1、第八章第八章 位移分析与刚度设计位移分析与刚度设计本章重点本章重点 1.拉压、扭转、弯曲变形计算；拉压、扭转、弯曲变形计算；2.叠加法、能量法求变形；叠加法、能量法求变形；3.静不定问题解法；静不定问题解法；4.杆件刚度的合理设计。杆件刚度的合理设计。8 8-1 -1 拉（压）变形计算拉（压）变形计算一、纵向线应变与横向线应变一、纵向线应变与横向线应变纵向线应变纵向线应变ll bb横向线应变横向线应变lllbbbPP二、虎克定理二、虎克定理NF llEANFllE AE E当构件工作应力当构件工作应力 p时时应力应力 与应变与应变 成正比成正比即即,NFllA考虑到考虑到即即E为弹性模量，为弹
2、性模量，EA称为称为抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度或或横向变形横向变形：单向应力状态下单向应力状态下 p 时时 称为横向变形系数或称为横向变形系数或泊松（泊松（Poisson）比）比公式的应用范围与注意事项：公式的应用范围与注意事项：2、构件的工作应力、构件的工作应力 p（线弹性范围内）；（线弹性范围内）；3、轴力、横截面面积、轴力、横截面面积A为常量为常量等直杆两端受轴向力。等直杆两端受轴向力。讨论：讨论：1.1.轴力变化时：轴力变化时：1、L为为“+”时伸长，为时伸长，为“-”时缩短。符号规时缩短。符号规定与轴力一致；拉为定与轴力一致；拉为“+”，压为，压为“-”；BCABlll21B CA
3、 BNNFlFlE AE A2.2.横截面变化时：横截面变化时：CAB阶梯状杆阶梯状杆BCABlll1l2lBC3P2P1PAlP lE A()dd()NFxlxEA x()d()NlFxlxEA x三、变截面杆：三、变截面杆：()NF x()NF x锥角锥角较小，如较小，如10度度xdxlPP例例1 1：图示杆，图示杆，1段为直径段为直径 d1=20mm的圆的圆杆，杆，2段为边长段为边长a=25mm的方杆，的方杆，3段为直段为直径径d3=12mm的圆杆。已知的圆杆。已知2段杆内的应力段杆内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长，求整个杆的伸长L。（不考虑应力集中）（不考虑应
4、力集中）PP1230.2m0.4m0.2m解解:PA22230251875.kN312312123NNNF lF lFlLEAEAEA2292187500.20.40.20.020.012210100.025440.272mm（缩短）（缩短）PP1230.2m0.4m0.2m例例2 2：求图示结构结点求图示结构结点A的垂直位移的垂直位移.PABC EAlEAl22cosPlAAEA解解:小变形条件下小变形条件下切线替代圆弧切线替代圆弧APcos221PFFNNcos2121EAPlEAlFllNAN2FN1F一、分析构件受力：一、分析构件受力：取取B点研究点研究例例3 3：简单托架，简单托架，
5、BC杆为杆为圆钢，直径圆钢，直径d=20mm，BD杆杆为为8号槽钢。号槽钢。=160MPa，E=200GPa，P=60KN。试求。试求B点的位移。点的位移。解解:PBN1FN2F（“-”表示表示FN2与图示方向相反，为压力）与图示方向相反，为压力）BDC4m3mPkN45431 PFNkN75452PFN二、分析计算二、分析计算B点的位移点的位移假想把假想把B节点松开节点松开受力后受力后B点移到点移到B其位移其位移2BB1B3B4BBDC3mP4m1 32sinBB323B BB B ctg2321cosB BBPN1FN2F111111BBAELFlN222222BBAELFlN2BB1B3
6、B4BBDC3mP4m水平位移水平位移铅垂位移铅垂位移222.153.94.45BBmmm1015.210204102003104536293111111BBAELFLN查型钢表得：查型钢表得：22cm24.10Am1083.11024.1010200510753493222222BBAELFlNmm15.21lmm9.3ctgcossin122lll例例4 4：求图示结构结点求图示结构结点A的位移。的位移。AEAEA21PLAEAEA21PL解解:取取A点研究点研究PA12,0PLllEAAN1FN2F1l0,21NNFPF铅垂位移铅垂位移)(1l水平位移水平位移)(ctg1l例例5 5：图
7、示结构中三杆的刚度均为图示结构中三杆的刚度均为EA，AB 为刚体，为刚体，P、l、EA皆为已知。求皆为已知。求C点的垂直点的垂直和水平位移。和水平位移。ll/2l/212345PACBl ll l/2l l/212345PACB解解:NNPN13220,llPlEAl13220,C点水平位移点水平位移=铅垂位移铅垂位移 l1Pl/2l/245A C BN1N2N3例例6 6：求考虑自重影响的等直杆变形。已知求考虑自重影响的等直杆变形。已知P、杆长、杆长L、A、E、容重、容重。若已知若已知 求许可杆长。求许可杆长。P解：解：1、求轴力、求轴力FN(x)Pxxx2、求变形：、求变形：dxdxFN(
8、x)FN(x)取微段取微段dx研究研究FN(x)xP+AL PFN(x)0:0AxPxFFNx AxPxFN xxAPEEAxxFxNd1dd3、求、求许可杆长许可杆长APAL:NmaxmaxAALPAF由ELEAPLdxxAPEL2)(120积分：积分：例例7 7：图示变截面杆左右两端直径分别为图示变截面杆左右两端直径分别为D、d,作用有轴向压力作用有轴向压力P，不计杆件自重，材料弹性模量，不计杆件自重，材料弹性模量为为E，杆长，杆长L。试求杆件的变形。试求杆件的变形。DdPP解解:取微段取微段dx研究研究xdx设距左端为设距左端为x处横截面的处横截面的直径为直径为dd(1)DdxdDDL
9、222()(1)44DdxA xdDDL()NFxP 对微段来说对微段来说()4()NlFxdxP LlE A xD d E（缩短）（缩短）三、拉（压）杆超静定问题的解法静定问题静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为可解出全部未知力，这类问题称为静定问题静定问题，相，相应的结构称应的结构称静定结构静定结构。超静定问题：超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数若未知力（外力或内力）的个数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程多于独立的平衡方程的个数
10、，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题题或静不定问题.相应的结构称相应的结构称超静定结构超静定结构或或静不静不定结构定结构多余约束：多余约束：在静定结构在静定结构上加上的一个或几个约束，上加上的一个或几个约束，对于维持平衡来说是不必对于维持平衡来说是不必要的约束称要的约束称多余约束多余约束。对。对应的约束力称应的约束力称多余约束反多余约束反力力 由于超静定结构能有效降低由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上结构的内力及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。（如桥梁等）应用非常广泛。超静定次数：超静定次数
11、：未知力个数与平衡未知力个数与平衡方程数之差，也等于多余约束数方程数之差，也等于多余约束数12PA11AE22AECBRARB拉（压）杆超静定问题的解法拉（压）杆超静定问题的解法比较变形法比较变形法 把超静定问题转化为静定问把超静定问题转化为静定问题解，但题解，但必须满足原结构的变必须满足原结构的变形约束条件。形约束条件。1、选取基本静定结构（静定基如图），、选取基本静定结构（静定基如图），B端解端解除多余约束，代之以约束反力除多余约束，代之以约束反力RB解解：12FC11AE22AEBABR例例8 8.杆上段为铜，下段为钢杆，杆上段为铜，下段为钢杆，上、下段长度、截面积以及材料的上、下段长度
12、、截面积以及材料的弹性模量分别为弹性模量分别为l1，l2、A1、A2、E1、E2，杆的两端为固支，杆的两端为固支，求两段，求两段的轴力。的轴力。3、比较两次计算的变形量，其值、比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程应该满足变形相容条件，建立方程求解。求解。2、求静定基仅在原有外力作用下和仅在代替约束的、求静定基仅在原有外力作用下和仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移约束反力作用下于解除约束处的位移0ABAC12FC11AE22AEBA)(111AEFACCBR为负值）BBABBRAEAER)(222111)122211122211122211AEAEFAERAEAE
13、FAERBA拉（压）杆超静定问题的解法拉（压）杆超静定问题的解法几何变形法几何变形法 解超静定问题必须找出求解所有未知约束解超静定问题必须找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件须象原来一样完整、连续、满足约束条件-即即满足变形相容条件满足变形相容条件（变形协调条件）变形协调条件）。关键：关键：变形协调条件变形协调条件注意：注意：力与变形一致力与变形一致例例9 9：图示结构图示结构1、2杆抗拉刚度为杆抗拉刚度为E1A1，3杆为杆为E3A3，在在F力作用下，求各杆内力。力作用下，求各杆内力。解解:
14、1、画画A结点受力图，建立结点受力图，建立 平衡方程平衡方程未知力个数未知力个数3 3个，平衡方程数个，平衡方程数2 2个，个，故为一次超静定。故为一次超静定。FA123AxyFFN1FN2FN321:0NNxFFFFFFFNNy31cos2:0A213213、代入物理关系，建立补充方程、代入物理关系，建立补充方程21cos31A32、如图三杆铰结，画、如图三杆铰结，画A结点位移图结点位移图,列出变形相容条件列出变形相容条件。要注意所设的。要注意所设的变形性质必须和受力分析中设定的变形性质必须和受力分析中设定的力的性质一致。由对称性知力的性质一致。由对称性知cos11111111AElFAEl
15、FlNN33333333AElFAElFlNN4、联立、联立、求解求解333113211331cos21coscos2AEAEFFAEAEFFNNcoscos3313111AElFAElFNN由由式可知：式可知：例例10 10：图示桁架，已知图示桁架，已知3根杆的材料及横截面完全相根杆的材料及横截面完全相同，即同，即EA相等。求各杆的内力及相等。求各杆的内力及B点的水平位移和铅点的水平位移和铅垂位移。垂位移。3030L321B30P解解:1、确定静不定次数、确定静不定次数1次次2、列静力平衡方程、列静力平衡方程研究研究B节点节点1F2F3F312sin30cos030cos3:00PFFFX3
16、1sin30sin300:cos300FFYP3、物理关系、物理关系（伸长）（伸长）（伸长）（伸长）（缩短）（缩短）30cos11EALFl EALFl2230cos33EALFl 4、变形几何关系、变形几何关系3030L321B30P1F2F3F123B1B2B3BB添加辅助线添加辅助线abCab=BC-Ba-bC联立求解可得：联立求解可得：1231.030.2170.703FPFPFP（拉力）（拉力）（拉力）（拉力）（压力）（压力）l3 l2 l130tg30sin30sin30tg2312llll3123lll温度应力：温度应力：超静定结构中，由于温度超静定结构中，由于温度变化，使构件膨
17、胀或收缩而产生的附加变化，使构件膨胀或收缩而产生的附加应力。应力。不容忽视！不容忽视！高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节路、桥、建筑物中的伸缩缝路、桥、建筑物中的伸缩缝8 8-2 2 圆轴扭转时的变形计算圆轴扭转时的变形计算ddxTGIpddTGIxpTGIxplddmmxdxdxNF llEA 比较拉压变形比较拉压变形：公式适用条件：公式适用条件：1、当、当p（剪切比例极限）公式才成立（剪切比例极限）公式才成立2、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）4、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化）可作近似计算、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化
18、）可作近似计算3、扭矩、面积沿杆轴线不变化（、扭矩、面积沿杆轴线不变化（T、Ip为常量）为常量）GIp称为抗扭刚度称为抗扭刚度若若constT 则则pGITl圆轴扭转时的强度条件和刚度条件max pTWddpTxGImaxmax()180pTGIrad/m/m单位长度扭转角单位长度扭转角强度条件：强度条件：刚度条件：刚度条件：例例1313：已知一直径已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭的钢制圆轴在扭转角为转角为 6时，轴内最大剪应力等于时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。求该轴长度。解：解：(1)pTlGImax(2)pTW()()12得：maxppIGlW61808
19、0100059010296.233.m例例14 14：圆截面橡胶棒的直径圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后受扭后,原原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90变为变为 88。如杆长。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的相，试求两端截面间的相对扭转角；如果材料的剪变模量对扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩m。mdl解：解：由由ld2得ld2223004030max G272180.009425.MPamaxpmW009425100041663.118.N m2例例15
20、 15：有两根圆轴，一为实心轴，一为空心轴，它有两根圆轴，一为实心轴，一为空心轴，它们的长度、横截面面积和承受的外力偶矩均相同。外们的长度、横截面面积和承受的外力偶矩均相同。外力偶矩力偶矩m=10KNm，轴长，轴长l=1m，剪切模量，剪切模量G=80GPa，实心轴直径为实心轴直径为104mm，空心轴外径为，空心轴外径为120mm，内径为，内径为60mm。试比较它们的最大扭转角。试比较它们的最大扭转角。解：解：实心轴实心轴PT lG I34129(10 10)110410(80 10)32310.89 10 rad空心轴空心轴36.55 10 radPT lG I344129(10 10)1(1
21、2060)10(80 10)323310.89 101.6636.55 10实空ACB1m2m3mABlACl例例16 16：钢制实心圆截面轴，钢制实心圆截面轴，d=70mm，G=80GPa，lAB300mm，lAC500mm，m1=1592Nm，m2=955Nm，m3=637Nm，试求截面试求截面C相对截面相对截面B的扭转角。的扭转角。解：解：假设假设A截面不动截面不动ABABBAPTlG IACACCAPTlG I34129955300107010(8010)3234129637500107010(8010)3231.52 10 rad31.69 10 rad41.7 10CBCABAra
22、d方向同方向同m3第一种解法第一种解法ACB1m2m3mABlAClm1=1592Nmm2=955Nmm3=637Nm第二种解法第二种解法 叠加法叠加法 在线弹性范围和小变形在线弹性范围和小变形条件下，可采用条件下，可采用叠加法叠加法 假设假设B截面不动。分别截面不动。分别求出在求出在m1和和m3单独作用下，单独作用下，C截面相对截面相对B截面的扭转角，截面的扭转角，然后叠加。然后叠加。ACB1m2m3mABlAClm1=1592Nm,m2=955Nm,m3=637Nm31()ABACABCBPPmllm lG IG I33412412991592 300 10637(300500)10701
23、07010(80 10)(80 10)323241.7 10 rad转向与转向与m1相反与相反与m3相同相同扭转超静定问题解法扭转超静定问题解法例例17 17：两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C受受外力偶矩外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。作用，试求杆两端的支座反力偶矩。mCBA b解：解：mmmAB静力平衡方程为：静力平衡方程为：0ABACCB变形协调条件为：变形协调条件为：maG Im bG IApBp0即：即：Am bmlBm amlmCBA bmmBmA8-3 弯曲变形计算 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变
24、形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。零件的加工精度，甚至会出现废品。桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走则会使小车行走困难，出现爬坡现象。困难，出现爬坡现象。但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。以缓解车辆受到的冲击和振动作用。P2P2P一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程 1 1、挠曲线、挠曲线挠曲线挠曲线2 2、挠度
25、和转角、挠度和转角规定：规定：向上的挠度为正向上的挠度为正 逆时针的转角为正逆时针的转角为正挠曲线方程：挠曲线方程：()y f x转角方程：转角方程：d()dyfxx tan挠度挠度y(f)：横截面形心处的铅垂位移：横截面形心处的铅垂位移转角转角：横截面绕中性轴转过的角度：横截面绕中性轴转过的角度yxyx3 3、梁的挠曲线近似微分方程、梁的挠曲线近似微分方程zEIM1Kyy()/123 2曲线曲线y=f(x)的曲率为：的曲率为：梁纯弯曲时中性层的曲率：梁纯弯曲时中性层的曲率：2 3/21(1)yy y zMyEIyMEI 或EIyM M 0 xy0y MMMMM 00yxy式中积分常数式中积分
26、常数C、D由边界条件和连续条件确定由边界条件和连续条件确定()EIyM x()dEIyM xxC()d dEIyM xx xCxD二、积分法求弯曲变形二、积分法求弯曲变形没有约束无法确定位移没有约束无法确定位移约束对位移的影响约束对位移的影响1 1、连续光滑曲线，铰支座对位移的限制、连续光滑曲线，铰支座对位移的限制0AByy2 2、连续光滑曲线，固定端对位移的限制、连续光滑曲线，固定端对位移的限制0,0BBy3 3、光滑连续条件、光滑连续条件PCccccyy例18：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁。试求图示简支梁在均布载荷在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确作
27、用下的转角方程、挠曲线方程，并确定定max和和ymax。xylq解：解：M xqlxqx()222222qlqEIyxx 2346qlqEIyxxC 341224qlqEIyxxCxD由边界条件：由边界条件：000 xyxly时，时，得：得：CqlD 3240,xqlxyAB梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：qEIlxxl2464233()233(2)24qxylxxlEI最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max ABqlEI3244max25384lxqlyyEI xqlxyAB A B例19：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示
28、悬臂梁。试求图示悬臂梁在集中力在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定定max和和ymax。xylPAB解：解：M xP lx()()EIyPxPl 22PEIyxPlxC 3262PPlEIyxxCxD由边界条件：由边界条件：00,0 xyy时，得：得：CD 0 xylPABx梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：PxEIxl22()2(3)6PxyxlEI最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max BPlEI223max3BPlyyEI xylPABxB例例2020：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。
29、试求图示简支。试求图示简支梁在集中力梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定并确定max和和 ymax。xyl2PABCl2解：解：ACM xPx段：()22PEIyx 24PEIyxC 312PEIyxCxD由边界条件：由边界条件：00 xy时，得：得：D 0由对称条件：由对称条件：02lxy时，得：得：CPl 216xyl2PABCl2xAC段段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：PEIxl16422()22(43)48PxyxlEI最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max ABPlEI2163max248
30、lxPlyyEI xyl2PABCl2x讨论：讨论：0c例例21 21：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定的转角方程、挠曲线方程，并确定max和和ymax。yaqABCxaaaDE解：解：由对称性，只考虑半跨梁由对称性，只考虑半跨梁ACDMxqaxxa11110()()112222()2EIyqaxqEIyqaxxaMxqaxqxaaxa22222222()()()yaqABCxaaaDEqaqax1x2由连续条件由连续条件：121212,xxayyyy时21112qaEIyxC由边界条件：由边界条件：由对称条件由对称条件：得
31、CCDD1212110,0 xy时得 D10222,0 xay时得 Cqa23116 11EIyqax2222()2qEIyqaxxa3111 116qaEIyxC xD232222()26qaqEIyxxaC34222222()624qaqEIyxxaC xD梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：22111233222223111134322222(113)06 3()1126(11)06 4()44224qaaxxaEIqaxxaaaxaEIqaya xxxaEIqyaxxaa xaxaEI 最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：13max10116
32、AxqaEI 24max22198xaqayyEI 例例2222：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求求A端端的挠度的挠度fA解：解：AC段（段（0 x l/2）()M xP x EIyP x 212PEIyxC 3116PEIyxCx D()M xP x 2EIyP x 2222PEIyxC 32226PEIyxC xD 2lABP2IICx2lCB段（段（l/2 x l）由边界条件：由边界条件：由连续条件：由连续条件：2ClxC左C右左C右时,y=y,=得：得：232211,23CPlDPl 231153,1616CP lDP l AC段挠度方程为：段挠度方程为：
33、3231153()61616yPxPl xPlEI令令0 x 得得:3316APlfEI ()x=l时时，y=0，=0三、叠加法求弯曲变形三、叠加法求弯曲变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载载荷与它所引起的变形成线性关系。荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。个载
34、荷单独作用下的变形，然后叠加。例例2323：用叠加法求用叠加法求fC、A、B。qPmABCl/2l/2解：解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加将梁上的各载荷分别引起的位移叠加Cf 53844qlEIPlEI348mlEI216()AqlEI324PlEI216mlEI3()BqlEI324PlEI216mlEI3()mA B CqPl/2 l/2A B Cql/2 l/2A B CPl/2 l/2A B Cml/2 l/2逐段刚化法：逐段刚化法：变形后：变形后：AB AB BC BC变形后变形后AB部分部分为曲线，但为曲线，但BC部分仍为直线。部分仍为直线。C点的位移为：点的位移为：wc2Lw
35、wwwBBcBc例例2424：求外伸梁求外伸梁C点的位移。点的位移。解：解：将梁各部分分别将梁各部分分别引起的位移叠加引起的位移叠加ABCP刚化刚化EI=LaCABPPCfc11、BC部分引起的位移部分引起的位移fc1、c1c1EIpafc331EIpac2212、AB部分引起的位移部分引起的位移fc2、c2CABP刚化刚化EI=fc2 B2P B2aEIPaLafBc32223BPaLEI 21cccfff21cccPa例例2525：已知梁的已知梁的EI为常数，今欲使梁的挠为常数，今欲使梁的挠曲线在曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值处出现一拐点，则比值m1/m2为为多少？多少？lm2xm1
36、解：解：由梁的挠曲线近似微分方程由梁的挠曲线近似微分方程()EIyM x 知，在梁挠曲线的拐点处有：知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩图可以看出：从弯矩图可以看出：2121mmlm2xm1M 0Mm2m1拐点：曲线凹与凸拐点：曲线凹与凸 的分界点的分界点0y 例例2626：欲使欲使AD梁梁C点挠度为零，求点挠度为零，求P 与与q的关系的关系。qPACBD 解：解：45(2)384CqafEI PaaEI()2162 0Pqa56qPA C B D qA C B D PA C B D PPA C B D 例例2727：若图示梁若图示梁B端的转角端的转角B=0，则力偶，则力偶矩矩m等于多少？等于多少
37、？PmACB 解：解：BPaEI 22maEI20mPa4PmA C B PA C B mA C B 例例2828：求图示梁求图示梁 C、D两点的挠度两点的挠度 fC、fD。qqA C B D 2 解：解：qqA C B D 2 qqA C B D 2 445(2)50,38424CDqaqaffEIEI 例例2929：求图示梁求图示梁B、D两处的挠度两处的挠度 fB、fD2 q2q A C B D解：解：434(2)(2)14833BqaqaaqafEIEIEI 342(2)82483BDfqaaqafEIEIqa为为B处约束力处约束力qABq 2q CBD2 q2q A C B D例例30
38、30：用叠加法求图示变截面梁用叠加法求图示变截面梁B、C截截面的挠度面的挠度 fB、fC。PEI2EI ABC解：解：323(2)2(2)BPaPa afEIEI33BBCfaPafEI 3512PaEIBPaEIPa aEI22 22()234PaEI顺时针 332PaEIEIC2EIAB PCEIBPEIP2EIABPP 例例31 31：用叠加法求图示梁端的转角和挠度。用叠加法求图示梁端的转角和挠度。P ABCq 解：解：3364BCqaqaEIEI顺时针BqaaEIqaaEI22223216()312qaEI顺时针 445824BCqaqafEIEIaP=q P=q m=q/2ABqCB
39、P=q qABC 例例3232：用叠加法求图示梁跨中的挠度用叠加法求图示梁跨中的挠度fC和和B点的转角点的转角B（k为弹簧系数）。为弹簧系数）。qABCEIkl/2l/2解：解：弹簧缩短量弹簧缩短量BqkqlEIqlEI8224222433378384qqakEI顺时针 4516768CqlqlfkEI qlk88qlB处反力=kqEIl l/2l l/2ABCqkABCq/2ABCq/2q/2ABC例例3333：图示梁图示梁B处为弹性支座，弹簧刚处为弹性支座，弹簧刚 度度k=EI/2a3，求，求C端挠度端挠度fC。qEIk 2 2 ABC解：解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的梁不变形，仅弹
40、簧变形引起的C点挠度为点挠度为 41332CqaqafkEI 342(2)243CqaqafaEIEI(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为点挠度为(3)C点总挠度为点总挠度为 41283CCCqafffEIBqa处 反 力=qk 2 ABCqk 2 ABCqk 2 ABCEIALBq四、静不定梁的解法 用用“多余多余”反力反力代替代替“多余多余”约束，约束，就得到一个形式上就得到一个形式上的静定梁，该梁称的静定梁，该梁称为原静不定梁的相为原静不定梁的相当系统当系统,亦称亦称基本静基本静定系定系。一个静不定结构一个静不定结构往往有多个基本静往往有多个基本静定系定系
41、l l qABqABRBqBAMA例例3535：求图示静不定梁的支反力。求图示静不定梁的支反力。qABl 解法一：解法一：将支座将支座B看看成多余约束，变形协调成多余约束，变形协调条件为：条件为：0Bf 即R lEIqlEIB34380RqlB38ABql l ABqRB 解法二：解法二：将支座将支座A对截对截面转动的约束看成多余约面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：束，变形协调条件为：A 0即M lEIqlEIA32403MqlA182ABql l qBAMA例例3636：为了提高悬臂梁为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，的强度和刚度，用短梁用短梁CD加固。设二梁加固。设二梁EI相同，试求
42、相同，试求 (1)二梁接触处的压力；二梁接触处的压力；(2)加固前后加固前后AB梁最大弯矩的比值；梁最大弯矩的比值；(3)加固前后加固前后B点挠度的比值。点挠度的比值。PABCD 解：解：(1)变形协调条件为：变形协调条件为：DDABCDff即5633333PaEIR aEIR aEIDD54DRP(2)(3)自行完成自行完成PBACDRD例例3737：梁梁ABC由由AB、BC两段组成，两段梁两段组成，两段梁的的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。相同。试绘制剪力图与弯矩图。qABC 解：解：变形协调条件为：变形协调条件为：BBABBCff334833BBR aR aqaEIEIEI即316BRq
43、a其余自行完成！自行完成！qABBCRB例例3838：图示结构图示结构AB梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为EA，已知，已知P、L、a。求。求CD杆所受的拉力。杆所受的拉力。PABCDa2L2L解：解：变形协调条件为：变形协调条件为：DaCPABC2L2LCR3()48CCRaPRLEAEI3348CA LRPA LI aCCDfl8 8-4 4 能能 量量 法法 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为体内积蓄的能量，称为弹性应变能弹性应变能，简称，简称应变能应变能。物体在外力作用下发生变形，
44、物体的应变能在数值物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即VW(功能原理）功能原理）能量法：能量法：从功和能的角度出发，分析从功和能的角度出发，分析 杆件的内力、应力和位移。杆件的内力、应力和位移。一、杆件应变能计算1 1、轴向拉伸和压缩、轴向拉伸和压缩VW12Pl12PPlEA2222NF lP lEAEA2()d2()NlFxVxEA xNFA或 变化时PPlll l l lPA2 2、扭转、扭转VWmm12m 122222mmlG Im lG IT lG Ippp2()d2()plTxVxGI
45、x当当T=T(x)或截面变化或截面变化A=A(x)时，可取微段：时，可取微段：ml 3 3、弯曲、弯曲VW纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲：横力弯曲：2()d2()lMxVxEI x12m12mmlEIm lEIM lEI2222mmmm结论：1、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。2、线弹性范围内，若外力从、线弹性范围内，若外力从0缓慢的增加到最终值：缓慢的增加到最终值：12VWP其中：其中：P-广义力广义力-广义位移广义位移拉、压：拉、压：NNF LLPFEA 轴力PTLPTEI扭矩扭转：扭转：zMLPMEI弯矩弯曲：弯曲：组合变形222(
46、)()()ddd2()2()2()NplllF xTxMxVxxxEA xGIxEI x 截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。应的位移做功。注意：注意：上式中各项是对内力分量平方的积分，故恒上式中各项是对内力分量平方的积分，故恒为正值。且对产生同一种变形形式的荷载，不能采用为正值。且对产生同一种变形形式的荷载，不能采用叠加原理。叠加原理。2221212FFFFFF但 弹性变形的最终状态仅与荷载的终值有关，因此，弹性变形的最终状态仅与荷载的
47、终值有关，因此，弹性变形能的计算与加载次序无关。弹性变形能的计算与加载次序无关。例例3939：试求图示悬臂梁的应变能，并利试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端用功能原理求自由端B的挠度。的挠度。xAPBl 解：解：M xP x()2()d2lMxVxEI20()d2lPxxEIP lEI2 3612BWP fVW由，得33BPlfEIxAPBl 例例4040：试求图示梁的应变能，并利用功能原试求图示梁的应变能，并利用功能原理求理求C截面的挠度。截面的挠度。PABC b bl x1x2解：解：2()d2lMxVxEIP bEI laP aEI lb22232223232312CWP f
48、22121200dd22abPbPaxxllxxEIEIP a bEI l2226VW由，得：223CPa bfEIlPABC b bl x1x2例例41 41：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力端的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知点的垂直位移。已知GIp、EI为常量。为常量。ARPARP解：解：,()sinMPR12AWP fVW由，得：33322ApPRPRfGIEI22()()dd22pllTMVRRGIEITPR()(cos)13442323P RGIP REIpRAP二、卡氏第二定理 对于线弹性体，
49、其应变能对某一荷载对于线弹性体，其应变能对某一荷载Fi的偏导的偏导数，等于该荷载的相应位移数，等于该荷载的相应位移 i。用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的荷载。与所求位移相应的荷载。如需计算某处的位移，而该处并无与位移对应如需计算某处的位移，而该处并无与位移对应的荷载，则可采取的荷载，则可采取附加力法附加力法。iiFV例例4242：抗弯刚度为抗弯刚度为EI的悬臂梁受三角形分布的悬臂梁受三角形分布荷载作用，梁的材料是线弹性体，且不计剪应荷载作用，梁的材料是线弹性体，且不计剪应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂变对挠度的影响。试用
50、卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。梁自由端的挠度。BAL0qBAL0q解：解：A处没有与挠度对应的荷处没有与挠度对应的荷载，加一虚拟力载，加一虚拟力PPx0()xq xqLq(x)()()23q xx xM xPx 30()6qxPxL()M xxP()()lM xM xAdxEIP P=0300()6()lq xPxlx dxEI P=04030qLEI()例例4343：图示平面折杆图示平面折杆AB与与BC垂直，在自由垂直，在自由端端C受集中力受集中力P作用。已知该杆各段的横截面作用。已知该杆各段的横截面面积均为面积均为A，抗弯刚度均为，抗弯刚度均为EI。试用卡氏第。试用卡氏第二定理求截面
