1、第7章 滤波器的设计方法 第章第章 滤波器的设计方法滤波器的设计方法 7.1 由连续时间滤波器设计离散时间由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器滤波器 7.2 低通低通IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法7.3 用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器滤波器 7.4 设计设计FIR滤波器示例滤波器示例7.5 用频率采样法设计用频率采样法设计FIR滤波器滤波器 7.6 FIR滤波器的最佳逼近滤波器的最佳逼近7.7 FIR等波纹逼近举例等波纹逼近举例 7.8 IIR和FIR数字滤波器的评价 7.0 基基本概念本概念第7章 滤波器的设计方法 7.0 基本概念基本概念 7.0.1 选频滤波器的
2、分类选频滤波器的分类 数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中,数字滤波器是使用最广泛的线性系统。数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此，数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。第7章 滤波器的设计方法 我们已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为 nmnxmhnhnxny)()()()()(将上式两边经过傅里叶变换，可得)()()(jjjeHeXeY式中，Y(ej)、X(ej)分别为输出序列和输入序列的频谱函数，H(ej)
3、是系统的频率响应函数。第7章 滤波器的设计方法 可以看出，输入序列的频谱X(ej)经过滤波后，变为X(ej)H(ej)。如果|H(ej)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ej)，使得滤波后的X(ej)H(ej)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图7-1所示。（系统的频率响应H(ej)是以2为周期的。)第7章 滤波器的设计方法 图 7-1 数字滤波器的理想幅频特性 o22
4、o22o22o22(a)(b)(c)(d)低通高通带通带阻第7章 滤波器的设计方法 满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|的范围。由图7-1可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在c范围内所有分量全部滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在c范围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于c的低频分量。带通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。第7章 滤波器的设计方法 7.0.2 滤波器的技术指标滤波器的技术指标 理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的，其单位脉冲响应从-延伸到+，因此，无论用递归还是非递归方法，理想滤波器是不能实现的，但在概念上极为重
5、要。一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图7-2（称容限图）所示，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围（而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）。图中1为通带的容限，2为阻带的容限。第7章 滤波器的设计方法 图 7-2 低通滤波器频率响应幅度特性的容限图 1111通带过渡带 阻带2o1第7章 滤波器的设计方法 在通带内，幅度响应以最大误差1逼近于1，即 111|)(|1jeH在阻带内，幅度响应以误差小于2而逼近于零，即 2|)(|jeHs|p 式中，p,s分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是数字域频率。幅度响应在过渡带（s-p）中从通带
6、平滑地下降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。第7章 滤波器的设计方法 虽然给出了通带的容限1及阻带的容限2，但是，在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）Ap和阻带应达到的最小衰减As描述，Ap及As的定义分别为：2010lg20|)(|lg20|)(|)(|lg20)1lg(20|)(|lg20|)(|)(|lg20ssppjjjpjjjpeHeHeHAeHeHeHA（7-1a）（7-1b）式中，假定|H(ej0)|=1(已被归一化)。例如|H(ej)|在p处满足|H(ejp)|=0.707，则Ap=3 dB；在s处满足|H(ejs)|=0.001，则As=60 dB（参考图7-2
7、）。(注：lg是log10的规范符号表示。)第7章 滤波器的设计方法 7.0.3 FIR型滤波器和型滤波器和IIR型滤波器型滤波器 数字滤波器按单位脉冲响应h(n)的时域特性可分为无限长脉冲响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限长脉冲响应FIR（Finite Impulse Response）滤波器。IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤波器的差分方程为 MkNkkkknyaknxbny01)()()(（7-2）第7章 滤波器的设计方法 式（7-2）中的系数ak至少有一项不为零。ak0 说明必须将延时的输出序列反馈回来，也即递归系统必须有
8、反馈环路。相应的IIR滤波器的系统函数为 NkkkMkkkzazbzH101)(（7-3）IIR滤波器的系统函数H(z)在Z平面上不仅有零点，而且有极点。第7章 滤波器的设计方法 FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长的，即0nN-1，该系统一般采用非递归型的实现结构，但如果系统函数中出现零、极点相消时,也可以有递归型的结构(如频率采样结构)。FIR滤波器的系统函数为 10)()(NnnznhzH（7-4）由式（7-4）可知，H(z)的极点只能在Z平面的原点。第7章 滤波器的设计方法 7.0.4 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤 按照实际任务要求，确定滤波器的性能指标。用一个因果稳定的离散
9、线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。根据不同要求可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近。利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择运算结构（如第4章中的各种基本结构），选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。第7章 滤波器的设计方法（1）基本原理 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正
10、好等于ha(t)的采样值，满足 h(n)=ha(nT)（7-5）式中,T是采样周期。7.1由连续时间滤波器设计离散时间由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器滤波器7.1.1 滤波器设计的冲激响应不换法滤波器设计的冲激响应不换法第7章 滤波器的设计方法 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得 kTjsXTjksXTzXkaskaezsT21)(1)(7-6)则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换z=esT是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。第7章 滤波器的
11、设计方法 图 7-3 脉冲响应不变法的映射关系 j3/T/T3/T/Too11jImzRezZ平面S平面第7章 滤波器的设计方法（2）混叠失真混叠失真 由式（7-6）知，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 TkjHTeHkaj21)(7-7)这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即 0)(jHa2|sT(7-8)第7章 滤波器的设计方法 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即 TjHTeHaj1)(|(7-8)但是，任何一个
12、实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图7-4所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。第7章 滤波器的设计方法 图 7-4脉冲响应不变法中的频响混叠现象 32oo23 T第7章 滤波器的设计方法 对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更
13、远，因而可减小频率响应的混叠效应。第7章 滤波器的设计方法（3）模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法 由于脉冲响应不变法要由模拟系统函数Ha(s)求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应ha(t)，然后采样后得到h(n)=ha(nT)，再取Z变换得H(z)，过程较复杂。下面我们讨论如何由脉冲响应不变法的变换原理将Ha(s)直接转换为数字滤波器H(z)。设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只有这样才相当于一个因果稳定的模拟系统），因此可将 NkkkassAsH1)(7-9)第7章 滤波器的设计方法 其相应的冲激响应ha(t)是H
14、a(s)的拉普拉斯反变换，即 NktskaatueAsHFthk11)()()(式中,u(t)是单位阶跃函数。在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对ha(t)的采样，即 NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()(7-10)第7章 滤波器的设计方法 NkTskNknTsnkNknTsknnnzeAzeAzeAznhzhkkk111101101)()()()(对h(n)求Z变换，即得数字滤波器的系统函数(7-11)将式（7-9）的Ha(s)和式（7-11）的H(z)加以比较，可以看出：（1）S平面的每一个单极点s=sk变换到Z平面上z=eskT
15、处的单极点。（2）Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ak。第7章 滤波器的设计方法 （3）如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点sk位于S平面的左半平面，即Resk0，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即|eskT|=eReskT1，因此数字滤波器也是因果稳定的。（4）虽然脉冲响应不变法能保证S平面极点与Z平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个S平面与Z平面有这种代数对应关系，特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系，而是随Ha(s)的极点sk以及系数Ak两者而变化。第7章 滤波器的设计方法 从式（7-8）看出，数字滤波器频率响应幅度还
16、与采样间隔T成反比：TjHTeHaj1)(|如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令 h(n)=Tha(nT)(7-12)则有:NkTskzeTAzHk111)(TjHkTjTjHeHakaj2)(7-13)(7-14)第7章 滤波器的设计方法 例例 7-1 设模拟滤波器的系统函数为 3111342)(2sssssHa试利用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)。解解 直接利用式（7-14）可得到数字滤波器的系统函数为 TTTTTTTezeezeeTzezTezTzH42
17、3131311)(1)(11)(设T=1，则有 21101831.04177.013181.0)(zzzzH第7章 滤波器的设计方法 模拟滤波器的频率响应Ha(j)以及数字滤波器的频率响应H(ej)分别为:2201831.04177.013181.0)(432)(jjjjaeeeeHjjH）（把|Ha(j)|和|H(ej)|画在图7-5上。由该图可看出，由于Ha(j)不是充分限带的，所以H(ej)产生了严重的频谱混叠失真。第7章 滤波器的设计方法 图 7-5 例7-1的幅频特性/T2/T2oo第7章 滤波器的设计方法（4）优缺点优缺点 从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲
18、响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系=T。因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。第7章 滤波器的设计方法 脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉
19、冲响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。第7章 滤波器的设计方法 7.1.2 双线性变换法双线性变换法（1）变换原理变换原理 脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱
20、混叠现象，映射关系如图7-6所示。第7章 滤波器的设计方法 图 7-6 双线性变换的映射关系 o11Z平面jImzRez/Tj11/TS1平面S平面joo第7章 滤波器的设计方法 为了将S平面的整个虚轴j压缩到S1平面j1轴上的-/T到/T段上，可以通过以下的正切变换实现 2tan21TT（7-15）式中,T仍是采样间隔。当1由-/T经过0变化到/T时，由-经过0变化到+，也即映射了整个j轴。将式（7-15）写成 2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj第7章 滤波器的设计方法 将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，则得TsTsTsTsTsTseeTTsT
21、eeeeTs1111111122tanh2212/2/2/2/再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面：z=es1T 从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：11112zzTssTsTsTsTz222121（7-16）(7-17）式（7-16）与式（7-17）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。第7章 滤波器的设计方法（2）逼近的情况逼近的情况 式（7-15）与式（7-16）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。（1）首先,把z=ej代入式（5-43），可得 jTjeeTsjj2tan2112（7-18）即S平面的虚轴映射到Z平面的单位
22、圆。第7章 滤波器的设计方法（2）其次，将s=+j代入式（7-18），得 jTjTz22因此 222222|TTz第7章 滤波器的设计方法 由此看出，当0时，|z|0时，|z|1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。第7章 滤波器的设计方法（3）优缺点优缺点 双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关
23、系。这个关系如式（7-18）所示，重写如下：2tan2T上式表明，S平面上与Z平面的成非线性的正切关系，如图7-7所示。第7章 滤波器的设计方法 由图7-7看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。第7章 滤波器的设计方法 图7-7 双线性变换法的频率变换关系 o第7章 滤波器的设计方法 但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（7-18）及图7-7所示。由于这种频率之间的非线性变换关
24、系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图 7-8 所示。第7章 滤波器的设计方法 图 7-8 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射oooooo第7章 滤波器的设计方法 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，
25、这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。第7章 滤波器的设计方法（4）模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法 双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在设计和运算上也比较直接和简单。由于双线性变换法中，s到z之间的变换是简单的代数关系，所以可以直接将式（7-15）代入到模拟系统传递函数，得到数字滤波器的系统函数，即 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa频率响应也可用直接代换的方法得到 2tan2)()(2tan2TjHjHeHTaj（7-19）（7-20）第7章 滤波器的设计方法 应用式（7-
26、19）求H(z)时，若阶数较高，这时将H(z)整理成需要的形式，就不是一件简单的工作。为简化设计，一方面，可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数（子系统函数相加）或级联的子系统函数（子系统函数相乘），使每个子系统函数都变成低阶的（例如一、二阶的），然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换。也就是说，分解为低阶的方法是在模拟系统函数上进行的，而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。另一方面，可用表格的方法来完成双线性变换设计，即预先求出双线性变换法中离散系统函数的系数与模拟系统函数的系数之间的关系式，并列成表格，便可利用表格进行设计了。第7章 滤波器的设计方法 设模拟系
27、统函数的表达式为 NNNNNkkkNkkkasBsBsBBsAsAsAAsBsAsH2210211000)(（7-21）应用式（7-20）式 1111|)()(zzcsasHzHTC2得 NNNNNkkkNkkkzbzbzbzazazaazbzazH221122110001)(（7-22）第7章 滤波器的设计方法 表表 7-1 双线性变换法中双线性变换法中a(s)的系数与的系数与H(z)的的系数之间的关系系数之间的关系 第7章 滤波器的设计方法 图7-9 双线性变换时频率的预畸变 ooo43211234第7章 滤波器的设计方法 （1）如果给出的是待设计的带通滤波器的数字域转折频率（通、阻带截止
28、频率）1、2、3、4及采样频率(1/T)，则直接利用式（7-19）2tan2T计算出相应的模拟滤波器的转折频率1、2、3和4。这样得到的模拟滤波器Ha(s)的转折频率1、2、3和4，经双线性变换后就映射到数字滤波器H(z)的原转折频率1、2、3和4。第7章 滤波器的设计方法 如果给出的是待设计的带通滤波器的模拟域转折频率（通、阻带截止频率）f1、f2、f3、f4和采样频率(1/T)，则需要进行频率预畸变。首先，利用下式计算数字滤波器的转折频率（通、阻带截止频率）、2、3 和4。=2fT（7-23）再利用式（7-19）2tan2T第7章 滤波器的设计方法 对频率预畸变，得到预畸变后的模拟滤波器的
29、转折频率1、3和4。这样得到的模拟滤波器Ha(s)的转折频率、2、3和4,经双线性变换后映射到数字滤波器H(z)的转折频率1、2、3、4，并且能保证数字域频率1、2、3、4与给定的模拟域转折频率f1、f、f、f4成线性关系。（2）按1、2、3和4等指标设计模拟滤波器的系统函数Ha(s)。第7章 滤波器的设计方法 （3）将 代入Ha(s)，得H(z)为 11112zzTs11112112|)()(11zzTHsHzHazzTsa其频率响应为 22|)()(2tan2TjHjHeHaTaj上述这些步骤比用脉冲响应不变法设计滤波器要简便得多。第7章 滤波器的设计方法 需要特别强调的是，若模拟滤波器H
30、a(s)为低通滤波器，应用变换得到的数字滤波器H(z)也是低通滤波器；若Ha(s)为高通滤波器，应用 变换得到的数字滤波器H(z)也是高通滤波器;若为带通、带阻滤波器也是如此。在IIR数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好;而在其余情况下，大多采用双线性变换法。11112zzTs11112zzTs第7章 滤波器的设计方法 7.1.3双线性变换法设计举例双线性变换法设计举例 例例 7-2 设计一个一阶数字低通滤波器，3 dB截止频率为c=0.25，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。)/(11)(cassH 解解 数字低通滤波器的截止频率为c=0.25，相应的
31、巴特沃思模拟滤波器的 3 dB截止频率是c，就有 TTTcc828.0225.0tan22tan2模拟滤波器的系统函数为)828.0/(11)/(11)(sTssHca第7章 滤波器的设计方法 将双线性变换应用于模拟滤波器，有 11111124159.0112920.0)1/()1)(828.0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa由上题可知，T不参与设计，即双线性变换法中用 设计与用 设计得到的结果一致。,1111zzs2tan2tan2,11211TzzTs第7章 滤波器的设计方法 例例7-3 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4 kHz（即采样周
32、期为T=250 s），其3dB截止频率为fc=1 kHz。三阶模拟巴特沃思滤波器为 32)/()/(2)/(211)(cccassssH 解解 首先，确定数字域截止频率c=2fcT=0.5。第二步，根据频率的非线性关系式（7-17），确定预畸变的模拟滤波器的截止频率 TTTcc225.0tan22tan2第7章 滤波器的设计方法 第三步，将c代入三阶模拟巴特沃思滤波器Ha(s)，得 32)2/()2/(2)2/(211)(sTsTsTsHa最后，将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数 2321311211111123331211111211211)()(11zzzzzzzzzzsHzH
33、zzTsa第7章 滤波器的设计方法 应该注意，这里所采用的模拟滤波器Ha(s)并不是数字滤波器所要模仿的截止频率fc=1 kHz的实际滤波器，它只是一个“样本”函数，是由低通模拟滤波器到数字滤波器的变换中的一个中间变换阶段。图7-10给出了采用双线性变换法得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的幅频特性。由图可看出，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快。最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点。这个三阶零点正是模拟滤波器在c=处的三阶传输零点通过映射形成的。第7章 滤波器的设计方法 图图 7-10用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通
34、滤波器的频响 1.00.500.501.02.0f/kHz第7章 滤波器的设计方法 图 7-11 两种等效的设计方法(a)先模拟频率变换，再数字化;(b)将(a)的两步合成一步设计 模拟原型模拟低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻模 拟 域频率变换数字化(a)模拟原型数字低通、高通带通、带阻频率变换(b)7.2 IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法第7章 滤波器的设计方法 对于第一种方案，重点是模拟域频率变换，即如何由模拟低通原型滤波器转换为截止频率不同的模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，这里我们不作详细推导，仅在表7-2列出一些模拟到模拟的频率转换关系。一般直接用归一化原型转换
35、，取c=1,可使设计过程简化。表表7-2 截止频率为截止频率为c的模拟低通滤波器到其它的模拟低通滤波器到其它频率选择性滤波器的转换公式频率选择性滤波器的转换公式 第7章 滤波器的设计方法 第二种方法实际上是把第一种方法中的两步合成一步来实现，即把模拟低通原型变换到模拟低通、高通、带通、带阻等滤波器的公式与用双线性变换得到相应数字滤波器的公式合并，就可直接从模拟低通原型通过一定的频率变换关系，一步完成各种类型数字滤波器的设计，因而简捷便利，得到普遍采用。此外，对于高通、带阻滤波器，由于脉冲响应不变法不能直接采用，或者只能在加了保护滤波器以后使用，因此，脉冲响应不变法使用直接频率变换要有许多特殊考
36、虑，故对于脉冲响应不变法来说，采用第一种方案有时更方便一些。我们在下面只考虑双线性变换，实际使用中多数情况也正是这样。第7章 滤波器的设计方法 7.2.1 模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器 首先，把数字滤波器的性能要求转换为与之相应的作为“样本”的模拟滤波器的性能要求，根据此性能要求设计模拟滤波器，这可以用查表的办法，也可以用解析的方法。然后，通过脉冲响应不变法或双线性变换法，将此“样本”模拟低通滤波器数字化为所需的数字滤波器H(z)。例7-3已经说明了用双线性变换法设计低通滤波器的过程，这里再用脉冲响应不变法来讨论一下例7-3的低通滤波器设计问题。第7章
37、滤波器的设计方法 例例 7-4 用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4 kHz（即采样周期为T=250s），其3 dB截止频率为fc=1 kHz。解解 查表可得归一化三阶模拟巴特沃思低通滤波器的传递函数 322211)(ssssHNa然后,以s/c代替其归一化频率，则可得三阶模拟巴特沃思低通滤波器的传递函数为 32)/()/(2)/(211)(cccasssssH第7章 滤波器的设计方法 式中，c=2fc。上式也可由巴特沃思滤波器的幅度平方函数求得。为了进行脉冲响应不变法变换，将上式进行因式分解并表示成如下的部分分式形式：2/)31()3/(2/)31()3/(
38、)(6/6/jsejsessHcjccjccca将此部分分式系数代入(5-40)式就得到 12/)31(6/12/)31(6/11)3/(1)3/(1)(zeezeezezHjjcjjccccc第7章 滤波器的设计方法 式中，c=cT=2fcT=0.5是数字滤波器数字频域的截止频率。将上式两项共轭复根合并，得 22/12/1123cos21623cos26cos231)(zeezezzezHcccccccc 从这个结果我们看到，H(z)只与数字频域参数c有关，也即只与临界频率fc与采样频率fs的相对值有关，而与它们的绝对大小无关。例如fs=4kHz，fc=1 kHz与fs=40 kHz，fc=
39、10kHz的数字滤波器将具有同一个系统函数。这个结论适合于所有的数字滤波器设计。第7章 滤波器的设计方法 将c=cT=2fcT=0.5代入上式，得 21112079.01905.01551.0571.12079.01571.1)(zzzzzH 这个形式正好适合用一个一阶节及一个二阶节并联起来实现。脉冲响应不变法由于需要通过部分分式来实现变换，因而对采用并联型的运算结构来说是比较方便的。图7-12给出了脉冲响应不变法得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响幅度特性，同时给出例7-5双线性变换法设计的结果。由图可看出，脉冲响应不变法存在微小的混淆现象，因而选择性将受到一定损失，并且没有传输零点。第7
40、章 滤波器的设计方法 图 7-12 三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响 1.00.500.501.02.0f/kHz1：脉冲响应不变法2：双线性变换法12第7章 滤波器的设计方法 7.2.2 模拟低通滤波器变换成数字高通滤波器模拟低通滤波器变换成数字高通滤波器 由表5-3可知，由低通模拟原型到模拟高通的变换关系为 sscc（7-24）式中，c为模拟低通滤波器的截止频率，c为实际高通滤波器的截止频率。根据双线性变换原理，模拟高通与数字高通之间的S平面与Z平面的关系仍为 11112zzTs（7-25）第7章 滤波器的设计方法 把变换式（7-24）和变换式（7-25）结合起来，可得到直接从模拟低通原型
41、变换成数字高通滤波器的表达式，也就是直接联系s与z之间的变换公式 11111111112112zzCzzTzzTscccc（7-26）式中，。由此得到数字高通系统函数为 2/ccTC1111|)()(zzCsasHzH式中，Ha(s)为模拟低通滤波器传递函数。第7章 滤波器的设计方法 可以看出，数字高通滤波器和模拟低通滤波器的极点数目（或阶次）是相同的。根据双线性变换，模拟高通频率与数字高通频率之间的关系仍为 2tan2T2tan2ccT则 又因,2ccTC故 2cotCC（7-27）第7章 滤波器的设计方法 下面讨论模拟低通滤波器与数字高通滤波器频率之间的关系。令s=j，z=ej，代入式（7
42、-26），可得 2cotC或 2cot|C（7-28）其变换关系曲线如图7-13所示。由图可看出，=0 映射到=,即z=-1上;=映射到=0,即z=1上。通过这样的频率变换后就可以直接将模拟低通变换为数字高通，如图7-14所示。第7章 滤波器的设计方法 图7-13 从模拟低通变换到数字高通时频率间关系的曲线 还应当明确一点，所谓高通数字滤波器，并不是高到都通过，由于数字域存在折叠频率=，对于实数响应的数字滤波器，由到2的部分只是由到0的镜像部分。因此，有效数字域仅只是从=0 到=，高通也仅指这一端的高端，即到=为止的部分。o第7章 滤波器的设计方法 图 7-14 模拟低通变换到数字高通 ooo
43、2112第7章 滤波器的设计方法 例例7-5设计一个巴特沃思高通数字滤波器，其通带截止频率（-3dB点处）为fc=3kHz，阻带上限截止频率fst=2kHz，通带衰减不大于3 dB，阻带衰减不小于 14dB，采样频率fs=10kHz。解解 （1）求对应的各数字域频率:4.010101032226.010101032223333sstststscccffTfffTf第7章 滤波器的设计方法 （2）求常数C。采用归一化（c=1）原型低通滤波器作为变换的低通原型，则低通到高通的变换中所需的C为（见表7-2）92381376.126.0tan12tanccC （3）求低通原型st。设st为满足数字高通
44、滤波器的归一化原型模拟低通滤波器的阻带上限截止频率，可按=Ccot(/2)的预畸变换关系来求，得 2427894.19381376.192381376.12cotststC第7章 滤波器的设计方法 （4）求阶次N。按阻带衰减求原型归一化模拟低通滤波器的阶次N，由巴特沃思低通滤波器频率响应的公式|Ha(jst)|取对数，即 141lg10)(lg202NcststajH式中c=1。解得 4931490.28955554.09356382.1)2427894.1lg(2)110lg(4.1N取N=3。第7章 滤波器的设计方法 （5）求归一化巴特沃思低通原型的Ha(s)。取N=3，查表7-2可得Ha
45、(s)为 1221)(23ssssHa第7章 滤波器的设计方法 32323223231232332123312111212313313121112123133111122122122322312332231)331(1221)1()1)(1(2)1()1(2)1()1()1()1)(1(2)1()1(2)1()1()()(11zCCCCCCzCCCCCCzCCCCCCzzzCCCzzzCzzCzCzzzzCzzCzCzsHzHzzCsa（6）求数字高通滤波器的系统函数H(z)，有 将C代入，可求得 32132125693055.07116420.08784571.01)331(84079099
46、.0)(zzzzzzzH第7章 滤波器的设计方法 7.2.3 模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器 由表7-2可知，由低通模拟原型到模拟高通的变换关系为)(112hhcsss（7-29）式中，c为模拟低通滤波器的截止频率，h、l分别为实际带通滤波器的通带上、下截止频率。根据双线性变换，模拟带通与数字带通之间的S平面与Z平面的关系仍为11112zzTs（7-30）第7章 滤波器的设计方法 把变换式（7-29）和变换式（7-30）结合起来，可得到直接从模拟低通原型变换成数字带通滤波器的表达式，也就是直接联系s与z之间的变换公式)(1121121111211hhczz
47、TzzTs经推导后得 22111zzEzDs第7章 滤波器的设计方法 式中 1122hhcTTD（7-31）hhTTE1212222（7-32）根据双线性变换，模拟带通频率与数字带通频率之间的关系仍为 2tan2T（7-33）第7章 滤波器的设计方法 定义:110hhB式中，0为带通滤波器通带的中心频率，B为带通滤波器的通带宽度。设数字带通的中心频率为0，数字带通滤波器的上、下边带的截止频率分别为2和1，则将式（7-31）代入式（7-32）、式（7-33），可得:22tan2tan2tan2tan2tan122102cT（7-34）（7-35）第7章 滤波器的设计方法 考虑到模拟带通到数字带通
48、是通带中心频率相对应的映射关系，则有 2tan200T（7-36）将式（7-32）、式（7-32）和式7-34）代入式（7-35）及式（5-36），并应用一些标准三角恒等式可得:02112121212cos2sinsin)sin(22/)(cos2/)(cos22cotEDc（7-37）（7-38）第7章 滤波器的设计方法 所以，在设计时，要给定中心频率和带宽或者是中心频率和边带频率，利用式（7-37）和式（7-38）来确定D和E两常数；然后，利用式（7-38）的变换，把模拟低通系统函数一步变成数字带通系统函数 22111|)()(zzEzDsasHzH（7-39）式中，Ha(s)为模拟低通原
49、型传递函数。可以看出，数字带通滤波器的极点数（或阶数）将是模拟低通滤波器极点数的两倍。第7章 滤波器的设计方法 下面来讨论模拟低通滤波器与数字带通滤波器频率之间的关系。令s=j，z=ej代入式（7-30），经推导后可得 sincoscos0D（7-40）其变换关系曲线如图7-15所示。其映射关系为：=0=0=-=0 也就是说，低通滤波器的通带（=0 附近）映射到带通滤波器的通带（=0附近），低通的阻带（=）映射到带通的阻带（=0,）。第7章 滤波器的设计方法 图7-18 从模拟低通变换到数字带通时频率间关系曲线o0第7章 滤波器的设计方法 图 7-16 模拟低通变换到数字带通 12ooo102
50、0第7章 滤波器的设计方法 例例 7-6采样频率为fs=100kHz,T=10 s，要求设计一个三阶巴特沃思数字带通滤波器，其上、下边带的 3dB截止频率分别为f2=37.5 kHz，f1=12.5 kHz。解解 首先求出所需数字滤波器在数字域的各个临界频率。通带的上、下边界截止频率为:1=2f1T=212.51031010-6=0.252=2f2T=237.51031010-6=0.75 代入式（5-66）求模拟低通的截止频率 228tan83tan22tan2tan212TTTc第7章 滤波器的设计方法 由式（7-36）求得D为 TTTDc44cot4225.075.0cot42cot12
