1、第一节：正交设计方差分析的步骤第二节：3水平正交设计的方差分析第三节：2水平正交设计的方差分析第四节：混合型正交设计的方差分析第五节：拟水平法的方差分析第六节：重复试验的方差分析第三讲：正交试验的方差分析计算离差的平方和:设用正交表安排m个因素的试验，试验总次数为n,试验的结果分别为x1,x2,xn.假定每个因素有na个水平，每个水平做a次试验，则n=ana.1)总离差的平方和ST记记为 其中ST反映了试验结果的总差异，它越大，说明各次试验的结果之间的差异越大。试验结果之所以有差异，一是由因素水平的变化所引起的，二是因为有试验误差。第一节：正交设计方差分析的步骤nkkxnx11211212)(
2、1)(nkknkknkkTxnxxxSPQSTTnkkTxQ1221)(1nkkxnP2)各因素离差的平方和下面以计算因素A的离差的平方和SA为例来说明。设因素A安排在正交表的某列，可看作单因素试验。用xij表示因素A的第i个水平的第j个试验的结果(i=1,2,na;j=1,2,a)，则有由单因素的方差分析记为 其中Ki 表示因素的第i 个水平a次试验结果的和。SA反映了因素A的水平变化时所引起的试验结果的差异，即因素A对试验结果的影响。用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对于两因素的交互作用，我们把它当作一个新的因素。如果交互作用占两列，则交互作用的离差的平方和等于这两列的离差的平方和
3、之和。比如 SAxB=S(AxB)1+S(AxB)2第一节：正交设计方差分析的步骤PQSAAaniiAKaQ121aninkkajijxx1112112112112)(11)(1)(1nkkniininiajijajijAxnKaxnxaSaaaajijixK13)试验误差的离差的平方和SE设S因+交为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和，因为 ST=S因+交+SE,所以 SE=ST-S因+交计算自由度:试验的总自由度 f总=试验总次数-1=n-1各因素的自由度 f因=因素的水平数-1=na-1两因素交互作用的自由度等于两因素的自由度之积fAxB=fA X fB试验误差的自由度fE=f总
4、-f因+交第一节：正交设计方差分析的步骤计算平均离差平方和(均方):在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和,它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。因素的平均离差平方和=(因素离差的平方和)/因素的自由度=S因/f因试验误差的平均离差平方和=(试验误差的离差的平方和)/试验误差的自由度=SE/fE求F比:将各因素的平均离差的平方和与误差的平均离差平方和相比，得出F值。这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度的大小。第一节：正交设计方差分析的步骤对因素进行显著性检验:给出检验水平，从F分布表中查出临界值F(f
5、因，fE)。将在“求 F 比”中算出的F值与该临界值比较，若F F(f因，fE)，说明该因素对试验结果的影响显著，两数差别越大，说明该因素的显著性越大。第一节：正交设计方差分析的步骤第二节：3水平正交设计的方差分析例1(无交互作用):磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于210g.cm。某生产厂过去这项指标的合格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机的输出力矩。根据工程技术人员的经验，取试验因素和相应水平如下表：第二节：3水平正交设计的方差分析解：(选用正交表L9(34)表头设计：试验计划与试验结果：第二节：3水平正交设计的方差分析9个试验点的分布
6、第二节：3水平正交设计的方差分析详细计算如下：2.1162.765278.3028663105196.4279.56866.14213.303294)328329273529308025(317.308553)260100430336235225(313.304288)252004352836308025(3178.302866)1651(919122CBATEkkTTCCBBAACBASSSSSPyPQSPQSPQSPQSQQQP第二节：3水平正交设计的方差分析列方差分析表如下：最佳条件的选择：对显著因子应取最好的水平对不显著因子的水平可以任意选取，在实际中通常从降低成本操作方便等角度加以选
7、择上面的例子中对因子A与B应选择A2B2，因子C可以任选，譬如为节约材料可选择C1第二节：3水平正交设计的方差分析验证试验：对A2B2C1进行三次试验，结果为：234，240，220，平均值为231.3.此结果是满意的例2(有交互作用):为提高某产品的产量，需要考虑3个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度。每个因素都取3个水平，具体数值见表。考虑因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。第二节：3水平正交设计的方差分析解：(选用正交表L27(313)根据前面的公式作如下计算：第二节：3水平正交设计的方差分析22.375)23.3443.3398.32(91,22.375)2
8、7.3404.3333.33(91,20.375)30.3313.3321.34(91,33.375)04.3366.3494.32(91,68.375)61.3473.3130.34(91,89.375)93.3208.3263.35(91,00.531)16.5921.3527.6(91,29.376)88.3530.3146.33(91,17.377)21.3370.3073.36(91,13.375)64.100(271222)(222)(222)(222)(222)(222)(2222222222212121BXCBXCAXCAXCAXBAXBCBAQQQQQQQQQP由此得出类似地
9、最后计算总平方和，得出第二节：3水平正交设计的方差分析32.12,87.155,17.1,04.22121)()()()(PQQSSSPQSPQSPQSAXBAXBAXBAXBAXBCCBBAA18.0228.022121)()()()(PQQSPQQSBXCBXCBXCAXCAXCAXC34.0(20.16113.37533.53633.536)2712BXCAXCAXBCBATTETTkkTSSSSSSSSSSPQSSxQ交因用公式计算自由度：再用公式计算平均离差的平方和，然后计算F值，再与F分布表中查出的相应的临界值F(f因，fE)比较，判断各因素显著性的大小。通常，若F F0.01(f
10、因，fE)，就称该因素是高度显著的，用两个星号表示；若F F0.05(f因，fE)，则称该因素的影响是显著的，用一个星号表示；若FF0.05(f因，fE)，就称该因素的影响是不显著的，不用星号表示。第二节：3水平正交设计的方差分析81826,261271,422,213交因总总fffnfxffffffEBXCAXCAXBCBA方差分析表：因为SAXC和SBXC都很小，和误差项合并，作为误差项。通过F值与临界值比较看出，因素A,B,C和交互作用AXB对试验的影响都是显著的，从F值的大小看，因素C最显著，以下依次为A，B，AXB第二节：3水平正交设计的方差分析方差分析(2)：由于这里的试验指标是产
11、品的产量，越大越好，所以最优方案应取各因素中K的最大值所对应的水平。因素A应取第1水平，因素B应取第3水平，因素C应取第3水平。交互作用AXB也是显著的，但由于AXB占两列，直观分析法有些困难，因此把A和B的各种组合的试验结果对照起来分析。从表中看出，当A取第1水平、B取第3水平时，试验结果为13.17，是所有结果中的最大值，因此可取A1B3，这与前面单独考虑因素A，B时所得出的结果是一致的。于是，最优方案就取A1B3C3.第二节：3水平正交设计的方差分析2水平正交设计，各因素离差平方和为：因为 又所以上式可简化为这里2水平设计计算离差平方和的一般公式，同样适用于交互作用。第三节：2水平正交设
12、计的方差分析,)(1121212nkkiixnKaS因naan21,2211KKxnkk221)(1KKnS因例3:某农药厂生产某种农药，指标是农药的收率，显然是越大越好。据经验知道，影响农药收率的因素有4个：反应温度A，反应时间B，原料配比C，真空度D。每个因素都是两水平，具体情况见表。要考虑A，B的交互作用。试进行方差分析。第三节：2水平正交设计的方差分析解：(选用正交表L8(27)第三节：2水平正交设计的方差分析这里类似地计算误差平方和：SE=ST-(S因+S交)=146-(8+18+60.5+4.5+18)=5第三节：2水平正交设计的方差分析8)358366(81)(81146)724
13、(81656688222122812KKSTxPQSAkkTT50)372352(81,5.4)365359(81,5.60)373351(81,18)356368(812222AXBDCBSSSS计算自由度:计算均方值：由于各因素和交互作用AXB的自由度都是1，因此它们的均方值与它们各自的平方和相等。只有误差的均方为计算F比：第三节：2水平正交设计的方差分析257)(,1,112718交因ffffffffffffTEBAAXBDCBAT5.2252EESMS8.15.25.4,2.245.25.60,205.250,2.75.218,2.35.28DCAXBBEAAFFFFMSMSF方差分析
14、表：第三节：2水平正交设计的方差分析方差分析:从方差分析表中F值的大小看出，各因素对试验影响大小的顺序为 C，AXB，B，A，D。C影响最大，其次是交互作用AXB，D的影响最小.若各因素分别选取最优条件应当是C2，B1，A1，D2.但考虑到交互作用AXB的影响较大，且它的第2水平为好，在C2，(AXB)2的情况下，有B1A2和B2A1，考虑到B的影响比A大，而B选 B1为好，当然A只能选第2水平了。这样最后确定下来的最优方案应当是A2B1C2D2。这个方案不在正交表的9个试验中，可以按此进行试验，比较一下结果。第三节：2水平正交设计的方差分析混合型正交设计的方差分析，本质上与一般水平数相等正交
15、设计的方差分析相同，只要在计算时注意到各水平数的差别就行了。现以L8(4X24)混合型正交表为例：总离差平方和为因素偏差平方和有两种情况：2水平因素：4水平因素：第四节：混合型正交设计的方差分析281812)(81kkkkTTxxPQS221)(81KKS28124232221)(81)(21kkxKKKKS例4:某钢厂生产一种合金，为便于校直冷拉，需要进行一次退火热处理,以降低合金的硬度。根据冷加工变形量，在该合金技术要求范围内,硬度越低越好。试验的目的是寻求降低硬度的退火工艺参数。考察的指标是洛氏硬度(HR)，经分析研究，要考虑的因素有3个：退火温度A，保温时间B，冷却介质C。第四节：混合
16、型正交设计的方差分析解：第四节：混合型正交设计的方差分析625.1,500.0)10.12410.126(81,125.1)60.12660.123(81,18.0)70.12550.124(81,645.2)80.12240.127(81)(81,445.0005.7825)89.400684.386841.385676.3918(21)(21,895.4,005.7825)04.62600(818,20.250,90.78295425242222124232221281812SSSSSSKKSPKKKKSPQSTPxTxQECBATTkkkkT方差分析表：从F值和临界值的比较看出，各因素均
17、无显著影响，相对来说，B的影响大些。为提高分析精度，我们只考虑因素B，把因素A，C都并入误差。这样一来，SE就变成SA+SC+S4+S5=0.445+0.18+1.125+0.500=2.250，再列方差分析表。第四节：混合型正交设计的方差分析方差分析表(2)：临界值 F0.05(1，6)=5.99,F0.01(1,6)=13.75从F值和临界值的比较来看，因素B就是显著性因素了。因素影响从大到小的顺序为BCA，选定的最优方案应为A2B2C1第四节：混合型正交设计的方差分析例5:钢片在镀锌前要用酸洗的方法除锈。为了提高除锈效率，缩短酸洗时间，先安排酸洗试验。考察指标是酸洗时间。在除锈效果达到要
18、求的情况下，酸洗时间越短越好。要考虑的因素及其水平如表：选取正交表L9(34)，将因素C虚拟1个水平。据经验知，海鸥牌比OP牌的效果好，故虚拟第2水平并安排在第1列。第五节：拟水平法的方差分析解：虚拟水平的因素C的第1水平重复3次，第二水平重复6次。因此，离差平方和为：其余因素的离差平方和为误差的离差平方和为：第五节：拟水平法的方差分析546624167876241)56169(919237,6787291912PQSTPxTxQTTkkkkT5.406241)22201(61)7744(3196322221TKKSC67.4026241)3721476111449(31786241)4900
19、82815776(3167.206241)608472255476(319)(312232221DABSSTKKKS16.4)(DABCTESSSSSS方差分析表：从F值和临界值比较看出，各因素均无显著影响，相对来说，因素D的影响大些。我们把影响最小的因素B并入误差，使得新的误差平方和为SE=SE+SB，再列方差分析表第五节：拟水平法的方差分析方差分析表(2)：由此看出，因素D有显著影响，因素A，B均无显著影响。因素重要性的顺序为DCAB，最优方案为A3B1C2D3.第五节：拟水平法的方差分析重复试验就是对每个试验号重复多次，这样能很好地估计试验误差，它的方差分析与无重复试验基本相同。但要注意
20、几点：(1)计算K1，K2，时，要用各号试验重复n次的数据之和；(2)计算离差平方和时，公式中的“水平重复数”要改为“水平重复数与 重复试验数之积”；(3)总体误差的离差平方和SE由两部分构成：第一类误差，即空列误差SE1；第二类误差，即重复试验误差SE2；SE=SE1+SE2 fE=fE1+fE2(4)SE2的计算公式为其中r为各号试验的重复次数，n为试验号总数。fE2=n(r-1)ninirjijrjijExrxS11211221第六节：重复试验的方差分析例6:硅钢带取消空气退火工艺试验。空气退火能脱除一部分碳，但钢带表面会生成一层很厚的氧化皮，增加酸洗的困难。现欲取消这道工序，为此要做试
21、验。试验指标是钢带的磁性。本试验考虑2个因素,每个因素2个水平。退火工艺A：A1为进行空气退火，A2 为取消空气退火，成品厚度B，B1为0.20mm，B2为0.35mm。选用L4(23)正交表安排试验，每个试验号重复5次，试验结果列于后附表中。第六节：重复试验的方差分析第六节：重复试验的方差分析1716163.968.9083.516)15(48.90)14.1893(51)5.10.4.0.55.2(5121212222224125141512 EEEEEEEijijijijEfffSSSfxxS第六节：重复试验的方差分析方差分析表从方差分析的结果看出，取消空气退火工序对钢带磁性无显著影响，可以取消这个工序。第六节：重复试验的方差分析正交试验模型的判断：判断方法：2122111/eeeeeeMSMSfSfSF)(),()(),(211211找出交互作用改变模型无交互作用模型正确eeeeffFffF
