIRDF 窗函数设计法是根据设计要求，从相应的理想频率响应特性出发，求出它的单位脉冲响应，并选择合适的窗函数加窗后作为FIRDF的单位脉冲响应。窗函数法适合设计片段常数特性的标准型频率响应特性滤波器。本节介绍的频率采样设计法可以设计任意形状频率响应特性的FIRDF。返回本节主要讲述：本节主要讲述：7.3.1 频率采样设计法的基本概念7.3.2 设计线性相位特性FIRDF时，频域采样 H(k)的设置原则7.3.3 逼近误差及改进措施返回7.3.1 7.3.1 频率采
29、样设计法的基本概念频率采样设计法的基本概念 将理想滤波特性 经单位圆上的N等分采样后得到频域采样值：单位脉冲响应：其系统函数为：)(jdeH2()()|jdkNH kH e1,.,1,0Nk2101()(),NjknNkh nH k eN10)()(NnnznhzH返回回到本节 由内插公式，可从频率采样值直接实现FIR滤波器的系统函数 用频率采样法设计FIR数字滤波器主要关心的问题：实现线性相位 应满足的条件逼近误差改进措施12011()()1NNjkkNzH kH zNez返回回到本节()H k7.3.2 7.3.2 线性相位的约束条件线性相位的约束条件 H(kH(k)=?)=?如果FIR数
30、字滤波器为线性相位的，则必满足第一或第二类线性相位的条件 频域采样 分别为幅度采样、相位采样()(1)h nh Nn 2()()|jdkNH kH e()()A kk22()()|()dgdgkNA kHHkN1,.,1,0Nk()()2()|()jjkdgkNHeA k e 返回回到本节1）第一类线性相位由表7.1.1知:N为奇数N为偶数211()2kNNNkkN ()()A kA Nk)2()(ggHH()()A kA Nk()(2)ggHH 1,.,1,0Nk1,.,1,0Nk返回回到本节2）第二类线性相位N为奇数N为偶数211()222kNNNkkN ()()A kA Nk()(2)g
31、gHH()()A kA Nk()(2)ggHH1,.,1,0Nk1,.,1,0Nk返回回到本节7.3.3 7.3.3 逼近误差及改进措施逼近误差及改进措施 返回回到本节（1 1）设置适当的过渡带）设置适当的过渡带，使希望逼近的幅度特性Hdg()从通带比较平滑地过渡到阻带，消除阶跃突变，从而使逼近误差减小。其实质是对幅度采样A(k)增加过渡带采样点，以加宽过渡带为代价换取通带和阻带内波纹幅度的减小。（2 2）采用优化设计法）采用优化设计法，以便根据设计指标选择优化参数（过渡带采样点的个数m和h(n)的长度N）进行优化设计（3 3）选择合适的滤波器长度）选择合适的滤波器长度N,N,以满足过渡带宽度
32、要求。增加过渡带采样点，可加大阻带衰减不加过渡采样点：220dB 加一点：244 54dB 加两点：265 75dB 加三点：285 95dB 102NjkH eH kkN返回回到本节 增加过渡带采样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽 增加N，使采样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量 优点：频域直接设计优点：频域直接设计 缺点：采样频率只能是缺点：采样频率只能是 或或 的整数倍，的整数倍，截止频率截止频率 不能任意取值不能任意取值2/Nc/N返回回到本节7.5 FIRDF7.5 FIRDF和和IIRDFIIRDF的比较的比较IIRIIR滤波器滤波器FIRFIR滤波器滤波器h(n)无限长h(n)有限长极点位于z平面任意位置滤波器阶次低非线性相位递归结构 不能用FFT计算可用模拟滤波器设计用于设计规格化的选频滤波器极点固定在原点滤波器阶次高得多可严格的线性相位一般采用非递归结构可用FFT计算设计借助于计算机可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器返回
