1、目录（基础复习部分）第九章圆锥曲线2第51课椭圆2第52课双曲线7第53课抛物线8第54课直线与圆锥曲线（）（位置关系、弦长）9第55课直线与圆锥曲线（）（定值、存在性问题）16第56课综合应用（最值、范围）27第九章 圆锥曲线第51课 椭圆（苏北四市期末）已知椭圆，点，依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点若直线与直线的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 （扬州期末 ）如图，A，B，C是椭圆M：上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足ACBC，BC=2ACAxyCOB（1）求椭圆的离心率；（2）若y轴被ABC的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程（1）因为过椭圆的中心，
2、所以又，所以是以角为直角的等腰直角三角形，3分则，所以，则，所以，； 7分（2）的外接圆圆心为中点，半径为， 则的外接圆为 10分令，或，所以，得，所以所求的椭圆方程为 15分xyOlABFP第17题图（南京盐城模拟一）在平面直角坐标系中，椭圆的右准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为2的直线经过点，且点到直线的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另一点，当，三点共线时，试确定直线的斜率解：（1）直线的方程为，即， 右焦点到直线的距离为， 又椭圆右准线为，即，所以，将此代入上式解得，椭圆的方程为；6分（2）由（1）知，直线的方程为， 8分联立方程组解得或
3、（舍），即，12分直线的斜率 14分方法二：由（1）知，直线的方程为由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组解得代入椭圆方程解得或又由题意知，得或，所以方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组得，所以，当，三点共线时，有，即，解得或又由题意知，得或，所以（苏锡常镇一）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P （1）求椭圆C的方程；（2）求证：；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由解：（1）椭圆C：的离心率为，则，又椭圆C过点，2分
4、 ，则椭圆C的方程 4分（2）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为，设， 将代入椭圆C的方程中并化简得：，6分解之得， ，从而分令，得， 9分又， 11分， 13分（3） =为定值4 16分xyPQlAO已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，.（1）若时，求的值；（2）若，证明直线过定点.（南通调研二）xyOPAF（第18题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，右焦点为.为椭圆上一点，且.（1）若，求的值；（2）若，求椭圆的离心率；（3）求证：以为圆心，为半径的圆与椭圆的 右准线相切.解：（1）因为，所以，即， 由得，即, 3分 又， 所以，解得或(舍去) 5
5、分 （2）当时,， 由得，即，故， 8分 所以，解得（负值已舍） 10分 （3）依题意，椭圆右焦点到直线的距离为，且， 由得，,即, 由得， 解得或(舍去). 13分 所以 ， 所以以为圆心，为半径的圆与右准线相切. 16分 （注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线的距离为，得1分；直接使用焦半 径公式扣1分）第52课 双曲线已知双曲线的离心率为，则实数a的值为 8已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为 2双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率 答案：；提示：双曲线唯一的重要性质：焦点到渐近线的距离等于；则有：平时强调的重点内容啊！双
6、曲线的离心率为 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 .（南京盐城模拟一）若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 .答案：（苏北三市调研三）已知双曲线的离心率为2，它的一个焦点是抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为 .（扬州期末）已知双曲线：，的一条渐近线与直线l：0垂直，且的一个焦点到l的距离为2，则的标准方程为. （淮安宿迁摸底）在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是， 且经过点，则该双曲线的方程是 (泰州二模)已知双曲线的渐近线方程为，则 （南京三模）在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x21的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面
7、积是 4 （苏锡常镇二模）已知双曲线的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 3x2-y2=1（金海南三校联考）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为 .y3x （镇江期末）若双曲线，的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是 . 第53课 抛物线（南通调研一）在平面直角坐标系中，以直线为渐近线，且经过抛物线焦点的双曲线的方程是 .x2=1（苏州期末）以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 . （南京盐城二模）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线C：的焦点为F，定点，若射线FA与抛物线C相
8、交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN= 。（南通调研三）在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为 【答案】（盐城三模）若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为 .1（南师附中四校联考）以双曲线的中心为顶点，右准线为准线的抛物线方程为 .第54课 直线与圆锥曲线（）（位置关系、弦长）给定椭圆C：1(ab0)，称圆C1：x2y2a2b2为椭圆C的“伴随圆”已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m)(m0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m
9、的值解：（1）记椭圆C的半焦距为c由题意，得b1，c2a2b2，解得a2，b1 4分（2）由（1）知，椭圆C的方程为y21，圆C1的方程为x2y25显然直线l的斜率存在设直线l的方程为ykxm，即kxym0 6分因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组 （*） 有且只有一组解由（*）得(14k2)x28kmx4m240从而(8km)24(14k2)( 4m24)0化简，得m214k2 10分因为直线l被圆x2y25所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d即 14分由，解得k22，m29 因为m0，所以m3 16分OxyBACF1F2（南通调研一）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左
10、、右焦点，顶点的坐标为，且是边长为2的等边三角形（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，记，的面积分别为，若，求直线的斜率（南师附中四校联考）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：相切于点M.OPMQFxy（1）求椭圆C的方程；（2）求PMPF的取值范围；（3）若OPOQ，求点Q的纵坐标t的值.（1）2分c=1，a=2，椭圆方程为4分（2）设，则PM=，6分PF=8分PMPF=，|PM|PF|的取值范围是（0,1）.10分（3）法一：当PMx轴时，P，Q或，由解得12分当PM不垂直于x轴时，设，P
11、Q方程为，即PQ与圆O相切，13分又，所以由得14分=12，16分法二：设，则直线OQ：，OPOQ，OPOQ=OMPQ12分，14分，16分（前黄姜堰四校联考）已知曲线：，曲线：.曲线的左顶点恰为曲线的左焦点.(1) 求的值；（第17题）(2) 若曲线上一点的坐标为，过点作直线交曲线于两点. 直线交曲线 于两点. 若为中点， 求直线的方程； 求四边形的面积.解：（1）由 可得. 3分（2）(方法一)由（1）可得曲线.由条件可知的斜率必存在，可设直线方程为： ,.联立方程，可得 （*）6分是的中点，.,解得.直线方程为：. 8分(方法二) 设,由的中点为,可得.由，两式相减可得，6分,直线方程为
12、：. 8分的斜率为，直线的方程为：. 联立方程，可得或. 11分分别到直线的距离为由（*）可得，或, 13分四边形的面积 15分（金海南三校联考）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：的左焦点为F，左准线为l，P为椭圆上任意一点，直线OQFP，垂足为Q，直线OQ与l交于点A.(1)若b=1，且bc，直线l的方程为x=求椭圆C的方程；是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(2)设直线FP圆O：x2y2=a2交于M、N两点，求证：直线AM，AN均与圆O相切.解：（1）（i）由题意，b1，又a2b2c2，所以2c25c20，解得c2，或c(舍去)故a25xyOFlPQMN所求
13、椭圆的方程为y213分（ii）设P(m，n)，则n21，即n21 当m2，或n0时，均不符合题意； 当m2，n0时，直线FP的斜率为，直线FP的方程为y (x2)故直线AO的方程为yx，Q点的纵坐标yQ5分所以| 令，得4m221m270 ，或4m219m230 7分 由4m221m270，解得m3，m，又m，所以方程无解由于19244230，所以方程无解， 故不存在点P使10分 （3）设M(x0，y0)，A(，t)，则(x0c，y0)，(，t)因为OAFM，所以0，即(x0c)()ty00，由题意y00，所以t 所以A(，)12分因为(x0，y0)，(x0，y0)， 所以(x0)x0(y0)
14、y0x02y02x0y0x02y02x0x0a2 x02y02a2 因为M(x0，y0)在圆O上，所以015分 即AMOM，所以直线AM与圆O相切 同理可证直线AN与圆O相切16分第55课 直线与圆锥曲线（）（定值、存在性问题）（前黄姜堰四校联考）已知椭圆，点为其长轴的等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，则10条直线的斜率乘积为 . 如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点若直线斜率为时，（1）求椭圆的标准方程；NMQAOPxy（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结
15、论18.解：（1）设直线斜率为时， 3分，椭圆的标准方程为 6分（2）以为直径的圆过定点设，则，且，即，直线方程为，直线方程为， 9分以为直径的圆为，即 12分，令，解得，以为直径的圆过定点 16分（苏州期末）如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上（1）求直线AB的方程；PNMBOAxyE（2）若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线于点M，N，证明：OMON为定值解：（1）设点E（m，m），由B（0，2）得A（2m，2m+2）代入椭圆方程得，即，解得或（舍） 3分所以A（，），故直线AB的方程为 6分（2
16、）设，则，即设，由A，P，M三点共线，即，又点M在直线上，解得M点的横坐标， 9分设，由B，P，N三点共线，即，点N在直线上，解得N点的横坐标 12分所以OMON=2 16分（淮安宿迁摸底）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，求证：；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由(第19题)（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，1分又点在椭圆上，所以，2分联立，解得 3分所以所求圆的方程为 4分（2）因为直线：，：
17、，与圆相切，所以,化简得6分同理，7分所以是方程的两个不相等的实数根，8分因为点在椭圆C上，所以，即，所以，即 10分（3）是定值，定值为36，11分理由如下：法一：是定值，定值为36，11分当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得12分所以，同理，得，由，所以13分 15分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上： 16分 法二：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,因为，所以,即，因为在椭圆C上，所以， 即，所以，整理得，所以， 所以 14分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上： 16分（南京盐城二模）xyAOBCDMN(第18题图)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0) 的
18、离心率为，直线l：yx与椭圆E相交于A，B两点，AB2C，D是椭圆E上异于A，B的任意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N （1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值解：（1）因为e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2 2分故椭圆方程为1由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限由解得A(b，b)又AB2，所以OA，即b2b25，解得b23故a，b 5分（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1k2从而k1 kCB
19、 所以kCB 8分同理kDB 于是直线AD的方程为y1k2(x2)，直线BC的方程为y1(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，) 11分所以kMN 1即直线MN的斜率为定值1 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1 16分方法二：由（1）知，椭圆E的方程为
20、 1，从而A(2，1)，B(2，1)当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2显然k1k2直线AC的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0设点C的坐标为(x1，y1)，则2x1，从而x1 所以C(，)又B(2，1)，所以kBC 8分所以直线BC的方程为y1(x2)又直线AD的方程为y1k2(x2)由解得 从而点N的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，) 11分所以kMN 1即直线MN的斜率为定值1 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至
21、多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，1)仍然设DA的斜率为k2，则由知kDB此时CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点M(2，1)BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点N(2，1)，从而kMN1也成立由可知，直线MN的斜率为定值1 16分（南京三模）在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：xm1与x轴的交点为B，BF2m （1）已知点(，1)在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A(2，0)若椭圆C上存在点T，使得，求椭圆C的离心率的取值范围；当m1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于
22、另一点P，Q，xyAOBMPQ（第18题图）F2F1l若 ，m，求证：m为定值解：（1）设椭圆C的方程为 1(ab0)由题意，得 解得 所以椭圆方程为1 因为椭圆C过点(，1)，所以1，解得m2或m (舍去）所以m2 4分（2）设点T(x，y)由，得(x2)2y22(x1)2y2，即x2y22 6分由 得y2m2m因此0m2mm，解得1m2所以椭圆C的离心率e， 10分（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)则(x02，y0)，(x12，y1)由l， 得 从而 12分因为y021，所以(ly1)21即l2(y12)2l(l1)x12(l1)210因为 y121，代入得2
23、l (l1)x13l24l10由题意知，l1，故x1，所以x0 同理可得x0 14分因此，所以lm6 16分（方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)直线AM的方程为y(x2)将y(x2)代入y21，得(x02)2y)x24yx4y(x02)2 0(*)因为y021，所以（*）可化为(2x03)x24yx3x4x00因为x0x1，所以x1同理x2 14分因为l，m，所以lm6即m为定值6 16分（盐城三模）如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点
24、在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；第18题（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.解：（1）由，设，则，所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为5分（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，由点的坐标为，所以，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，解得，又过原点，于是，所以直线的方程为，所以点到直线的距离，10分（3）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有，当直线与轴垂直时，由，解得，所以若存在点，此时，为定值2. 12分根据对称性，只需考虑直
25、线过点，设，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，又，所以，将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值216分第56课 综合应用（最值、范围）1 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同则此双曲线的渐近线方程为 （苏锡常镇二模）已知为椭圆上的动点，为圆的一条直径，则的最大值为 15在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由18解：（1）由题设，得解得从而，所以
26、椭圆的标准方程为 4分（2）令，则，或者，当，时，；当，时，所以，满足题意的定直线只能是 6分下面证明点恒在直线上设，由于垂直于轴，所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线上 8分由得， 10分，13分式代入上式，得，所以 15分点恒在直线上，从而直线、直线与直线三线恒过同一点，所以存在一条定直线：使得点恒在直线上 16分（镇江期末）已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设，的中点分别为，（1）求椭圆的方程；AyxBODCMNF（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦，的斜率均存在，求面积的最大值解：（1）由题意，则， 3分椭圆的方程为 4分（2），斜率均存在，设直线方程
27、为，得， 5分故 6分将上式中的换成，则同理可得 8分如，得，则直线斜率不存在，此时直线过点，下证动直线过定点 9分（法一）若直线斜率存在，则，直线为， 11分令，得又当，斜率有一个不存在时，也过点，所以，直线过定点 12分（法二）动直线最多过一个定点，由对称性可知，定点必在轴上，设与轴交点为，下证动直线过定点当时， 10分同理将上式中的换成，可得， 11分则，直线过定点又当，斜率有一个不存在时，也过点，所以，直线过定点 12分（3）由第（2）问可知直线过定点，故SFMN=SFPM+SFPN 13分 令，SFMN 14分，则在单调递减， 15分当时取得最大值，此时SFMN取得最大值，此时 16
28、分【说明】本题原创考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；考查函数最值、定点定值问题题型；考查变量代换法、函数思想、分类讨论思想、一般与特殊思想；考查运算能力、演绎论证（分析法证明）能力、直觉思维能力，猜想探究能力（泰州二模）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为 （1）求椭圆的标准方程； （2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求面积的最大值解：（1）由题意得，解得，所以，所以椭圆的标准方程为4分（2）设，显然直线的斜率都存在，设为，则，所以直线的方程为：，消去
29、得，化简得，故点在定直线上运动 10分（3）由（2）得点的纵坐标为，又，所以，则，所以点到直线的距离 为， 将代入得，所以面积，当且仅当，即时等号成立，故时，面积的最大值为 16分（苏北三市调研三）如图，已知椭圆，其离心率为，两条准线之间的距离为，分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线，分别与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若TBC的面积是TEF的面积的倍，求的最大值.yBxFEOCT（第18题）（1）由题意，解得，椭圆方程为 4分（2）解法一: 6分直线方程为：，联立，得 所以到的距离 8分直线方程为：，联立，得 ,，10分 12分令,则14分当且仅当,即等号成立,所以的最大值为.6分解法二:直线方程为：，联立，得 6分直线方程为：，联立，得8分 10分 12分令,则 14分当且仅当,即等号成立所以的最大值为. 16分（苏锡常镇二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在椭圆 上，对角线与分别过椭圆的左焦点和右焦点，且，椭圆的一条准线方程为 （1）求椭圆方程； （2）求四边形面积的取值范围 34 / 34
