1、第2章 逻辑代数基础 第第2章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 2.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 2.2 逻辑代数的基本定律和逻辑代数的基本定律和运算运算规则规则 2.3 复合逻辑和常用逻辑门复合逻辑和常用逻辑门 2.4 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 2.5 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法第2章 逻辑代数基础 2.1.1逻辑函数的基本概念逻辑函数的基本概念逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数将事物发生的原因（条件）和结果分别用逻辑变量和逻辑函数来描述。2.1逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 第2章 逻辑代数基础 逻辑变
2、量与普通代数的变量相似，可以用A、B、C和x、y、z等字母来表示。所不同的是，普通代数中变量的取值可以是任意的，而逻辑代数的变量和常量取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，因而称为二值逻辑。必须指出，这里的逻辑0和逻辑1并不表示数量的大小，而是代表事物矛盾双方的两种状态，即两种对立的逻辑状态。例如，它们可以代表事件的真、伪，对、错，型号的有、无，开关的通、断，电平的高、低等。第2章 逻辑代数基础 逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随着自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述。数字电路响应输入的方式称为电路的逻
3、辑，任何一个数字电路的输出与输入变量之间都存在一定的逻辑关系，并可以用逻辑函数来描述。例如，对于某电路，若输入逻辑变量A、B、C、的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也被唯一确定了，则可以称F是A、B、C、的逻辑函数，并记为F=f（A,B,C,）。第2章 逻辑代数基础 2.1.2三种基本逻辑运算三种基本逻辑运算逻辑代数的基本运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种，它们可以由相应的逻辑门来实现。1.与运算（逻辑乘）与运算（逻辑乘）与运算（逻辑乘）表示这样一种逻辑关系：只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才发生。例如在图2.1.1所示的串联开关电路中，只有在开关A和B都闭合的条件
4、下，灯F才亮，这种灯亮与开关闭合的关系就称为与逻辑。如果设开关A、B闭合为1，断开为0，设灯F亮为1，灭为0，则F与A、B的与逻辑关系可以用表2.1.1所示的真值表来描述。所谓真值表,就是将输入逻辑变量的所有取值组合与其对应的输出函数值列成表格的表示形式。第2章 逻辑代数基础 图 2-1 与逻辑实例 第2章 逻辑代数基础 表2.1.1与逻辑真值表 A BF0 00 11 01 10001与逻辑可以用逻辑表达式表示为F=AB 第2章 逻辑代数基础 在逻辑代数中，将与逻辑称为与运算或逻辑乘。符号“”表示逻辑乘，在不致混淆的情况下，常省去符号“”。在有些文献中，也采用、及&等符号来表示逻辑乘。实现与
5、逻辑的单元电路称为与门，其逻辑符号如图2.1.2所示。其中,图（a）为特定外形符号，图（b）为矩形轮廓符号。这两种符号都是IEEE/ANSI（电气与电子工程师协会/美国国家标准协会）认定的图形符号，且与IEC（国际电工协会）标准相兼容。其中,图（a）表示的特定外形符号目前在国外教材和EDA软件中已被普遍使用，因此本书均采用这种特定外形符号。第2章 逻辑代数基础 图2.1.2与门的逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 2.或运算（逻辑加）或运算（逻辑加）或运算（逻辑加）表示的逻辑关系是：决定事件结果的所有条件中，只要有一个满足，结果就会发生。例如，图2.1.3所示的并联开关电路中，只要开关A、B中有一
6、个闭合，灯F就亮，这种灯亮与开关闭合的关系称为或逻辑。F与A、B的或逻辑关系可以用表2.1.2所示的真值表来描述。第2章 逻辑代数基础 图2.1.3或逻辑实例 第2章 逻辑代数基础 表表2.1.2或逻辑真值表或逻辑真值表 A BF0 00 11 01 1011或逻辑可以用逻辑表达式表示为F=A+B 或逻辑也称为或运算或逻辑加。符号“+”表示逻辑加。有些文献中也采用、等符号来表示逻辑加。第2章 逻辑代数基础 实现或逻辑的单元电路称为或门，其逻辑符号如图2-5所示，其中图(a)为我国常用的传统符号，图(b)为国外流行的符号，图(c)为国标符号(见附录一)。图2-6是一个 2 输入的二极管或门电路。
7、图中输入端A、B的电位可以取两种值：高电位+3V或低电位0 V。设二极管为理想开关，并规定高电位为逻辑1，低电位为逻辑0，则F与A、B之间逻辑关系的真值表与表2-2相同，因此实现了F=A+B的功能。第2章 逻辑代数基础 图2.1.4或门的逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 3.非运算非运算(逻辑反逻辑反)非运算(逻辑反)是逻辑的否定：当条件具备时，结果不会发生；而条件不具备时，结果一定会发生。例如，在图2-7所示的开关电路中，只有当开关A断开时，灯F才亮，当开关A闭合时，灯F反而熄灭。灯F的状态总是与开关A的状态相反。这种结果总是同条件相反的逻辑关系称为非逻辑。非逻辑的真值表如表2-3所示，其逻辑
8、表达式为 AF 通常称A为原变量，A为反变量。第2章 逻辑代数基础 图2.1.5 非逻辑实例 AF0110表 2.1.3 非逻辑运算真值表 第2章 逻辑代数基础 图2.1.6 非门逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 2.2逻辑代数的基本定律和运算规则逻辑代数的基本定律和运算规则2.2.1基本定律基本定律逻辑代数的基本定律如表2.2.1所示。第2章 逻辑代数基础 表 2.2.1 逻辑代数的基本定律 名称 公式 1 公式 2 0-1 A+1=1 A0=0 自等律 A+0=A A1=A 重叠律 A+A=A AA=A 互补律 A+A=1 A A=0 交换律 A+B=B+A AB=BA 结合律(A+B)+C
9、=A+(B+C)(AB)C=A(BC)分配律 A+BC=(A+B)(B+C)A(B+C)=AB+AC 反演律（摩根定理）BA=BA BA=BA 还原律 A=A 第2章 逻辑代数基础 1.变量和常量的关系变量和常量的关系0-1律、自等律、重叠律和互补律都是属于变量和常量的关系式。由于逻辑常量只有0、1两种取值，因此逻辑变量与常量的运算结果可直接根据三种基本逻辑运算的定义推出。这些定律也称为公理，可以用来证明其他公式。第2章 逻辑代数基础 2.与普通代数相似的定律与普通代数相似的定律交换律、结合律、分配律的运算法则与普通代数相似，但是分配律中A+BC=(A+B)(A+C)在普通代数中是不成立的。该
10、定律称为加对乘的分配律，可以采用公式法证明。证：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC =A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC=A+BC因此有 A+BC=(A+B)(A+C)第2章 逻辑代数基础 表2.2.2反演律证明 AB0 00 11 01 11110111010001000ABBABABA3.逻辑代数中的特殊定律逻辑代数中的特殊定律反演律和还原律是逻辑代数中的特殊定律。反演律又称为德摩根（DeMorgan）定理，在逻辑代数中具有特殊重要的作用,它提供了一种变换逻辑表达式的方法，即可以将与运算之非变成或运算，将或运算之非变成与运算。反演律的正确性可以通过表2.2.2所示的真
11、值表证明。第2章 逻辑代数基础 2.2.2 三个重要规则三个重要规则 1.代入规则代入规则 任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。由于逻辑函数与逻辑变量一样，只有0、1两种取值，所以代入规则的正确性不难理解。运用代入规则可以扩大基本定律的运用范围。例如，已知A+B=AB(反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律，即 CBA=FAFACBA=CBA 第2章 逻辑代数基础 2.反演规则反演规则 对于任意一个逻辑函数式F，如果将其表达式中所有的算符“”换成“+”，“+”换成“”，常量“0”换成“1”，
12、“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则所得到的结果就是 。称为原函数F的反函数，或称为补函数。反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。例如：FF,ACDCABF);()(CADCBAF若 则,EDCBAF。EDCBAF若 则 运用反演规则时应注意两点：不能破坏原式的运算顺序先算括号里的，然后按“先与后或”的原则运算。不属于单变量上的非号应保留不变。第2章 逻辑代数基础 3.对偶规则对偶规则 对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式F中所有的算符“”换成“+”,“+”换成“”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是F的对
13、偶式，记为F(或F*)。例如：AFAFCBAFCBAFCABAFCABAF,;,);1()(),0(则若则若则若以上各例中F是F的对偶式。不难证明F也是F对偶式。即F与F互为对偶式。第2章 逻辑代数基础 任何逻辑函数式都存在着对偶式。若原等式成立，则对偶式也一定成立。即，如果F=G,则F=G。这种逻辑推理叫做对偶原理，或对偶规则。必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能改变，且式中的非号也保持不变。观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都是成对出现的，而且都是互为对偶的对偶式。例如，已知乘对加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC，根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C)，
14、即加对乘的分配律也成立。第2章 逻辑代数基础 2.2.3 若干常用公式若干常用公式 1.合并律合并律 ABAAB 在逻辑代数中，如果两个乘积项分别包含了互补的两个因子(如B和B)，而其它因子都相同，那么这两个乘积项称为相邻项。合并律说明，两个相邻项可以合并为一项，消去互补量。证证：第2章 逻辑代数基础 表 2.2.3 若干常用公式 名称 公式 1 公式 2 合并律 AB+AB=A(A+B)(A+B)=A 吸收律 1 A+AB=A A(A+B)=A 吸收律 2 BABAA A(A+B)=AB 吸收律 3 AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)第2章 逻辑
15、代数基础 2.吸收律吸收律 A+AB=A 证：A+AB=A(1+B)=A1=A 吸收律说明，两个乘积项相加时，如果一个乘积项的部分因子（如AB项中的A）恰好等于另一乘积项（如A）的全部，则该乘积项（AB）是多余的，可以消去。BABABAAABAABABAA)(1)(证：第2章 逻辑代数基础 该公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项(如A)取反后是另一个乘积项(如 的因子，则此因子 是多余的。BAACAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAABCAABBCCAAB)(证：推论：CAABBCDCAAB 该公式及推论说明，在一个与或表达式中，如果两个乘积项中的部分因子互补(如AB项和
16、AC项中的A和A)，而这两个乘积项中的其余因子(如B和C)都是第三个乘积项中的因子，则这个第三项是多余的。第2章 逻辑代数基础 2.3复合逻辑和常用逻辑门复合逻辑和常用逻辑门 2.3.1 复合逻辑运算和复合门复合逻辑运算和复合门 1.与非、与非、或非、或非、与或非逻辑运算与或非逻辑运算与非逻辑运算是与运算和非运算的组合，即 BAF或非逻辑运算是或运算和非运算的组合，即 BAF 与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即 CDABF第2章 逻辑代数基础 图图2.3.1与非门、或非门和与或非门的逻辑符号与非门、或非门和与或非门的逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 BABABAFA BF0 00 11
17、 01 10110表表2.3.1异或逻辑真值表异或逻辑真值表 2.异或和同或逻辑运算异或和同或逻辑运算 异或逻辑的含义是：当两个输入变量相异时，输出为1；相同时输出为0。是异或运算的符号。异或运算也称模2加运算。异或逻辑的真值表如表2-5所示，其逻辑表达式为 第2章 逻辑代数基础 表表2.3.2 同或逻辑真值表同或逻辑真值表 A B F 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 第2章 逻辑代数基础 实现异或逻辑的单元电路称为异或门，其逻辑符号如图2.3.2（a）所示。实现同或逻辑的单元电路称为同或门，其逻辑符号如图2.3.2（b）所示。图中第一行均为特定外形符号，第二行均为矩形轮廓符号
18、。第2章 逻辑代数基础 图2.3.2异或门和同或门的逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 ABBABAFA BF0 00 11 01 11001表2.3.3异或、同或运算的常用公式 由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即 第2章 逻辑代数基础 由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即 BABABABA,不仅如此，它们还互为对偶式。如果 ，G=A B，不难证明F=G,G=F。因此可以将“”作为“”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出，两变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊函数。BAF第2章 逻辑代数基础 3异或、同或运算的常用公式异或、同或运算的常用公式异或
19、和同或运算的常用公式如表2.3.3所示。表中的公式可以利用真值表或前面的公式证明。第2章 逻辑代数基础 表2.3.3异或、同或运算的常用公式 名称 异或公式 同或公式 变量与 常量的 关系 A0=A A1=A AA=1 A1=A A0=A AA=0 交换律 AB=BA AB=BA 结合律 ABC=A(BC)A(BC)=(AB)C 分配律 A(BC)=ABAC A+(BC)=(A+B)(A+C)反演律 BA=AB BABA 调换律 AB=AB=BA AB=AB=BA 奇偶律 AA=0，AAA=A AA=1，AAA=A 第2章 逻辑代数基础 异或门和同或门在实际应用中十分有用，例如，可以将异或门用
20、作可控反相器，其电路如图 2.3.3 所示。图中当 x=0 时，F=Ax=A0=A；当 x=1 时，F=Ax=A1=A，即利用一个输入端的信号去控制另一端输入的信号同相或反相输出。又如，利用异或运算的奇偶律就可以判断输入信息中“1”的个数是奇数还是偶数，所以常用若干个异或门实现奇偶校验电路。此外，再进行逻辑函数表达式化简时，当提取公因子后，可能会遇到异或运算或同或运算，这时采用异或门或着同或门实现电路也比较方便。第2章 逻辑代数基础 图2.3.3用异或门控制同相、反相输出 第2章 逻辑代数基础 2.3.2常用逻辑门及逻辑函数表达式的常用形式常用逻辑门及逻辑函数表达式的常用形式1逻辑运算符的完备
21、性逻辑运算符的完备性在逻辑代数中，与、或、非是三种最基本的逻辑运算，用与、或、非三种运算符和逻辑变量可以构成任何逻辑函数，因此称与、或、非逻辑运算符是一组完备集。但是与、或、非三种运算符并不是最好的完备集，因为用它实现一个函数要使用三种不同规格的逻辑门。实际上由德摩根定理可见，有了“与”和“非”便可得到“或”，有了“或”和“非”便可得到“与”，因此用“与非”、“或非”、“与或非”运算中的任何一种都能单独实现“与、或、非”运算，这三种复合运算每种都是完备集，而且实现函数只需一种规格的逻辑门，这就给设计带来了许多方便。第2章 逻辑代数基础 2逻辑函数表达式的常用形式逻辑函数表达式的常用形式几种常用
22、逻辑门的实际器件及引脚图如图2.3.4所示。从图中可以看出，每个集成芯片都包含了若干个相同的逻辑门，如7400为四2输入与非门，7402为四2输入或非门，7404为6反相器等。当用逻辑门实现某一逻辑函数时，如果选择实际器件的功能、型号不同，则逻辑函数表达式的形式也不相同，因此必须将逻辑函数式变换成相应的形式。第2章 逻辑代数基础 图2.3.4几种常用逻辑门的实际器件及引脚图 第2章 逻辑代数基础 任何一个逻辑函数可以有多种逻辑函数表达式，最常用的形式有五种：与或式、或与式、与非-与非式、或非-或非式、与或非式。与或式和或与式是函数表达式的两种基本形式。单个逻辑变量（或反变量）进行与运算构成的项
23、称为“与项”或“乘积项”，由“与项”相“或”构成的表达式称为“与或”表达式或“积之和”表达式。单个逻辑变量（或反变量）进行或运算构成的项称为“或项”或“和项”，由“或项”相“与”构成的表达式称为“或与”表达式或“和之积”表达式。第2章 逻辑代数基础 与或式和或与式的互换可以通过两次求反或两次求对偶得到。将与或式两次求反，借助反演律可得到与非-与非式；将或与式两次求反，借助反演律可得到或非-或非式，并进一步转换为与或非式。例如，某逻辑函数通过上述变换可得到以下五种形式：第2章 逻辑代数基础 CABACABACAABCABACAABF)()()(与或式 或与式 与非与非式 或非或非式 与或非式 第
24、2章 逻辑代数基础 以上逻辑函数表达式可用图2.3.5所示的五种逻辑电路实现，其中图(c)全部用与非门实现,只需用一片7400就够了;图(d)全部用或非门实现,只需用一片7402就够了;图(e)只需用一片7451中的一个与或非门实现。显然，采用复合门实现电路更加经济。第2章 逻辑代数基础 图2.3.5逻辑函数的五种电路形式 第2章 逻辑代数基础 2.3.3常用逻辑门的等效符号及有效电平常用逻辑门的等效符号及有效电平1德德摩根（摩根（DeMorgan）定理与逻辑门的等效符号）定理与逻辑门的等效符号德摩根定理提供了一种变换逻辑运算符号的方法，利用该定理可以将任何与(AND)形式的逻辑门和或（OR）
25、形式的逻辑门互换。例如一个2输入与非门的逻辑符号如图2.3.6（a）所示，根据德摩根定理 可画出图（b）所示的等效电路，它意味着每个输入端接有反相器的或门等效于一个与非门。将图（b）中的非门用小圆圈表示，则可画出与非门的等效符号，如图(c)所示，其输入端的小圆圈表示非运算。BABAF第2章 逻辑代数基础 图2.3.6与非门及其等效符号 第2章 逻辑代数基础 同理，在其他逻辑门标准符号的基础上，只要利用德摩根定理改变其运算符号（或变与，与变或，反相器除外），并用小圆圈表示非运算，就可得到相应的等效符号。图2.3.7列出了各种逻辑门的标准符号和等效符号。逻辑门的等效符号可以用来对逻辑电路进行变换或
26、化简。必须指出，上述逻辑门的标准符号和等效符号都是在正逻辑体制下，用不同的符号形式描述同一逻辑功能的函数。这里的等效符号并不是负逻辑表示方法。第2章 逻辑代数基础 图2.3.7各种逻辑门的标准符号和等效符号第2章 逻辑代数基础 对于正逻辑体制，高电平用逻辑1表示，低电平用逻辑0表示；负逻辑体制正好相反，高电平用逻辑0表示，低电平用逻辑1表示。同一电路的输入、输出关系既可以用正逻辑描述，也可以用负逻辑描述。选择逻辑体制不同，则同一电路的逻辑功能也不同。通常两种逻辑体制的互换如下：正与非=负或非，正或非=负与非，正与=负或，正或=负与由于实际应用中很少采用负逻辑，所以本书均采用正逻辑体制。第2章
27、逻辑代数基础 2有效电平的概念有效电平的概念有效电平规定：当逻辑符号的输入或输出引脚上没有小圆圈时，表示该引脚是高电平有效；当逻辑符号的输入或输出引脚上有小圆圈时，表示该引脚是低电平有效。例如，与非门的标准符号如图2.3.8（a）所示，其输入端没有小圆圈而输出端有小圆圈，因此它是输入高电平有效，输出低电平有效。该符号的逻辑功能可描述为：仅当全部输入为高电平时，输出才为低电平。与非门的等效符号如图2.3.8（b）所示，它是输入低电平有效，输出高电平有效。其逻辑功能可描述为：当任何一个输入为低电平时，输出为高电平。可见这两种符号的描述方式不同，但逻辑功能是相同的。第2章 逻辑代数基础 图2.3.8
28、与非门及等效符号的逻辑功能描述 第2章 逻辑代数基础 有效电平的概念对于分析电路的工作状态十分重要，特别是后面章节所讲述的中、大规模集成芯片，其输入、输出引脚都有可能是高电平有效或低电平有效，即信号为高电平或低电平时芯片（或电路）才能完成规定的功能。因此输入信号的电平必须与芯片（或电路）所要求的有效电平相匹配才能正常工作。第2章 逻辑代数基础 2.4逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 2.4.1 最小项和标准与或式最小项和标准与或式 1.最小项最小项 n 个变量的最小项是 n 个变量的“与项”，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。两个变量 A、B 可以构成四个最小项：A B
29、、AB、AB、AB，三个变量A、B、C 可以构成八个最小项：A B C、A BC、ABC、ABC、AB C、ABC、ABC、ABC，可见 n 个变量的最小项共有n2个。第2章 逻辑代数基础 表 2.4.1 列出了三变量全部最小项的真值表。从表中可见，每一个最小项仅和一组变量取值相对应，只有该组取值使其值为 1，在其余取值下它皆为 0。最小项通常用符号im表示，下标 i 是最小项的编号，它对应变量取值的等效十进制数。如 ABC仅和取值 110相对应，因此 ABC是 110对应的最小项，可以用符号6m来表示。第2章 逻辑代数基础 表 2.4.1 三变量逻辑函数的最小项 序号 ABC CBAm0 C
30、BAm1 CBAm2 BCAm3 CBAm4 CBAm5 CABm6 ABCm7 0 000 1 0 0 0 0 0 0 0 1 001 0 1 0 0 0 0 0 0 2 010 0 0 1 0 0 0 0 0 3 011 0 0 0 1 0 0 0 0 4 100 0 0 0 0 1 0 0 0 5 101 0 0 0 0 0 1 0 0 6 110 0 0 0 0 0 0 1 0 7 111 0 0 0 0 0 0 0 1 第2章 逻辑代数基础 最小项具有以下性质：n变量的全部最小项的逻辑和恒为1，即 1120niim 任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为0，即)(0jimmji n变量的每
31、一个最小项有n个相邻项。例如，三变量的某一最小项 有三个相邻项：。这种相邻关系对于逻辑函数化简十分重要。CBACBABCACBA、第2章 逻辑代数基础 2.最小项表达式最小项表达式标准与或式标准与或式 如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项，则称这种表达式为最小项表达式，或称为标准与或式、标准积之和式。例如：CABCBACBACBAF),(是一个三变量的最小项表达式，它也可以简写为 546(,)(4,5,6)F A B Cmmmm第2章 逻辑代数基础 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式：只要将真值表中使函数值为1的各个最小项相或，便可得出该函数的最小项表达式。由于任何一个函数的真
32、值表是惟一的，因此其最小项表达式也是惟一的。表2.4.2真值表 A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101011第2章 逻辑代数基础 2.4.2最大项和标准或与式最大项和标准或与式1.最大项最大项n个变量的最大项是n个变量的“或项”，其中每一个变量都可以以原变量或反变量的形式出现一次。n个变量可以构成2n个最大项。与最小项恰好相反，对于任何一个最大项，只有一组变量取值使它为0，而变量的其余取值均使它为1。最大项用符号Mi表示。表2.4.3列出了三变量逻辑函数的所有最小项和最大项。从表中可以看出，当输入变量为某一组取值时，最大项中对应取
33、值为0的用原变量表示，对应取值为1的用反变量表示，正好与最小项相反。第2章 逻辑代数基础 表 2.4.3 三变量逻辑函数的最小项与最大项 十进制数 i A B C 最小项 im 最大项 iM 0 0 0 0 CBA 0m A+B+C 0M 1 0 0 1 CBA 1m CBA 1M 2 0 1 0 CBA 2m CBA 2M 3 0 1 1 BCA 3m CBA 3M 4 1 0 0 CBA 4m CBA 4M 5 1 0 1 CBA5m CBA 5M 6 1 1 0 CAB 6m CBA 6M 7 1 1 1 ABC 7m CBA 7M 不难发现，变量数相同，编号相同的最小项和最大项之间存在
34、互补关系，即 iiMm ，iimM 第2章 逻辑代数基础 最大项具有以下性质：n变量的全部最大项的逻辑乘恒为0，即 1200niiM n变量的任意两个不同的最大项的逻辑和必等于1，即)(1jiMMji n变量的每个最大项有n个相邻项。例如，三变量的某一最大项 有三个相邻项：)(CBA。、)()()(CBACBACBA第2章 逻辑代数基础 2.最大项表达式最大项表达式-标准或与式标准或与式 在一个或与式中，如果所有的或项均为最大项，则称为这种表达式为最大项表达式，或称为标准或与式、标准和之积表达式。如果一个逻辑函数的真值表已给出，要写出该函数的最大项表达式，可以先求出该函数的反函数F,并写出F的
35、最小项表达式，然后将F再求反，利用im和iM的互补关系便得到最大项表达式。第2章 逻辑代数基础【例【例2.4.2】已知F的真值表如表2.4.4所示。试写出函数F的最小项和最大项表达式。解解：在F的真值表中首先求出F的反函数F。F和F的最小项表达式为 7632)5,4,1,0(mmmmFmF将F再求反可得最大项表达式:)7,6,3,2(763276327632MMMMMmmmmmmmmFF第2章 逻辑代数基础 表2.4.4例2.4.2真值表 A B C F F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11 01 00 10 11 01 00 10 1第2章 逻
36、辑代数基础 2.5 逻辑函数的化简法逻辑函数的化简法 2.5.1代数化简法代数化简法 1.并项法并项法 利用公式AB+AB=A将两项合并成一项，并消去互补因子。如：AACCACBBCACBCBACBAABCCABCBAFDCADCABDCBAF)()(第2章 逻辑代数基础 2.吸收法吸收法 利用吸收律 A+AB=A、和 吸收(消去)多余的乘积项或多余的 因子。如：BABAACAABBCCAABDCACBAADEDCACBADCADEACBAFDCDAABCBDDACABCBDDCAABCBDDCDAABCFCBDACDCBACDCABAFCABCABABCBAABCBCAABF)()(第2章
37、逻辑代数基础 3.配项法配项法 利用重叠律A+A=A、互补律A+A=1 和吸收律AB+AC+BC=AB+AC先配项或添加多余项，然后再逐步化简。如：DCBACDABCBACDABABCBACDBACBACCBDBDAACF)(添多余项AB)(去掉多余项AB)第2章 逻辑代数基础 ABCBCAABBCAABCCBCBACBAABAABCCBCCBAABBCCBBAFCBBACACABCBABCACBACBACBACABBCACBACBAF)()()()()(第2章 逻辑代数基础 2.5.2卡诺图化简法卡诺图化简法卡诺图（KarnaughMap）由美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出，故称卡
38、诺图，简称K图。它是一种按相邻规则排列而成的最小项方格图，利用相邻项不断合并的原则可以使逻辑函数得到化简。由于这种图形化简法简单而直观，因而得到了广泛应用。第2章 逻辑代数基础 1.卡诺图的构成卡诺图的构成在逻辑函数的真值表中，输入变量的每一种组合都和一个最小项相对应，这种真值表也称最小项真值表。卡诺图就是根据最小项真值表按一定规则排列的方格图。例如，三变量最小项真值表如表2.5.1所示，画三变量K图时首先画出八个小方格，并将输入变量A、B、C按行和按列分为两组表示在方格图的顶端，变量的取值分别按格雷码排列。行、列变量交叉处的小方格就是输入变量取值所对应的最小项，这样便构成了图2.5.1（a）
39、所示的三变量K图。由图可见，由于行、列变量的取值都按格雷码排列，因此每两个相邻方格中的最小项都是相邻项。为了便于书写和记忆，K图各方格内的最小项也可以用最小项符号mi或编号i表示，分别如图2.5.1（b）、（c）所示。第2章 逻辑代数基础 表表2.5.1 三变量最小项三变量最小项 A B C 最小项 0 0 0 CBA 0 0 1 CBA 0 1 0 CBA 0 1 1 BCA 1 0 0 CBA 1 0 1 CBA 1 1 0 CAB 1 1 1 ABC 第2章 逻辑代数基础 图2.5.1三变量K图 第2章 逻辑代数基础 图图2.5.2四变量、五变量四变量、五变量K图图 第2章 逻辑代数基础
40、 从以上分析可以看出，K图具有如下特点：(1)n变量的卡诺图有2n个方格，对应表示2n个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的方格数就会扩大一倍。(2)卡诺图中任何相邻位置的两个最小项都是相邻项。变量取值的顺序按格雷码排列，以确保各相邻行（列）之间只有一个变量取值不同，从而保证了卡诺图具有这一重要特点。相邻位置包括三种情况：一是相接，即紧挨着；二是相对，即任意一行或一列的两头；三是相重，即对折起来位置重合。第2章 逻辑代数基础 相邻位置包括三种情况：一是相接，即紧挨着；二是相对，即任意一行或一列的两头；三是相重，即对折起来位置重合。相邻项是指除了一个变量不同外其余变量都相同的两个与项。例如图 2
41、.5.2（b）的五变量 K图中，5m在位置上与4m、7m、1m、13m、21m相邻，因此EDCBAm 5与EDCBAm 4是相邻项，此外，还 分 别 与CDEBAm 7、EDCBAm 1、EDBCAm13和EDCBAm21是相邻项，即5m有五个相邻项。可见卡诺图也反映了 n个变量的任何一个最小项有 n 个相邻项这一特点。卡诺图的主要缺点是随着输入变量的增加图形迅速复杂，相邻项不那么直观，因此它适于用来表示 6 个以下的逻辑函数。第2章 逻辑代数基础 1.给出逻辑函数的最小项表达式给出逻辑函数的最小项表达式 只要将构成逻辑函数的最小项在卡诺图上相应的方格中填1，其余的方格填0(或不填)，则可以得
42、到该函数的卡诺图。也就是说，任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些最小项之和。例如，用卡诺图表示函数 时，只需在三变量卡诺图中将m0、m3、m4、m6处填1，其余填0(或不填)，如图2.5.3所示。)6,4,3,0(1mF2.逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法 第2章 逻辑代数基础 图2.5.3F1的卡诺图 第2章 逻辑代数基础 2).给出逻辑函数的一般与或式给出逻辑函数的一般与或式 将一般与或式中每个与项在卡诺图上所覆盖的最小项处都填1，其余的填0(或不填)，就可以得到该函数的卡诺图。例如，用卡诺图表示函数 时，先确定使每个与项为1的输入变量取值，然后在该输入变量取值所对应的方
43、格内填1。2FABCABCDAD第2章 逻辑代数基础 2F为四变量函数，当ABCD=101（表示可以为1，也可以为 0）时CBA为 1，因此在 ABC 取值为 101 所对应的方格（1110mm、）处填 1；当 ABCD=001时,CBA为1，因此在 ABC取值为 001 所对应的方格（32mm、）处填 1；当 ABCD=1时 D 为 1，因 此 在 D 取 值 为 1 所 对 应 的 8 个 方 格（15131197531mmmmmmmm、）处 填1；当ABCD=11 时 AD 为 1，因此在 AD 取值为11 所对应的 4 个方格（31513119mmmm、）处填 1。2F的 k 图如 2
44、.5.4 所示。第2章 逻辑代数基础 图2.5.4 F2 的卡诺图 第2章 逻辑代数基础 3)给出逻辑函数的最大项表达式给出逻辑函数的最大项表达式 只要将构成逻辑函数的最大项在卡诺图相应的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是说，任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填0的那些最大项之积。例如，函数 的卡诺图如图2.5.5所示。必须注意，在卡诺图中最大项的编号与最小项编号是一致的，但对应输入变量的取值是相反的。3(0,2,6)()()()FMABCABCABC第2章 逻辑代数基础 图2.5.5F3的卡诺图 第2章 逻辑代数基础 4)给出逻辑函数的一般或与式给出逻辑函数的一般或与式 将一般或与式中每个
45、或项在卡诺图上所覆盖的最大项处都填0，其余的填1即可。例如，将函数 填入卡诺图时，先确定使每个或项为0时输入变量的取值，然后在该取值所对应的方格内填0。)(5CBCAF:)(CA:)(CB 当ABC=10时，该或项为0，对应两个方格(M4、M6)处填0。当ABC=10时，该或项为0，对应两个方格(M2、M6)处填0。第2章 逻辑代数基础 图2.5.6F4的卡诺图 第2章 逻辑代数基础 3.最小项合并规律最小项合并规律 在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。两个相邻最小项合并为一项，消去一个互补变量。在卡诺图上该合并圈称为单元圈，它所对应的与项由圈内没有变化的那些变量组成，可以直接从卡
46、诺图中读出。例如，图2-19(a)中m1、m3合并为 ，图2.5.7(b)中m0、m4合并为 。任何两个相邻的单元K圈也是相邻项，仍然可以合并，消去互补变量。因此，如果K圈越大，消去的变量数就越多。CACB第2章 逻辑代数基础 图2.5.7(c)、(d)表示四个相邻最小项合并为一项，消去了两个变量，合并后积项由K圈对应的没有变化的那些变量组成。图2.5.7(c)中m0、m1、m4、m5合并为 ，图2-19(d)中m0、m2、m8、m10合并为 ，m5、m7、m13、m15合并为BD，m12、m13、m15、m14合并为AB。图2.5.7(e)表示八个相邻最小项合并为一项，消去了三个变量，即DB
47、CADmAm)15,13,11,9,7,5,3,1(,)15,14,13,12,11,10,9,8(第2章 逻辑代数基础 图2.5.7 最小项合并规律第2章 逻辑代数基础 综上所述，最小项合并有以下特点：任何一个合并圈(即卡诺圈)所含的方格数为2i个。必须按照相邻规则画卡诺圈，几何位置相邻包括三种情况：一是相接，即紧挨着的方格相邻；二是相对，即一行(或一列)的两头、两边、四角相邻；三是相重，即以对称轴为中心对折起来重合的位置相邻。2m个方格合并，消去m个变量。合并圈越大，消去的变量数越多。需要指出，上述最小项的合并规则，对最大项的合并同样是适用的。只是因为最大项是与函数的0值相对应，在卡诺图中
48、则与0格对应，因此，最大项的合并在卡诺图中是相邻的0格圈在一起。第2章 逻辑代数基础 4.用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数1)将函数化简为最简与或式在卡诺图上以最少的卡诺圈数和尽可能大的卡诺圈覆盖所有填1的方格，即满足最小覆盖，就可以求得逻辑函数的最简与或式。化简的一般步骤如下：化简的一般步骤如下：(1)填卡诺图，即用卡诺图表示逻辑函数。(2)画卡诺圈合并最小项。选择卡诺圈的原则是：先从只有一种圈法的1格圈起，卡诺圈的数目应最少（与项的项数最少），卡诺圈应最大（对应与项中变量数最少）。第2章 逻辑代数基础 (3)写出最简函数式。将每个卡诺圈写成相应的与项，并将它们相或，便得到最简与或式
49、。圈卡诺圈时应注意，根据重叠律（A+A=A）,任何一个1格可以多次被圈用，但如果在某个K圈中所有的1格均已被别的K圈圈过，则该圈是多余圈。为了避免出现多余圈，应保证每个K圈至少有一个1格只被圈一次。第2章 逻辑代数基础 【例2.5.1】求 化简为最简与或式。解：解：(1)画出F的K图,如图2.5.8。)13,12,11,10,5,4,3,1(mF第2章 逻辑代数基础 图2.5.8例2.5.1的卡诺图 第2章 逻辑代数基础 画K圈。按照最小项合并规律，将可以合并的最小项分别圈起来。根据化简原则，应选择最少的K圈和尽可能大的K圈覆盖所有的1格。首先选择只有一种圈法的BC，剩下四个1格(m1、m3、
50、m10、m11)用两个K圈 覆盖。可见一共只要用三个K圈即可覆盖全部1格。写出最简式。CBADBA、CBADBACBF第2章 逻辑代数基础 ABCDCABDCBDBACDBF 解：解：画出F的K图。给出的F为一般与或式，将每个与项所覆盖的最小项都填1，K图如图2.5.9所示。【例【例2.5.2】用卡诺图将以下函数式化简为最简与或式】用卡诺图将以下函数式化简为最简与或式:第2章 逻辑代数基础 图2.5.9例2.5.2的卡诺图 第2章 逻辑代数基础 画K圈化简函数。写出最简与或式。本例有两种圈法，都可以得到最简式。按图2.5.9(a)圈法：ABDDCBDCACBF按图2.5.9(b)圈法：ACDC
