1、三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式几何平均不等式2212(,)abab a bR定理（重要不等式）,aabb令22a bab定理均值不等式由一般到由一般到特殊的思想特殊的思想2abab+(,)a bR 琴生不等式 均值不等式 绝对值不等式 权方和不等式 赫尔德不等式 闵可夫斯基不等式 伯努利不等式 舒尔不等式 切比雪夫不等式 幂平均不等式 马尔可夫不等式 契比雪夫不等式 基本不等式 卡尔松不等式 几何不等式 外森比克不等式 克拉克森不等式 施瓦尔兹不等式 卡尔松不等式 三角不等式 erdos不等式 Milosevic不等式 等周不等式 芬斯拉不等式 嵌入不等式 杨氏不等式 车贝契夫不
2、等式 马尔可夫不等式 典范类不等式 佩多不等式 四边形不等式 肖刚不等式 Arakelov不等式 卡拉玛特不等式 外森比克不等式 宫冈-丘不等式 柯西施瓦茨不等式 Gronwall不等式问题问题 这个不等式能否推广？例如，对于这个不等式能否推广？例如，对于3个个正数，会有怎样的不等式成立呢？正数，会有怎样的不等式成立呢？?如何证明这个猜想呢类比思想应用类比思想应用2abab,a bR若则当且仅当a=b时，取“=”号333,3a b cRabcabc引理：如果那么等号当且仅a=b=c时成立分析：33223()33abaa babb3322()()abab aabb3333abcabc3323()
3、333a ba babcabc3332()333a bca bababc333,3a b cRabcabc引理：如果那么等号当且仅a=b=c时成立证明：33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2abcabca ba babcabca bca bababca b ca ba b c cab a b ca b c aab bac bc caba b c abcab bc caa b ca bb cc a 1、3,3abca b cRabcabc若那么当且仅当时，等号成立。定理定理3表述:三个正数的算术平均不小于它们的
4、几何平均.33abcabc3()3abcabc2、三个正数的算术几何不等式=(abcMabcMM问 题：当或 者为 定 值)时你 能 得 到 什 么 结 论？类比的思想问题：求最值时，应满足什么条件？333,3a b cRabcabc引理：如果那么3,3abca b cRabcabc若那 么当 且 仅 当时，等 号 成 立。定理定理3还能进一步推广？还能进一步推广？如果*12,1na aaRnnN且 则：naaan21 叫做这叫做这n个正数的个正数的算术平均数。算术平均数。nnaaa21叫做这叫做这n个正数的个正数的几何平均数几何平均数。进一步推广进一步推广12naaan 12nna aa当且
5、仅当1a2=an时，等号成立232,(0).yxxx求函数的最小值3322243212321232xxxxxxxxy分析分析:3min43y(错解错解:原因是取不到等号原因是取不到等号)例1构造三个数相乘等于定值构造三个数相乘等于定值.而而此时条件无法满足，此时可此时条件无法满足，此时可以以将不等式的去等条件作为将不等式的去等条件作为导向导向，拼凑定积，求和的最，拼凑定积，求和的最小值。小值。0 x,023,022xxxxxxxy232323222时，上式取等号即当且仅当3243232xxx33min3623293y332293232323yxxx平衡系平衡系数，数，均均拆拆分式，分式，构造三
6、构造三个数相个数相 乘等于乘等于定值定值.232,(0).yxxx求函数的最小值 例1 解解:例1 求函数 的最小值)0(322 xxxy 由 知 ，则 0 x03,022 xxxxxxxy623223222 2333min332,232 62 182xxxy当且仅当即时必须遵循必须遵循正正-定定-等等的顺序的顺序错解错解:小结：利用三个正实数的基本不等式求最小结：利用三个正实数的基本不等式求最值时注意：值时注意：2、不能直接利用定理时、不能直接利用定理时，注意拆项、配注意拆项、配项凑定值，平方变形等技巧项凑定值，平方变形等技巧.1、一正、二定、三相等；、一正、二定、三相等；缺一不可缺一不可（拆项时常拆成两个相同项）（拆项时常拆成两个相同项）2.二个重要的数学思想 一般到特殊的思想 类比的思想1.三个正数算术几何平均不等式及其应用课堂小结课堂小结 如果学生在学校里没有尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。-波利亚
