1、10.4 高阶线性微分方程高阶线性微分方程二二.常系数齐次线性微分方程的解法常系数齐次线性微分方程的解法一一.线性微分方程通解的结构线性微分方程通解的结构 三三.常系数非齐次线性微分方程的解法常系数非齐次线性微分方程的解法 四四.欧拉方程欧拉方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 教学目标教学目标1.掌握二阶常系数齐次微分方程的求解方法掌握二阶常系数齐次微分方程的求解方法.2.了解了解 n 阶常系数齐次微分方程的求解方法阶常系数齐次微分方程的求解方法.3.掌握二阶常系数非齐次微分方程的求解方法掌握二阶常系数非齐次微分方程的求解方法.4.了解欧拉方程的求解方法了解欧拉方程的求解方法.在微分方程中
2、在微分方程中,人们通常把二阶及二阶以上的微分方程人们通常把二阶及二阶以上的微分方程,()(1)11()()()nnnnyax yayax yf x 其中其中()(1,2,.,)iaxin 为给定的函数为给定的函数,()f x为为 x 的已的已统称为统称为高阶微分方程高阶微分方程.知函数知函数.特别的特别的,()(1)11()()0nnnnyax yayax y 为为n 阶齐次线性方程阶齐次线性方程,否则否则,称为称为 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程.本书以二阶线性微分方程为例讨论高阶线性微分方程的本书以二阶线性微分方程为例讨论高阶线性微分方程的求解问题求解问题.n阶微分方程的一般形式为：
3、阶微分方程的一般形式为：()0f x 时时,称方程称方程当当机动 目录 上页 下页 返回 结束 一一.线性微分方程的通的结构线性微分方程的通的结构二阶线性微分方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为()()()yp x y q x yf x (10.4.1)若若 ，则称方程，则称方程(10.4.1)为二阶为二阶非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程.()0 f x 若若 ,则称方程则称方程()0f x ()()0yp x yq x y (10.4.2)为方程为方程(10.4.1)对应的二阶对应的二阶齐次线性微分方程齐次线性微分方程.其中其中 ,是是 x 的已知连续函数的已知连续函数.()p
4、x()q x()f x 为了研究二阶线性微分方程解的结构为了研究二阶线性微分方程解的结构,我们引入函数相关我们引入函数相关性的概念性的概念.机动 目录 上页 下页 返回 结束 个函数个函数,1 122()()()0nnk y xk yxk yx (10.4.3)在区间在区间 I上恒成立上恒成立,线性相关线性相关;否则否则,称线性无关称线性无关.定义定义1 设设12(),(),.,()nyxyxyx是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n例如，例如，函数函数221,cos,sinxx在整个数轴上是线性相关的在整个数轴上是线性相关的,因为因为221cossin0 xx 又如又如,函数函数21,x
5、 x在任何区间在任何区间(a,b)内是线性相关内是线性相关12(),(),.,()nyxyxyx 在区间在区间 I上上则称则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别地特别地,对于两个函数对于两个函数12(),()yxyx,如果如果12()()yxyx 常数常数,则是则是线性无关的线性无关的,否则是线性相关的否则是线性相关的.例如例如,1sinyx 与与2cosyx 在任何区间上都是线性无关的在任何区间上都是线性无关的;因为当因为当(,)xa b 时时,要使要使 21230kk xk x 则必须则必须123,k kk全为零全为零.1yx 23yx 与与是线性相关的是线性相关的.而而机动 目录
6、上页 下页 返回 结束 1122()()yC yxC yx 也是方程也是方程(10.4.2)的解的解,其中其中,为任意常数为任意常数.12,C C个解个解,则则注注虽然解中含有两个任意虽然解中含有两个任意12,C C但它不一定是方程但它不一定是方程(10.4.2)的通解的通解.例如例如,设设1()y x是方程是方程(10.4.2)的一个解的一个解那么那么21()2()yxy x 也是方程也是方程(10.4.2)的解的解,1122121()()(2)()yC y xC yxCCy x 112()(2)CyxCCC 却不是方程却不是方程(10.4.2)的通解的通解,因为因为 122CCC只能看成只
7、能看成一个任意常数一个任意常数.定理定理1 设函数设函数12()()yxyx、是齐次线性方程是齐次线性方程(10.4.2)的两的两但但机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2两个线性无关的解两个线性无关的解,则则1122()()yC y xC yx (10.4.4)为方程为方程(10.4.2)的通解的通解,其中其中,12CC，为任意常数为任意常数.构定理构定理.根据定理根据定理10.3.1,我们可得齐次线性方程我们可得齐次线性方程(10.3.2)的通解的通解结结12()()yxyx、是齐次线性方程是齐次线性方程(10.4.2)的的设函数设函数 值得说明的是一般微分方程的通解不一定包含它的
8、全部解值得说明的是一般微分方程的通解不一定包含它的全部解,而线性微分方程无论是齐次的而线性微分方程无论是齐次的,还是非齐次的还是非齐次的,它的通解却包它的通解却包含了它的全部解含了它的全部解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 指出了二阶线性微分方程通解的结构指出了二阶线性微分方程通解的结构.为了求它的通为了求它的通的通解的通解,只需要求出它的两个线性无关的特解只需要求出它的两个线性无关的特解,就可以由式就可以由式(10.4.4)构造出通解构造出通解,进而得到它的全部解进而得到它的全部解.这是一个二阶齐次线性方程这是一个二阶齐次线性方程,1sinyx 与与2cosyx 是所给方程的
9、两个线性无关的解是所给方程的两个线性无关的解.因为因为12sintancosyxxyx 所以该方程的通解为所以该方程的通解为12sincosyCxCx (为任意常数为任意常数)12,C C常数常数求微分方程求微分方程0yy 的通解的通解.例例1 解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论 如果如果12(),(),()nyxyxyx是是 n 阶齐次线性方程阶齐次线性方程()(1)11()()()0nnnnyaxyaxyaxy 的的 n 个线性无关的解个线性无关的解,那么那么,此方程的通解为此方程的通解为1122()()()nnyC yxC yxC yx 其中其中12,nCCC为任意常数为任
10、意常数.下面讨论二阶非齐次线性方程下面讨论二阶非齐次线性方程(10.4.1)的通解结构的通解结构.我们我们把方程把方程(10.4.2)称为与非齐次线性方程称为与非齐次线性方程(10.4.1)对应的齐次方对应的齐次方程程.定理定理2不难推广到不难推广到 n 阶齐次线性方程阶齐次线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在10.2中中,我们看到我们看到:一阶非齐次线性微分方程的通解一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分构成：一部分是它相应的齐次方程的通解由两部分构成：一部分是它相应的齐次方程的通解;另一部另一部分是它的一个特解分是它的一个特解.实际上实际上,不仅一阶线性微分方程的通解不仅一阶线性
11、微分方程的通解这样的结构这样的结构,二阶乃至更高阶的非齐次线性微分方程的通解二阶乃至更高阶的非齐次线性微分方程的通解也有同样的结构也有同样的结构.定理定理3 (非齐次线性方程通解结构非齐次线性方程通解结构)设设 是二阶非齐是二阶非齐*()yx次线性微分方程次线性微分方程(10.3.1)的一个特解的一个特解,Y是对应齐次方程是对应齐次方程(10.4.1)*yYy (10.4.5)为非齐次线性微分方程为非齐次线性微分方程(10.4.1)的通解的通解.的通解的通解,则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 把把(10.4.5)式代入方程式代入方程(10.4.1)的左端的左端,根据根据Y(x)是对应是对
12、应 齐次方程齐次方程(10.3.2)的通解的通解,有有 *()()Yyp xYyq xYy *=()()()()()()Yp x Yq x Yyp xyq x y *=0()()()()()yp xyq xfx 所以所以 为方程为方程(10.4.1)的解的解.另一方面另一方面,我们注意我们注意*yYy 到到 的结构中包含了两个独立的任意常数的结构中包含了两个独立的任意常数,所以式所以式(10.4.5)为为Y二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程(10.4.1)的通解的通解.证证机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4(叠加原理叠加原理)1()()()nkkyp x yq x yfx
13、 （10.4.6）如果如果 为非齐次线性微分方程为非齐次线性微分方程.*ky()()()(1,2,)kyp x yq x yfxkn 的一个特解的一个特解,例如例如,方程方程2yyx 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程.由由例例1知知12sincosYCxCx 是对应齐次方程是对应齐次方程0yy 的通解的通解;又容易验证又容易验证22yx 是所给方程的一个特解是所给方程的一个特解因此因此,212sincos2yCxCxx 设有二阶非齐次线性微分方程设有二阶非齐次线性微分方程*1nkkyy 就是方程就是方程(10.4.6)的一个特解的一个特解.那么那么机动 目录 上页 下页 返回
14、结束 由假设知由假设知*()()()()()(1,2,)kkkkyp xyq x yfxkn 将将 代入方程代入方程(10.4.6)的左端的左端,有有*1nkkyy *1*11()()nkknnykkkkyp xyq x 故故 为方程为方程(10.4.6)的一个特解的一个特解.*1nkkyy n*k=11=()()()()()nkkkkkyp xyq x yfx 证证机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程方程(10.4.7)的两个线性无关的解的两个线性无关的解,就可以得到其通解就可以得到其通解.二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为二二.二阶常系数线
15、性微分方程二阶常系数线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程的通解、二阶常系数齐次线性微分方程的通解方程方程(10.4.1)对应的齐次线性微分方程是对应的齐次线性微分方程是()ypyqyfx 0ypyqy (10.4.7)由齐次线性微分方程通解结构定理由齐次线性微分方程通解结构定理10.4.2可知可知,只要求出只要求出机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于方程由于方程(10.4.7)的左端是关于的左端是关于,yyy 的线性关系式的线性关系式,且系数为常数且系数为常数.当当 为常数时为常数时,指数函数指数函数xe 和它的各阶导和它的各阶导数最多只差一个常数因子数最多只差一个常数因子,因此我们
16、用因此我们用xy e 尝试尝试,看能否看能否对对xy e 求导求导,将将,yyy 代入方程代入方程(10.4.7),得得2()0 xpq e 由于由于 ,所以所以0 xe 20pq (10.4.8)取到适当的常数取到适当的常数,xy e 是方程是方程(10.4.7)的解的解.使使2,.xxyeye 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可见由此可见,只要只要 是代数方程是代数方程(10.4.8)的根的根,函数函数xe 就是微就是微分方程分方程(10.4.7)的解的解.我们把代数方程我们把代数方程(10.4.8)叫做微分方程叫做微分方程(10.4.7)的的特征方程特征方程,其根称为微分方程
17、其根称为微分方程(10.4.7)的的特征根特征根.特征方程特征方程(10.4.8)是一个一元二次代数方程是一个一元二次代数方程,根据初等代数根据初等代数学的知识，该方程有两个根学的知识，该方程有两个根12,可由求根公式可由求根公式21,242ppq 求得求得.它们有三种不同的情形它们有三种不同的情形,分别对应着微分方程分别对应着微分方程(10.4.7)的通解的三种不同情形的通解的三种不同情形,分别讨论如下分别讨论如下:机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)特征根为互异实根特征根为互异实根根据一元二次方程的求根公式根据一元二次方程的求根公式,当判别式当判别式240pq 时时,特特这时这时11x
18、ye 因此因此,微分方程微分方程(10.4.7)的通解为的通解为(为任意常数为任意常数)(10.4.9)1212xxyC eC e 12,C C特征方程特征方程(10.4.8)有两个不相等的实根有两个不相等的实根12,22xye 是微分方程是微分方程(10.4.7)的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解.和和机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)特征根为重根特征根为重根 当判别式当判别式240pq 时时,特征方程特征方程(10.4.8)有两个相同有两个相同的实根的实根12=,2p 这时方程这时方程(10.4.7)只有一个特解只有一个特解 我们需要再找一个解我们需要再找一个解,并使得并使得2
19、1yy不是常数不是常数.设设21(),yu xy 即即21()()yxu xy 1()(),xu x e 下面来求下面来求(),u x对对2y求导得求导得,121()xyeuu 12211(2)xyeuuu 1,xye 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12111(2)()0 xeuuup uuqu 约去上式中的约去上式中的1,xe 将将代入方程代入方程(10.4.7),得得222,yyy ,uuu 并以并以为准合并同类项为准合并同类项,得得2111(2)()0up upq u 由于由于1 是特征方程是特征方程(10.4.8)的二重根的二重根,因此因此2110,pq 且且120,p 于是得于
20、是得0u 因此，微分方程因此，微分方程(10.4.7)的通解为的通解为1212()xxxyC eC xeCC x e (为任意常数为任意常数)12,C C12yy由于由于不等于常数不等于常数,则这里只要得到一个不为常数的解则这里只要得到一个不为常数的解即可即可,故不妨选取故不妨选取,ux 由此可得到微分方程由此可得到微分方程(10.4.7)的另一的另一个解个解12,xyxe 机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根求出实值函数形式的解求出实值函数形式的解,借助欧拉公式借助欧拉公式cossiniei 将将 改写成改写成12yy，1()(cossin)aix
21、ixxxyeeeexix 线性无关的特解线性无关的特解.240pq 当判别式当判别式时时,特征方程特征方程(10.4.8)有一对共轭有一对共轭1,i 2i (0),1i 复根复根为虚根单位为虚根单位.()()12ixixyeye ，这时这时为微分方程为微分方程(10.4.7)的两个的两个由于复数形式的解应用不方便由于复数形式的解应用不方便,我们需要我们需要机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理由定理1 知知 也是微分方程也是微分方程(10.4.7)的两个线性无关的解的两个线性无关的解.1121()cos2xyyyex 2121()sin2xyyyexi (10.4.11)12(cossin
22、)xy eCx Cx 2()(cossin)aixixxxyeeeexix 的通解为的通解为(为任意常数为任意常数)12,C C则方程则方程(10.4.7)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 求微分方程求微分方程 的通解的通解.280 yyy 解解 所给微分方程的特征方程为所给微分方程的特征方程为2280 特征根为特征根为 14,22,程的通解为程的通解为由由(10.4.9)式知式知,所求微分方所求微分方4212xxyC eC e (为任意常数为任意常数)12,C C机动 目录 上页 下页 返回 结束 的特解的特解.4,200SStt 解解 特征方程为特征方程为2210 其特征根为其特
23、征根为12=1,1242CC ，(42)tSt e 12()tSCC t e 方程的通解为方程的通解为 例例3 求微分方程求微分方程2220dSdSSdtdt 满足初始条件满足初始条件故所求微分方程满足初始条件的特解为故所求微分方程满足初始条件的特解为由由(10.4.10)式知，所求微分式知，所求微分将初始条件将初始条件 代入通解代入通解,可得可得4,200SStt 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其特征根为其特征根为解解 特征方程为特征方程为 例例4 求方程求方程 的通解的通解.6250yyy 26250 2664 25341,22i 由式由式(10.4.11)式知，所求微分方程的通解为
24、式知，所求微分方程的通解为 123cos4sin4xyeCx Cx (为任意常数为任意常数)12,C C机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为阶常系数线性微分方程的一般形式为 2.n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程 我们把方程我们把方程(10.4.12)称为称为非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程；而把方；而把方()(1)11()nnnnya yaya yf x 其中其中 为常数为常数,1 2(,)iain(10.4.12）()(1)110nnnnya yaya y 若若 ()0,f x ()fx为为x的已知函数的已知函数.则方程则方程(10.4.12
25、)变为变为程程(10.4.13)称为方程称为方程(10.4.12)所对应的所对应的齐次线性微分方程齐次线性微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为齐次线性方程称为齐次线性方程(10.4.12)的的特征方程特征方程.根据代数学基本定理根据代数学基本定理,特征方程特征方程(10.4.13)有且只有有且只有 n个根个根若齐次线性方程若齐次线性方程(10.4.12)有形如有形如 的解，将的解，将xye xye (10.4.13)1110nnnnaaa 及其各阶导数代入方程及其各阶导数代入方程(10.4.12),可得可得 应满足的代数方程应满足的代数方程的线性无关的解的关系的线性无关的解的关系
26、,可由下表给出可由下表给出.(重根按重数计算重根按重数计算).特征方程特征方程(10.4.13)的根与方程的根与方程(10.4.12)机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次线性方程的线性无关的特解形式对应齐次线性方程的线性无关的特解形式重数重数特征根的形式特征根的形式k1xexxkxexex e，i 1kcossinxxexex ，coscoscossinsinsinxxkxex xexx exxxkxex xexx ex ，机动 目录 上页 下页 返回 结束 其特征根为其特征根为因此所求方程的通解为因此所求方程的通解为所给齐次线性方程的特征方程为所给齐次线性方程的特征方程为 例例5 求
27、方程求方程的通解的通解.4250()yyy 43225 123,40,12 i 1234(cos2sin2)xyCC xeCxCx 解解22(25)0 (为任意常数为任意常数)1234,C C C C机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 求方程求方程其特征根为其特征根为对应齐次线性方程的通解为对应齐次线性方程的通解为所给的对应齐次线性方程为所给的对应齐次线性方程为对应的齐次方程的通解对应的齐次方程的通解.543322()()()xyyyyyye 5432221 123451,ii 12345()cos()sinxyC eCC xxCC xx 解解543220()()()yyyyyy 它的
28、特征方程为它的特征方程为22(1)(1)0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、常系数非齐次线性微分方程的通解三、常系数非齐次线性微分方程的通解下面着重讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的解法下面着重讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的解法,并并对对 n 阶方程的解法作必要说明阶方程的解法作必要说明.二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()ypyqyfx (10.4.14)其中其中p,q 为常数为常数,()fx为给定的已知函数为给定的已知函数.根据非齐次线性方程通解结构定理根据非齐次线性方程通解结构定理3可知可知,二阶常系数非二阶常系数非齐次线性微分
29、方程齐次线性微分方程(10.4.14)的通解是其自身的一个特解的通解是其自身的一个特解y 与其对应的齐次线性微分方程与其对应的齐次线性微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 0ypyqy (10.4.15)的通解的和的通解的和.而齐次方程而齐次方程(10.4.15)的通解求法在前面已经的通解求法在前面已经讨论了讨论了,下面只需讨论如何求非齐次方程下面只需讨论如何求非齐次方程(10.4.14)的一个的一个特解即可特解即可.求二阶非齐次线性方程求二阶非齐次线性方程(10.4.14)的特解常用的方法有两种的特解常用的方法有两种*1.常数变易法常数变易法在在10.2节中节中,我们曾用常数变易法求一
30、阶非齐次线性微分我们曾用常数变易法求一阶非齐次线性微分方程的通解方程的通解.现在用此方法求非齐次线性方程现在用此方法求非齐次线性方程(10.4.14)的通的通解解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设非齐次线性方程设非齐次线性方程(10.4.14)对应的齐次方程对应的齐次方程0ypyqy 的通解为的通解为1122()()()y xC yxC yx 其中其中12(),()yxyx是齐次方程的两个线性无关的解是齐次方程的两个线性无关的解,12,CC是任意常数是任意常数,现在把现在把12,CC看成看成 x 的函数的函数 12(),(),CxCx设非齐次线性方程设非齐次线性方程(10.4.14)的通
31、解为的通解为1122()()()()()y xCxyxCxyx (10.4.16)其中其中12(),()CxCx为待定函数为待定函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对式对式(10.4.16)求导求导,则有则有11221122yy Cy Cy CyC 因为式因为式(10.4.16)表示的两个未知函数表示的两个未知函数12(),()CxCx仅满足仅满足一个关系式一个关系式(10.4.14),所以规定它们再满足一个关系式所以规定它们再满足一个关系式,从从y 的上述表达式可以看出的上述表达式可以看出,为了使为了使y 的表达式中不含的表达式中不含1C 和和2,C 可设可设11220y Cy C (
32、10.4.17)从而从而1122yy CyC 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式两端再求导上式两端再求导,得得11221122yy CyCyCyC 将将,y yy 代入式代入式(10.4.14),得得1122112211221122()()()y Cy Cy Cy Cp yCy Cq yCy Cf x 整理上式整理上式,得得112211112222()()()y Cy Cypyqy Cypyqy Cf x 由于由于12(),()yxyx是对应齐次方程是对应齐次方程(10.4.15)的两个解的两个解,故上式即为故上式即为1122()y Cy Cfx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 联立
33、方程联立方程(10.4.17)和和(10.4.18),得到得到112211220()y Cy Cy Cy Cfx (10.4.19)如果系数行列式如果系数行列式121221120yyWy yy yyy 可解可解2112(),()y fy fCxCxWW 对上述两式分别积分对上述两式分别积分,得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 211(),yfCxdxCW 122()y fCxdxCW 代入式代入式(10.4.16),便得到非齐次方程便得到非齐次方程(10.4.14)的通解的通解.例例7求微分方程求微分方程02tan()yyxx 的通解的通解.解解原方程对应的齐次方程原方程对应的齐次方程0y
34、y 的特征方程为的特征方程为210 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根为特征根为1,2.i 于是齐次方程于是齐次方程0yy 的通解为的通解为12cossinyCxCx 设原方程的通解设原方程的通解12()cos()sinyCxxCxx 其中其中12(),()CxCx为待定函数为待定函数,且满足且满足12120()cos()sin()sin()costanCxxCxxCxxCxxx 解方程组得解方程组得1()sintancossecCxxxxx 2()sinCxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对对12(),()CxCx积分得积分得11()sinln(sectan)CxxxxC 2
35、2()cosCxxC 原方程的通解为原方程的通解为12()sinln(sectan)cos(cos)siny xxxxCxxCx 12cossin(cos)ln(sectan)CxCxxxx 其中其中12(),()CxCx为任意常数为任意常数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用常数变易法对于求非齐次微分方程的通解利用常数变易法对于求非齐次微分方程的通解,无疑是一无疑是一种重要且普遍使用的方法种重要且普遍使用的方法.但当非齐次方程但当非齐次方程()ypyqyf x 的右端自由项的右端自由项 f(x)是某种特殊类型的函数时是某种特殊类型的函数时,采用待定系数采用待定系数法法,将会更方便一些将
36、会更方便一些.2.待定系数法待定系数法下面只介绍当非齐次方程下面只介绍当非齐次方程(10.4.14)的右端函数的右端函数 f(x)为两种为两种常见形式时常见形式时,用待定系数法求其特解用待定系数法求其特解y 的方法的方法.(1)()()axmf xPx e 型型这里这里()mPx是是m次多项式次多项式,a是常数是常数,设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 1011000()()mmmmPxa xa xaxaa 由于多项式与指数函数乘积的一阶导数、二阶导数仍是多由于多项式与指数函数乘积的一阶导数、二阶导数仍是多项式与指数函数的乘积项式与指数函数的乘积,考虑到非齐次方程考虑到非齐次方程(10.4
37、.14)的左端的左端的系数均为常数的特点的系数均为常数的特点,设为设为()axyQ x e 其中其中 Q(x)为待定多项式为待定多项式.此时此时()()(),axyeaQ xQ x 22()()()()axyea Q xaQ xQx 将将,(),()yyy 代入方程代入方程(10.4.14),并消去并消去,axe可得可得因此因此,非齐次方程非齐次方程(10.4.14)的特解可的特解可22()()()()()()mQ xap Q xapaq Q xPx (10.4.20)从式从式(10.4.20)可以看到可以看到,为了得到为了得到()Q x的形式的形式,面三种情形讨论面三种情形讨论.(1)如果如
38、果 a不是特征方程不是特征方程20pq 的根的根,此时必有此时必有20,apaq 由于等式由于等式(10.4.20)右端是一个右端是一个 m 次多项式次多项式,所以方程的左端也必为一个所以方程的左端也必为一个 m 次多项式次多项式,为为 m 次多项式次多项式,即即101100()().()mmmmmQ xQxb xb xbxbb 可分为下可分为下从而从而 Q(x)可设可设机动 目录 上页 下页 返回 结束 将将()axyQ x e 代入方程代入方程(10.4.20),通过比较两端通过比较两端 x 的同的同次幂的系数次幂的系数,立方程组立方程组,从而从而便得到所求的特解便得到所求的特解()axy
39、Q x e 如果如果 a 是特征方程是特征方程20pq 的单根的单根,那么那么20 20,apaqap 此时方程此时方程(10.4.20)的左端只出现的左端只出现(),(),Qx Q x 要使方程要使方程01,.,mb bb的的 m+1个方程的联个方程的联便可以得到关于便可以得到关于(),mQx求出这个方程组的解求出这个方程组的解,就可以确定就可以确定(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束(10.4.20)成立成立,()Q x 必为必为 m 次多项式次多项式,从而从而()Q x应为应为m+1次多项式次多项式,此时此时()Q x可设为可设为101100()()(.)()mmmmmQ xxQxx
40、 b xb xbxbb 与与(1)的讨论类似的讨论类似,可得到所求的特解为可得到所求的特解为()axyxQ x e 如果如果 a 是特征方程是特征方程20pq 的二重根的二重根,那么那么20 20,apaqap 此时方程此时方程(10.4.20)的左端只出现的左端只出现(),Qx 要使方程要使方程(10.4.20)(3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 成立成立,()Qx 必为必为 m 次多项式次多项式,从而从而()Q x应为应为m+2次多次多项式项式,此时可设为此时可设为2101100()()(.)()mmmmmQ xx Qxx b xb xbxbb 与与(1)的讨论类似的讨论类似,可得到
41、所求的特解为可得到所求的特解为2()axmyx Qx e 如果如果 a=0,则方程则方程(10.4.14)的右端的右端()()mf xPx 仅是仅是 x 的多的多项式项式,归纳上述讨论归纳上述讨论,我们有如下结论我们有如下结论上述结论仍然成立上述结论仍然成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果非齐次线性方程如果非齐次线性方程(10.4.14)右端右端()(),axmf xPx e 则可则可设其特解设其特解()kaxmyx Qx e (10.4.21)其中其中()mQx与与()mPx同为同为 m 次多项式次多项式,且且012k 当当 不是特征根时不是特征根时,当当 是一重特征根时是一重特征
42、根时,当当 是二重特征根时是二重特征根时,上述结论可推广到上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程,但但要注意到式要注意到式(10.4.21)中的中的 k 是特征方程含根是特征方程含根a 的重复次数的重复次数若若 a不是特征方程的根不是特征方程的根,则则 k=0;若若 a 是特征方程的是特征方程的s重根重根,则则 k=s.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 求微分方程求微分方程 的的 一个特解一个特解.2321yyyx 2230 特征根为特征根为123,1 01*yb xb 代入原方程代入原方程,得得00132321()b xbbx 由于由于 为为 型
43、型,且且 不是特征方程的根不是特征方程的根,()21f xx ()xmPx e 0 解解 所给方程对应的齐次方程的特征方程为所给方程对应的齐次方程的特征方程为设原方程的一个特解为设原方程的一个特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 比较上式两端比较上式两端 x同次幂的系数，得同次幂的系数，得00132231bbb 解得解得0121,39bb 故原方程的一个特解为故原方程的一个特解为*2139yx 故原方程的通解为故原方程的通解为3122139xxyC eC ex 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2560 2312xxYC eC e 201*()xyx b xb e 由于由于 为为 型型,
44、且且 特征方程的单根特征方程的单根2()xf xxe()xmPx e 2 122,3 特征根为特征根为 则所求方程的对应齐次方程的通解为则所求方程的对应齐次方程的通解为设原方程的一个特解为设原方程的一个特解为 解解 所给方程对应的齐次方程的特征方程为所给方程对应的齐次方程的特征方程为例例9 求微分方程求微分方程256xyyyxe 一个特解一个特解.代入原方程得代入原方程得机动 目录 上页 下页 返回 结束 00122b xbbx 比较上式两端比较上式两端 同次幂的系数同次幂的系数,于是得于是得0012120bbb 解得解得 01112bb ，2212*xyxx e 故原方程的一个特解为故原方程
45、的一个特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2210 12()xYCC x e 2*xybx e 由于由于 为为 型型,且且 特征方程的二重根特征方程的二重根()xf xe()xmPx e 1 121 特征根为特征根为 则所求方程的对应齐次方程的通解为则所求方程的对应齐次方程的通解为设原方程的一个特解为设原方程的一个特解为所给方程对应的齐次方程的特征方程为所给方程对应的齐次方程的特征方程为例例10 求微分方程求微分方程2xyyye 满足初始条件满足初始条件1000yyxx，的特解的特解.解解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求原方程的通解为故所求原方程的通解为代入原方程代入原方程,
46、整理得整理得2,xxbee 21212*()xxyYyCC x exe 将初始条件将初始条件 代入通解及它的导数代入通解及它的导数1000yyxx，212212xxyCC xxeCx e 2*112xyxxe 即可求得即可求得 1211.CC ，故所求方程满足初始条件的特解为故所求方程满足初始条件的特解为*212xyx e 则原方程的一个特解为则原方程的一个特解为 12b 即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 且且与第一类性的讨论类似与第一类性的讨论类似,微分方程微分方程(10.4.14)的特解可设为的特解可设为*12()cos()sinkxyx eQ xxQxx(10.4.22)(2)()
47、()cos()sinxlnf xeP xxP xx 型型m=max l,n 其中其中12(),()Q xQx均为均为m次多项式次多项式,0,1,k 当当i 不是特征根时不是特征根时当当i 是特征根时是特征根时上述结论可推广到上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性方程阶常系数非齐次线性方程,式式(10.4.22)中的中的 k 是特征方程含根是特征方程含根i 的重复次数的重复次数.但要注意但要注意机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11 设微分方程设微分方程 中中 f(x)具有以下三具有以下三23()yyyf x ()cos;fxx(1)()cos 2;xf xex (2)2()sin2xf
48、 xx ex(3)2230 其特征根其特征根 为一对共轭复根为一对共轭复根.121212ii ，(1)因因0()cos=(cos0 sin),xf xx exx ii 不是特不是特而而解解*y种形式种形式,试写出该方程相应的特试写出该方程相应的特解解 的形式的形式.所给方程对应的齐次方程的特征方程为所给方程对应的齐次方程的特征方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 征方程的根征方程的根,*cossinyaxbx (a,b为待定常数为待定常数)因因()cos 2(cos 20sin 2),xxf xex exx *cos2sin2xyxeax bx (a,b为待定常数为待定常数)形式为形式为是
49、特征方程的根是特征方程的根,形式为形式为由由(10.4.18)式知式知,取取 k=0,所以原方程的特解所以原方程的特解12ii 而而(2)由由(10.4.18)式知式知,取取 k=1,所以原方程的特解所以原方程的特解机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)222022()sin(cossin)xxfxx exexxx 2201201222*cossinxyea xa x axb xbx bx 求微分方程求微分方程2cosxyy ex 的通解的通解.210 k=0,12ii 因为因为不是特征方程的根不是特征方程的根,所以原方程的特解形式为所以原方程的特解形式为例例12 解解 所给方程对应的齐次方
50、程的特征方程为所给方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为特征根为1211 ，12xxYC eC e 所求方程的对应齐次方程的通解为所求方程的对应齐次方程的通解为由由(10.4.18)知知,取取机动 目录 上页 下页 返回 结束 因因()cos2(cos20sin2),xxf xex exx *(cos2sin2)xyeaxbx 代入原方程代入原方程,整理得整理得比较上式两端同类项的系数比较上式两端同类项的系数,得得 4()cos24()sin2cos2abxabxx 140abab 由由(10.4.22)式知式知,()0,0.nP xm 12()1lP x ，则则12ii 由于由于不是特征方程
