1、121.熟练掌握等差、等比数列的求和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3.掌握非等差、等比数列求和的几种常见的模型31.若数列an为等比数列，S5=10,S10=50,则S15=.210n1n 1naa32.(2013aa2n)0 已知数列满足，则的辽宁卷最小值为解析nnn 1n 1n 22112aaaaaaaa 212n1 33 nn3333n1nann，所以，2124 *min33f nn1f n(33)(033)n563353332155166155625321 10.6216210.552.f nfnnf nff N 设，由基本不等式或导数可知在，上单调递增，在，上单调
2、递减的，因为，所以只有当或 时有可能取得最小值由，所以5 513.(1)nnnanSan nS 数列的前 项和为，若，则教材改编题等于()5A1 B.611C.D.630B解析解析51111111 223561111111 (1)()()()223345615 1.66nannS 因为，所以6 2314754.(2010)2 2nnnaSanaaaaaS已知为等比数列，是数列 的前 项和若，且与的等差中项为，则广东卷()A.35 B.33C.31 D.29C7解析解析 231141447733471415222.5122411.821521631.1naaaaaaaaaaaa qaqqaqaa
3、Sq 因为为等比数列，所以由可得，所以又因为，所以，所以可得，所以又由，可得，所以85.设f(x)=，则f(x)+f(1-x)=，并利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为 .122x223 29 f(x)+f(1-x)=+=+=+=.又设S=f(-5)+f(-4)+f(6),则S=f(6)+f(5)+f(-5),所以2S=f(6)+f(-5)+f(5)+f(-4)+f(-5)+f(6).所以2S=12 =6 ,所以S=3 .122x1122x122x222 2xx122x12222xx12222222解析10数列求和的常见方法1
4、.公式法常用的公式有：(1)等差数列an的前n项和Sn=.(2)等比数列an的前n项和Sn=(q1).(3)12+22+32+n2=.(4)13+23+33+n3=.1()2nn aana1+d(1)2n n1(1)1naqq11naa qqn(n+1)(2n+1)16n2(n+1)214112.倒序相加法将一个数列倒过来排序，它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易于求和，则这样的数列可用倒序相加法求和.3.分组转化法分析通项虽不是等差或等比数列，但它是等差数列和等比数列的和的形式,则可进行拆分，分别利用基本数列的求和公式求和，如求n(n+1)前n项的和.124.错位相减法利用等比数
5、列求和公式的推导方法求解，一般可解决型如一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和，如求数列n3n的前n项和.5.裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，它适用于通项为 的前n项求和问题，其中an为等差数列，如 =(-).11nnaa11nnaa1d1na11na13常见的拆项方法有：(1)=;(2)=;(3)=;(4)=;(5)nn!=.1(1)n n111nn1()n nk1 11()k nnk1(1)(2)n nn1112(1)(1)(2)n nn nn1ab1()abab11(n+1)!-n!146.并项法 将数列的每两项(或多次)并到一起后，再求和
6、，这种方法常适用于摆动数列的求和.15 求和：(1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+(2n-1+2n+3n-2);(2)Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2.题型一 分组求和及并项法求和例116(1)因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+（3n-2）=n2-n,所以Sn=(12+22+32+n2)-(1+2+n)=n(n+1)(5n-2)(nN*).(21 32)2nnn 5232523216解析17(2)当n是偶数时，Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-3-7-(2n-1)=.当n是奇数时，Sn=1+(32-22)+(52-42)+n2-(n-
7、1)2=1+5+9+(2n-1)=.故Sn=(-1)n-1 (nN*).(1)2n n(1)2n n(1)2n n 18 求数列的前n项和，首先要研究数列的通项公式的特点，再确定相应的求和方法.如本题中的(1)小题运用分组求和法；(2)小题中，由于an的项是正负相间，故采用并项求和法，但解题中要注意分奇数、偶数讨论.评析19素材1212naaan求值：解析222212 ()-(12)(1)2111.22111.121 ()12.1nnnnnnnnSaaanaaann nnnaSnnaSaan nanaaan naSa 因为当时，当时，所以20131na11nnb b1 31bb241b b3
8、51b b21nnb b34题型二 裂项相消法求和 已知等比数列an的首项a1=,公比q满足q0,且q1.又已知a1,5a3,9a5成等差数列.(1)求数列an的通项；(2)令bn=log3 ,试求数列 的前n项和Sn;(3)试比较 +与 的大小.例221 (1)依题意，10a3=a1+9a5，即 q2=+q49，整理得9q4-10q2+1=0，解得q2=或q2=1，又q0，且q1，所以q=，此时，an=a1qn-1=()n.1031313191313解析22(2)因为bn=log3 =-log3an=n,=-,所以Sn=b1+b2+bn=(-)+(-)+(-)=1-=.1na11nnb b1
9、(1)n n1n11n111213121n11n11n 1nn 23(3)因为 =(-),所以原式=(-)+(-)+(-)+(-)+(-)+(-)=(1+-)=-(+)对nN*恒成立.21nnb b341(2)n n121n12n12111213141315141611n11n1n12n121211n12n1211n12n3424 （1）若数列的通项能转化为an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项相消法求和，关键是裂项成功，如本例第（2）（3）问.（2）使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项.评析251111 12132231nn素材2()CA.1 B.11C
10、.D.11nnnn 解析111111112132231 1(21)(32)(43)(1)C.nnnnnnnnn 因为，所以，故选26求和 +(a0).1a22a33anna (1)当a=1时，Sn=1+2+3+n=.(2)当a1，且a0时，Sn=+,Sn=+,(1)2n n1a22a33anna1a21a32a1nna1nna题型三 错位相减法求和例3解析27由-，得(1-)Sn=+-=-.两边同除以(1-)并整理得Sn=.(a=1)(a1).1a1na21a1nna1a1nna111()11naaa1a2(1)(1)(1)nna an aaa综上所述,Sn=(1)2n n 2(1)(1)(1
11、)nna an aaa28 （1）若数列an为等差数列，bn为等比数列，则数列anbn的前n项和可采用错位相减法求和；（2）当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论.（3）将Sn与qSn相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号.评析29素材3 21*123333.3nnnnaaaaanN设数列满足，2.1nnnnnanbbnSa求数列的通项公式；设，求数列的前 项和解析 211232212311333 3123333113.133nnnnnnnnnaaaannaaaaaa因为，所以当时，得，30 12323411231111.333.3233 33.33233 33.23(3333
12、)3 132313132nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaanbbnaSaSnSnSnSn 在中，令得，适合，所以因为，所以 所以 所以 得，即，所以121 34.34nnn 311133nnnnnnnanaSaa解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列的前 项和，从而利用与 的关系求出通项，进而求得；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力评析：的培养3212121n1nn1n2n16n441na 1nn题型四 倒序相加及综合应用 f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)=.(1)求f()和f(
13、)+f()(nN*)的值；(2)数列an满足:an=f(0)+f()+f()+f()+f(1),数列an是等差数列吗？请给予证明;(3)令bn=,Tn=b12+b22+b32+bn2,Sn=32-.试比较Tn与Sn的大小.例433(1)因为f()+f(1-)=f()+f()=,所以f()=,令x=，得f()+f(1-)=,即f()+f()=.121n1212121212141n1n121n1nn12解析34(2)an=f(0)+f()+f()+f(1),又an=f(1)+f()+f()+f(0),两式相加2an=f(0)+f(1)+f()+f()+f(1)+f(0)=,所以an=,nN*,又a
14、n+1-an=-=.故数列an是等差数列.1n1nn1nn1n1n1nn12n14n1 14n 14n1435(3)bn=,Tn=b12+b22+bn2=16(1+)161+=161+(1-)+(-)+(-)=16(2-)=32-=Sn.所以TnSn，当且仅当n=1取等号.4n441na 21221n21311 212 31(1)n n12121311n1n1n16n36 （1）如果一个数列an与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和；（2）关于数列前n项和的不等式，常转化为先求和，再放缩；或者先放缩变形，
15、再求和.评析37 121nnnnanSnb 已知数列的前 项和，是否存在等差数列，使素材4n对一切正整数 均成立？11111111*112121221 22222.122()nnnnnnnnnnnaSnaSSnnnnnanaann N当时，；当时，因为满足时 的表达式，所以解析38 00()nnbbbnN假设存在等差数列满足条件，设，且仍为等差数列，1122.nnnnnnnnabanbnbbn所以，又，比较得故存在等差数列，其通项公式为，其使题中结论成立39 评析 当把一个数列倒过来排序，与原数列项相加后，若有公因式可提，并且剩余的项的和易求，一般可用倒序相加法求其和40 已知数列f(x)=a
16、x+b,当xa1,b1时，f(x)的值域为a2,b2，当xa2,b2时，f(x)的值域为a3,b3,以此类推，一般的，当xan-1,bn-1时，f(x)的值域为an,bn，其中a、b为常数，a1=0,b1=1.(1)若a=1,求数列an、bn的通项公式；(2)若a0，求证：bn-an是等比数列.41 (1)当a=1时,f(x)=x+b在R上是增函数,由已知,当xan-1,bn-1时,f(x)的值域为an,bn,所以an=f(an-1)=an-1+b,bn=f(bn-1)=bn-1+b,所以an、bn都是公差为b的等差数列，所以an=(n-1)b,bn=(n-1)b+1.(2)证明:当a0时,f
17、(x)=ax+b在R上是减函数，由已知得,an=f(bn-1)=abn-1+b,bn=f(an-1)=aan-1+b,所以bn-an=-a(bn-1-an-1)(n2),所以bn-an是以1为首项,-a为公比的等比数列.解析421.若是等差、等比数列求和问题，则直接用公式求和,应注意公式的应用范围(如等比数列求和时,要分q=1和q1两类).2.非等差、等比数列求和问题，注意观察通项的形式与特点，善于将问题转化为等差、等比数列求和问题，或通过拆项或并项或错位相减或倒序相加求和.3.数列求和需熟练基本方法,积累一定的经验.4322111()()()nnxxxyyy求和：错解22111()()1111 11111 1 .11nnnnnnnnSxxxyyyyxxyxyxxyxyy 错解分析1111qqxy 等比数列的求和公式应分和两种情况讨论，上述解答只求了且的一种情况44正解 11111.1112 11.1131114112.nnnnnnnnnnxxyxySxyyxxxySnxyxySnyyxySn 当且时，当且时，当且时，；当且时，
