1、5.2 一阶微分方程（80）35.2.1 5.2.1 变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程()d()dg yyf xx 形如形如 的微分方程成为的微分方程成为变量变量可可分离分离的微分方程的微分方程.425d2dyx yx 例例如如425d2d,yyxx 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的,()d()dg yyf xx 分离变量法分离变量法5.2 一阶微分方程（80）4例例1 1 求解微分方程求解微分方程d2.dyxyx 的的通通解解解解分离变量分离变量d2 d,yx xy 两端积分两端积分d2 d,yx xy 12lnCxy 2exyC5.2 一阶微分方程（80）5
2、2()d()d0.f xy y xg xy x y例例求求方方程程的的通通解解,xyu 令令ddd,ux yy xdd()d()0,uy xf u y xg u xx ()()d()d0,uf ug uxg uuxd()d0,()()xg uuxu f ug u ()ln|d.()()g uxuCu f ug u 通解为通解为解解ddd=,uy xyx 5.2 一阶微分方程（80）6例例 3求解微分方程：求解微分方程：解解0|100.th 3d(200)d,0.62 2thhhg ,)523400(262.053Chhgt 两端作不定积分，得两端作不定积分，得,100|0 th,1015142
3、62.05 gC).310107(265.45335hhgt 所求解为：所求解为：5.2 一阶微分方程（80）7解解d,dMt由题设条件由题设条件d,(0)dMMt ddMtM d()d,MtM 00MMt 代代入入,lnlnCtM e,tMC 即即00CeM 得得,C 0etMM 衰变规律衰变规律衰变速度衰变速度（衰变系数）（衰变系数）5.2 一阶微分方程（80）8解解例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米,开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量,用一台风量为每分用一台风量为每分2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机
4、通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气,同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后,车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1.02CO2CO2CO%03.0设鼓风机开动后设鼓风机开动后 分后分后 的含量为的含量为2CO)%(txt,d t tt 在在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2000 d0.03%,t2000 d()%,t x t 车间内车间内 的改变量为的改变量为2CO12000d%x5.2 一阶微分方程（80）92CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的
5、改变量 12000d%2000 d0.03%xt2000 d()%,t x td1(0.03),d6xxt 160.03e,txC,1.0|0 tx,07.0 C160.030.07e,tx 16|0.030.07e0.056,tx 答：答：6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056.02CO5.2 一阶微分方程（80）10分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.5.2.5 5.2.5 小结与思考题小结与思考题1 15.2 一阶微分方程（80）11思考题思考题求解微分方程求解微分方程dcoscos.d22yxyxyx
6、5.2 一阶微分方程（80）12思考题解答思考题解答dcoscos0,d22yxyxyxd2sinsin0,d22yxyxdsind,22sin2yxxy 2cot2csclnyy,2cos2Cx 为所求解为所求解.5.2 一阶微分方程（80）13课堂练习题课堂练习题5.2 一阶微分方程（80）14课堂练习题答案课堂练习题答案5.2 一阶微分方程（80）155.2.2 5.2.2 齐次微分方程齐次微分方程d()dyyfxx 形如形如 的方程称为的方程称为齐次微分方程齐次微分方程.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式，得代入原式，得dd,ddyuuxxxd(),duuxf
7、 uxd().duf uuxx 即即变量可分离方程变量可分离方程5.2 一阶微分方程（80）16,0)(时时当当 uuf1dln,()uC xf uu 得得()e,uxC 即即 ）（uufduu)()(,代入代入将将xyu ()e,yxxC 得得通通解解,0u 若若,0)(00 uuf使使,0是方程的解是方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解方程方程的奇解的奇解5.2 一阶微分方程（80）17例例 6 6 求解微分方程：求解微分方程：(cos)dcosd0.yyxyxxyxx，令令xyu dddyx uu x，(cos)dcos(dd)0,xuxux
8、xu u xx u dcos d,xu ux ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为微分方程的解为解解5.2 一阶微分方程（80）18222d2dyyxyxxxyy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令ddd,yx uu x,1222uuuuuxu 222dd.2xyxxyyyxy 例例 7 7 求解微分方程求解微分方程解解5.2 一阶微分方程（80）19,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy 11121d()d,2221xuuuuux5.2 一阶微分方程（80）20例例
9、8 8 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例:车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解轴轴设设旋旋转转轴轴为为x(如图如图),0,0(光源在光源在)(:xyyL xyoMTNRL上任一点，上任一点，为为设设LyxM),(,yMT 斜斜率率为为为为切切线线,1,yMN 斜率为斜率为为法线为法线,NMROMN 5.2 一阶微分方程（80）21,xOMxQMOMN 因为因为,tantanNMROMN xyoMTNRLQ所以由夹角正所以由夹角正切公式得：切公式得：5.2 一阶微分方程（80）22.1tan,11tanyNMRyxyxyyOMN ,022 yyxyy从而得微分方程：从而
10、得微分方程：.1)(2 yxyxy即即5.2 一阶微分方程（80）23，令令xyu 2d11,duuuxxu 得得分离变量分离变量22dd,(1)1u uxxuu ，令令221tu dd,(1)t txt tx 积分得积分得,ln1lnxCt ,112 xCu即即5.2 一阶微分方程（80）24平方化简得平方化简得,2222xCxCu 得得代回代回,xyu )2(22CxCy 抛物线抛物线轴轴的的旋旋转转抛抛物物面面方方程程为为所所求求旋旋转转轴轴为为 ox).2(222CxCzy 5.2 一阶微分方程（80）25111d()dyaxbycfxa xb yc 称为称为可化为齐次方程可化为齐次方
11、程的微分方程的微分方程.，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）dd,ddxXyY 11111d()dYaXbYahbkcfXa XbYa hb kc 解法解法1 1、可化为齐次的微分方程、可化为齐次的微分方程形如形如 的微分方程的微分方程5.2 一阶微分方程（80）26 ,0,0111ckbhacbkah,0)1(11 baba有唯一一组解有唯一一组解.11d()dYaXbYfXa XbY 得通解代回得通解代回 ，kyYhxX,0)2(上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba,11baab 即即5.2 一阶
12、微分方程（80）27,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方程可化为方程可化为,byaxz 令令ddddzyabxx，11 d()().dzzcafbxzc ,0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,01 a有有d1 d(),ddyzaxbx 11 d()()dzzcafbxc 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量可分离变量.否则否则5.2 一阶微分方程（80）28d19.d3yxyxxy 例例求求的的通通解解解解,021111 ,0301khkh方程组方程组,2,1 kh.2,1 YyXx令令d,dYX
13、YXXY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu 5.2 一阶微分方程（80）29d1,d1uuuXXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22CuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2,1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程变为方程变为5.2 一阶微分方程（80）302、利用变量代换求、利用变量代换求解解微分方程微分方程2d10().dyxyx例例求求的的通通解解解解,uyx 令令dd1ddyuxx代入原方程代入原方程2d1duux,arctanCxu 解得解得得得代回代回,yxu ,)arctan(
14、Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 5.2 一阶微分方程（80）315.2.5 小结与思考题小结与思考题2齐次方程齐次方程d().dyyfxx 齐次方程的解法齐次方程的解法.xyu 令令可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程.,kYyhXx 令令5.2 一阶微分方程（80）32思考题思考题方程方程 2202()()d()xy ttyttxy x 是否为齐次方程是否为齐次方程?5.2 一阶微分方程（80）33思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.5.2 一
15、阶微分方程（80）34课堂练习题课堂练习题5.2 一阶微分方程（80）35课堂练习题答案课堂练习题答案5.2 一阶微分方程（80）36d()()dyP x yQ xx一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的，上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程例如例如2d,dyyxx2dsin,dxxttt,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.5.2 一阶微分方程（80）37d()0.dyP x yxd()d,yP xxy d()d,yP xxy ln|()dl
16、n|,yP xxC 齐次方程的通解为齐次方程的通解为()de.P xxyC 1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法:分离变量并积分：分离变量并积分：5.2 一阶微分方程（80）382.线性非齐次方程线性非齐次方程d()().dyP x yQ xx讨论：讨论：d()()d,yQ xP xxyy两边积分两边积分()lnd()d,Q xyxP xxylnln|()|()d,yu xP xx()d()e.P xxyu x 即即()dln|()|,Q xxu xy 令令 5.2 一阶微分方程（80）39即，即，常数变易法：常数变易法：把齐次方程通解中的常数易为函数的方法
17、把齐次方程通解中的常数易为函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换()d()eP xxyu x ()d()d()e()()e,P xxP xxyu xu xP x 非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:(),Cu x5.2 一阶微分方程（80）40代代入入原原方方程程得得和和将将yy()d()()ed,P xxu xQ xxC ()d()e(),P xxu xQ x 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:()d()d()edeP xx
18、P xxyQ xxC ()d()d()dee()edP xxP xxP xxCQ xx 对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解5.2 一阶微分方程（80）41.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ 11ddsineedxxxxxyxCx lnlnsineedxxxxCx 1sin dx xCx .cos1Cxx 解解例例11115.2 一阶微分方程（80）42例例1212 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求
19、曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf320()d(),xf xxxy 30d,xy xxy 两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 5.2 一阶微分方程（80）43dd2e3edxxyCxx 2e366,xCxx ,0|0 xy由由,6 C得得所求曲线为所求曲线为23(2e22).xyxx 23xyy 5.2 一阶微分方程（80）44伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式d()()dnyP x yQ x yx)R,1,0(nn方程为方程为线性微分方程线性微分方程,方程为方程为非线性微分方程非线性微分方
20、程.时时，当当1,0 n时时，当当1,0 n解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.1 1、可化为一阶线性的微分方程：、可化为一阶线性的微分方程：伯努利方程伯努利方程5.2 一阶微分方程（80）45dd(1)ddnzyn yxx，1d()(),dnnyyP x yQ xxd(1)()(1)(),dzn P x zn Q xx求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式(1)()d(1)()d1e()(1)ed.n P x xn P x xnyQ xnx C 1,nzy 令令5.2 一阶微分方程（80）462
21、d4.dyyxyxx求求方方程程的的通通解解21 d4,dyyxxxy,yz 令令2d42,dzzxxx,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以ny例例 135.2 一阶微分方程（80）472 2、用适当的变量代换求解微分方程用适当的变量代换求解微分方程221422e.xyyxyx 例例求求解解微微分分方方程程解解1211e,2xyxyxy,2)1(1yyz 令令dd2,ddzyyxx 2d2e,dxzxzxx 22 d2 deeedx xx xxzxxC 所求通解为所求通解为222e().2xxyC 5.2 一阶微分方程（80）4822(22e)xyyxyx
22、 原原方方程程：解解222 d2 d2eeedx xx xxyxxC 所求通解为所求通解为222e().2xxyC 222d()2()e,dxyx yxx 5.2 一阶微分方程（80）49d115.dyxxy 例例求求解解微微分分方方程程解解1,uyx 令令dd1,ddyuxx代入原式代入原式d11,duxu分离变量法求解得分离变量法求解得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 1e1.yxCy 或或解解2d.dxxyy原原方方程程:5.2 一阶微分方程（80）502d116.dsin()yyxxxyx例例求求解解微微分分方方程程解解,xyz 令令
23、dd,ddzyyxxx22d11(),dsin()sinzyyxxxxyxz,42sin2Cxzz 分离变量法求解得：分离变量法求解得：回代回代将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 5.2 一阶微分方程（80）515.2.5 小结与思考题小结与思考题31.一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程2.伯努利方程伯努利方程()d()e;P xxyu x 令令.1zyn 令令5.2 一阶微分方程（80）52思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 5.2 一阶微分方程（80）53思考题解答思考题解答dcossin2sindcosxy
24、yxyyy ,tan2sinyxy dtansin2,dxyxyylncoslncosesin2edyyxyy C 2sincoscosdcosyyyyCy .cos2cosyCy 5.2 一阶微分方程（80）54课堂练习题课堂练习题5.2 一阶微分方程（80）555.2 一阶微分方程（80）56课堂练习题答案课堂练习题答案5.2 一阶微分方程（80）575.2.4 一阶微分方程一阶微分方程(,)0.F x y y 前面主要讨论了显式形式前面主要讨论了显式形式一阶微分方程的一般形式一阶微分方程的一般形式的求解问题，这里介绍两类特殊情形的求解问题，这里介绍两类特殊情形：(,)yf x y (,)
25、(,).yf x yxf y y；5.2 一阶微分方程（80）58,yp 引入参量引入参量 p,即令即令1、情形：、情形：方程化为方程化为(,).yf x p(,).yf x y 两边对两边对 x 求导，得求导，得(,)(,),xppfx pfx p p对此方程求解即可对此方程求解即可.5.2 一阶微分方程（80）59333(2).yyyx求求微微分分方方程程的的通通解解解解312.3yyxy从微分方程中解出从微分方程中解出 y,得得22.ppp p令令 ，则，则yp 例例1717312.3ypxp两边对两边对 x 求导求导,得变量可分离方程得变量可分离方程5.2 一阶微分方程（80）6021
26、23ln|2|.2xpppC 分离变量并积分分离变量并积分,得得于是于是,原方程的通解可由下面参数方程表示：原方程的通解可由下面参数方程表示：23123ln|2|,212.3xpppCyxpp 5.2 一阶微分方程（80）6120.yyy求求微微分分方方程程的的通通解解解解2.yyy从微分方程中解出从微分方程中解出 y,得得212.ppppp p（）令令 ，则，则yp 例例18182.ypp两边对两边对 x 求导求导,得变量可分离方程得变量可分离方程5.2 一阶微分方程（80）622ln|.xppC分离变量并积分分离变量并积分,得得于是于是,原方程的通解可由下面参数方程表示：原方程的通解可由下
27、面参数方程表示：22ln|,.xppCypp 5.2 一阶微分方程（80）63,yp 引入参量引入参量 p,即令即令2、情形：、情形：方程化为方程化为(,).xf y p(,)xf y y 两边对两边对 y 求导，得求导，得1d(,)(,),dypppfy pfy py 对此方程求解即可对此方程求解即可.5.2 一阶微分方程（80）64222333.yxa 求求微微分分方方程程的的通通解解解解33cos,dsin.dxatyatx 微分方程的参数表达形式为微分方程的参数表达形式为2d3 cossin d,xatt t 例例1919微分上式第一函数微分上式第一函数,得得将此结果代入第二个函数将此
28、结果代入第二个函数,得得5.2 一阶微分方程（80）653242dsind3sincosd.yat xatt t 于是于是,上式两边积分，得上式两边积分，得2423sincos dyatt 23(123sin44sin 2)64atttC 因此因此,方程的通解可表为：方程的通解可表为：323cos,(123sin44sin 2).64xataytttC 5.2 一阶微分方程（80）66e.yyx 求求微微分分方方程程的的通通解解解解1d(1e).dpppy令令 ，则，则yp 例例2020e.pxp两边对两边对 y 求导求导,得得21(1e)de-e.2pppyp pppC 积分得积分得2e,1
29、e-e.2pppxpyppC 通解为：通解为：5.2 一阶微分方程（80）673、全微分方程或恰当方程、全微分方程或恰当方程(,)d(,)d0P x yxQ x yy则微分方程则微分方程d(,)(,)d(,)du x yP x y x Q x y y 若有全微分形式若有全微分形式称为称为全微分方程或恰当方程全微分方程或恰当方程.其其通解通解为为全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程.),(Cyxu 5.2 一阶微分方程（80）68(,)d(,)d0P x yxQ x yy是是全全微微分分方方程程例如例如dd0,x xy y),(21),(22yxyxu d(,)dd,u x yx xy y所
30、以，此方程是全微分方程所以，此方程是全微分方程.PQyx5.2 一阶微分方程（80）69解法解法:0),(),(dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关：应用曲线积分与路径无关：.xQyP 通解：通解：,),(),(),(000CdyyxQxdyxPyxuyyxx .),(Cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程.),(),(),(000CdyyxQxdyxPyxuyyxx 5.2 一阶微分方程（80）703232(3)d(3)d0.xxyxyx yy求求方方程程的的通通解解解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程,32300(,)(3)ddxyu x
31、yxxyxyy.64224Cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为,42344224yyxx 例例21215.2 一阶微分方程（80）71223423dd0.xyxxyyy 求求方方程程的的通通解解解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合2234123d(dd)xxyxyyyy231d()d()xyy).0(,322 yCyyx原方程的通解为原方程的通解为231d(),xyy例例225.2 一阶微分方程（80）72222(1)dd0.xxyxxy y 的的通通解解解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有例例23 求微分方程求微分方程222 d2dd0
32、,x xxxy xxy y2222d()d()d0,xxyxxy y222d()d()0,xxyxy原方程的通解为原方程的通解为.)(232322Cyxx 5.2 一阶微分方程（80）7323d.d1yxxyxx 求求微微分分方方程程的的通通解解解解1整理得整理得2d1,d1yyxxx A A 常数变易法常数变易法:B B 公式法公式法:3411.34yxyxxC通通解解.1xCy 对应齐方通解对应齐方通解,1)(xxCy 设设.43)(43CxxxC 则则dd211eed,xxxxyCxx 例例245.2 一阶微分方程（80）74解解2 2整理得整理得23()d(1)d0,xxyxxy,1x
33、QyP .是全微分方程是全微分方程A A 曲线积分曲线积分法法:2300(,)()d(1)d,xyu x yxxxxyCB B 凑微分法凑微分法:23d(dd)dd0,yx yy xxxxx34dd()d()d()034xxyxy，34d()0.34xxyxy5.2 一阶微分方程（80）75C C 不定积分不定积分法法:,32yxxxu 23(,)()du x yxxyx ),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx ,1)(yC,)(yyC 原方程的通解为原方程的通解为.4343Cxxxyy 5.2 一阶微分方程（80）765.2.5 小结与思考题小结与思考题4分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程5.2 一阶微分方程（80）77思考题思考题223423dd0 xyxxyyy.利用曲线积分法求解全微分方程利用曲线积分法求解全微分方程5.2 一阶微分方程（80）7822(,)34(0,1)23dd,x yxyxxyCyy 22340123dd,1xyxyxxyCy 即即.113212Cyxyxyy 故方程的通解为故方程的通解为思考题解答思考题解答).0(,322 yCyyx5.2 一阶微分方程（80）79课堂练习题课堂练习题5.2 一阶微分方程（80）80课堂练习题答案课堂练习题答案
