1、培根培根：“数学是打开科学大门的钥匙数学是打开科学大门的钥匙”，“数学使人精细数学使人精细”“计算机之父计算机之父”冯冯诺伊曼诺伊曼：数学处于人类智慧的中心领域：数学处于人类智慧的中心领域加里宁加里宁：数学是锻炼思维的体操：数学是锻炼思维的体操.数学的三个显著的特点：数学的三个显著的特点：高度的抽象性高度的抽象性严谨的逻辑性严谨的逻辑性广泛的应用性广泛的应用性学习高等数学的目的：学习高等数学的目的：为学习后继专业课程服务为学习后继专业课程服务有利于可持续发展（专升本、考研、有利于可持续发展（专升本、考研、）解决实际问题解决实际问题锻炼思维锻炼思维数学数学名言名言一、为什么学习高等数学一、为什么
2、学习高等数学第一堂数学课须知第一堂数学课须知一、为什么学习高等数学一、为什么学习高等数学 高等数学与初等数学的区别高等数学与初等数学的区别 初等数学初等数学常量数学常量数学 主要以不变的量为主要研究对象代数式 方程 不等式 高等数学高等数学变量数学变量数学 主要以变量以及变量间的依赖关系（函数关系）为研究对象基本工具 极限 主要内容微积分 微分方程第一堂数学课须知第一堂数学课须知二、微积分历史简介二、微积分历史简介1.求瞬时速度，加速度求瞬时速度，加速度2.求切线求切线3.求最大最小值求最大最小值4.求面积，体积求面积，体积微积分创始人微积分创始人牛顿与莱布尼茨牛顿与莱布尼茨第一堂数学课须知第
3、一堂数学课须知三、如何学好高等数学三、如何学好高等数学1.多听多听(课堂专心听讲，记好笔记课堂专心听讲，记好笔记)2.多看多看 (课前预习，课后及时复习，阅读参考书课前预习，课后及时复习，阅读参考书)3.多做多做(认真完成作业，多做练习）认真完成作业，多做练习）4.多问（问老师、问同学）多问（问老师、问同学）四多原则四多原则 第一堂数学课须知第一堂数学课须知高等数学应用教程高等数学应用教程第第 1 章章 函数、极限与连续函数、极限与连续u 1.1 函数、方程与数学模型函数、方程与数学模型u 1.2 极限的概念极限的概念u 1.3 极限的运算极限的运算u 1.4 函数的连续性函数的连续性 第第1
4、章章 函数、极限与连续函数、极限与连续1.1 函数、方程与数学模型函数、方程与数学模型 1.1.1 函数的概念函数的概念 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性 1.1.3 反函数与反三角函数反函数与反三角函数 1.1.4 初等函数初等函数 1.1.5 方程与函数方程与函数 1.1.6 数学模型数学模型 1.1 函数、方程与数学模型函数、方程与数学模型例1 1.1.1 函数的概念函数的概念1.1.2 1.1.2 函数的概念函数的概念 例2 1.1.1 函数的概念函数的概念例3 1.1.1 函数的概念函数的概念恩恩格格尔尔系系数数 国国际际上上常常用用恩恩格格尔尔系系数数反反映映了了一一个个国
5、国家家人人民民生生活活质质量量的的高高低低，恩恩格格尔尔系系数数越越低低，生生活活质质量量越越高高.表表 1-1 中中是是恩恩格格尔尔系系数数随随时时间间（年年）变变化化的的情情况况.以上以上3个实例中变量之间的关系用个实例中变量之间的关系用数学语言数学语言描述出来就得到了函数的定义描述出来就得到了函数的定义.1.1.1 函数的概念函数的概念定义1.1定义1.2例4 1.1.1 函数的概念函数的概念求下列函数的定义域求下列函数的定义域 表示函数有表示函数有3种方法，分别为种方法，分别为解析法解析法、图形法图形法和和列表法列表法.解解（1 1）要使函数）要使函数 有意义，必须满足有意义，必须满足
6、y20ln(2)0 xx2021xx21xx所以函数的定义域为：所以函数的定义域为：(,1)(1,2)D 3217x23x，课堂练习P15，习题，习题1-1:2例5 1.1.1 函数的概念函数的概念解解“三险一金三险一金”指指基本养老保险、医疗基本养老保险、医疗保险、失业保险及住房公积金保险、失业保险及住房公积金 1.1.1 函数的概念函数的概念(3500)3%yx从而从而 0,03500(3500)3%,35005000(3500)10%105,50008000(3500)20%555,800013500 xxxyxxxx 1.1.1 函数的概念函数的概念像例像例 5 这种在自变量的不同变化
7、范围中，对应法则用不同式这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数通常称为子来表示的函数通常称为分段函数分段函数.它的定义域是各段自变它的定义域是各段自变量取值集合的量取值集合的并并.常用的绝对值函数可以表示为常用的绝对值函数可以表示为,0|,0 xxyxxx例60,0()1,0tH tt它被用在电路的研究中，用来表示电闸接通它被用在电路的研究中，用来表示电闸接通的瞬时电路中电流或电压的突然变动，也称的瞬时电路中电流或电压的突然变动，也称为为开关函数开关函数（见图（见图1-4）.1.1.1 函数的概念函数的概念 设函数设函数 例723,0()2,01,02xxyf xxxx解
8、解 1.1.1 函数的概念函数的概念1.函数的奇偶性 1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性2.函数的单调性 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性3.函数的周期性 例8 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性4.函数的有界性 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性1.1.3 1.1.3 反函数与反三角函数反函数与反三角函数1.反函数定义1.3?1.1.3 反函数与反三角函数反函数与反三角函数2.反三角函数 1.1.3 反函数与反三角函数反函数与反三角函数求值求值.例9解解 3arcsin23所以所以 1.1.3 反函数与反三角函数
9、反函数与反三角函数所以所以 12arccos23由辅助直角三角形（见图由辅助直角三角形（见图1-13）可得）可得 11tan arcsintan32 2课堂练习P15，习题，习题1-1:5（2），），(3)1.1.3 反函数与反三角函数反函数与反三角函数1.1.4 1.1.4 初等函数初等函数 1.基本初等函数 函数是微积分研究的主要对象，因此掌握基本初等函数函数是微积分研究的主要对象，因此掌握基本初等函数的图形及主要性质至关重要（查阅的图形及主要性质至关重要（查阅P212附录附录A）.1.1.4 初等函数初等函数2.复合函数定义1.4?由基本初等函数经过四则运算形成的函数称为由基本初等函数经
10、过四则运算形成的函数称为简单函数简单函数.复合函数可以分解为若干个基本初等函数或简单函数复合函数可以分解为若干个基本初等函数或简单函数.1.1.4 初等函数初等函数指出下列复合函数的复合过程指出下列复合函数的复合过程.例10解解 课堂练习P15，习题，习题1-1:7(1)3.初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成的并可用一个式子表示的函数称为复合所构成的并可用一个式子表示的函数称为初等函数初等函数.1.1.4 初等函数初等函数工程中常用的双曲函数：工程中常用的双曲函数：例11 1.1 函数、方程与数学模型函数、方程与
11、数学模型n 函数的概念，函数的定义域、函数值的求法函数的概念，函数的定义域、函数值的求法n 函数简单性质的了解，会判断奇偶性、单调性函数简单性质的了解，会判断奇偶性、单调性n 了解反函数的概念，掌握反三角函数了解反函数的概念，掌握反三角函数n 基本初等函数的表达式、图形基本初等函数的表达式、图形n 复合函数的分解复合函数的分解n 初等函数的有关概念初等函数的有关概念小小 结结 作业作业 P15，习题，习题1-1:1；3；5(1)，(4)；6；7(2)，(3)1.1 函数方程与数学模型函数方程与数学模型1.1 函数、方程与数学模型函数、方程与数学模型 1.1.1 函数的概念函数的概念 1.1.2
12、 函数的几种特性函数的几种特性 1.1.3 反函数与反三角函数反函数与反三角函数 1.1.4 初等函数初等函数 1.1.5 方程与函数方程与函数 1.1.6 数学模型数学模型 1.1 函数、方程与数学模型函数、方程与数学模型 1.1.5 方程与函数方程与函数1.1.5 1.1.5 方程与函数方程与函数 1.由方程 确定的函数隐函数Fx y(,)0=一定不一定把一个隐函数化成显函数，称为隐函数的把一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化显化.3210 xy 312yx显化e0 xyxy()yf x无法显化 在一定条件下，以方程表达的变量间的关系可以通在一定条件下，以方程表达的变量间的关系可以通过函
13、数关系进行处理研究，不管该方程所确定的隐函数过函数关系进行处理研究，不管该方程所确定的隐函数能否显化。能否显化。1.1.5 方程与函数方程与函数2.由参数方程确定的函数例1解解 1.1.5 方程与函数方程与函数 与隐函数的讨论类似，在一定条件下，参数方程中的参与隐函数的讨论类似，在一定条件下，参数方程中的参数不管能否消去，都能确定数不管能否消去，都能确定 与与 间的函数关系间的函数关系，一般有，一般有yx1.1.5 方程与函数方程与函数例2由几何或向量的知识可得圆的渐开线的参数方程为由几何或向量的知识可得圆的渐开线的参数方程为 1.1.5 方程与函数方程与函数例3摆线的参数方程为摆线的参数方程
14、为 1.1.5 方程与函数方程与函数摆线动态演示笛卡尔叶形线动态演示1.1.6 1.1.6 数学模型数学模型 1.1.6 数学模型数学模型例4建立函数关系式建立函数关系式是解决实际问题时较简单的一类数学模型是解决实际问题时较简单的一类数学模型.解解 210 x，侧面积为，侧面积为 210404xxx，从而可得水池总造价与底面边长之间的函数关系式为，从而可得水池总造价与底面边长之间的函数关系式为 1.1.6 数学模型数学模型例5解解 1|sin2nAOBAnSnOAOBAOB22sin2nRn课堂练习P16，习题，习题1-1:10,11 1.1.6 数学模型数学模型例6 GDP增长增长 国内生产
15、总值（简称国内生产总值（简称GDP）是指在一）是指在一定时期内（一个季度或一年），一个国家或地区的经济中定时期内（一个季度或一年），一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标国家经济状况的最佳指标.我国我国20042008年国内生产总值年国内生产总值（单位：万亿元）如表（单位：万亿元）如表1-3所示所示.（1）画出函数图形猜想它们之间的函数关系，近似地写出）画出函数图形猜想它们之间的函数关系，近似地写出 一个函数关系式；一个函数关系式；（2）利用得出的关系式求）利用得出的关系式求2006年、年
16、、2008年的生产总值，与年的生产总值，与 表中实际生产总值比较；表中实际生产总值比较；（3）利用关系式预侧）利用关系式预侧2010年我国的国内生产总值年我国的国内生产总值.1.1.6 数学模型数学模型解法解法1（1）根据表中的数据描点画出图形（见图）根据表中的数据描点画出图形（见图1-26）设所求的函数关系式为设所求的函数关系式为ykxb得得（这个图形称为（这个图形称为散点图散点图）1.1.6 数学模型数学模型解法解法2（利用最常用的工具软件利用最常用的工具软件Excel求解求解）研究表明研究表明最佳最佳的拟合直线是用的拟合直线是用“最小二乘法最小二乘法”（即最小化（即最小化各数据点到直线的
17、垂直距离的平方和）的方法来得到的直各数据点到直线的垂直距离的平方和）的方法来得到的直线线回归直线回归直线.1.1.6 数学模型数学模型 种群生长模型种群生长模型 表表1-4是生物学家皮尔是生物学家皮尔（R.Pearl）于）于1927年所采集的酵母细胞（以生物量度年所采集的酵母细胞（以生物量度量）在营养物中随时间（以小时度量）增长的数据量）在营养物中随时间（以小时度量）增长的数据.例7 类似地，如果散点图的形状近似某种曲线，通过类似地，如果散点图的形状近似某种曲线，通过“最小最小二乘法二乘法”的方法可以求得最佳拟合的近似曲线，即回归曲线，的方法可以求得最佳拟合的近似曲线，即回归曲线，实现的方法和
18、过程也称实现的方法和过程也称曲线回归曲线回归.1.1.6 数学模型数学模型解解（利用最常用的工具软件利用最常用的工具软件Excel求解求解）图图1-28 回归曲线回归曲线图图1-29 1-29 酵母数量实际观测值与预测值的偏差酵母数量实际观测值与预测值的偏差 图图1-29中菱形点曲线是实际中大量存在的中菱形点曲线是实际中大量存在的S形曲线形曲线 1.1.6 数学模型数学模型图图1-30 酵母生成模型酵母生成模型 1.1.6 数学模型数学模型 了解方程与函数的关系了解方程与函数的关系 隐函数，参数方程的概念隐函数，参数方程的概念 渐开线、摆线的参数方程及实际应用渐开线、摆线的参数方程及实际应用
19、建立简单实际问题的函数关系式建立简单实际问题的函数关系式 数学模型的基本概念数学模型的基本概念 由散点图用由散点图用EXCELEXCEL软件求近似曲线（简单回归分析）软件求近似曲线（简单回归分析）小小 结结 作业作业 P16，习题，习题1-1:8；9；12；14 1.1 函数、方程与数学模型函数、方程与数学模型1.2 极限的概念极限的概念 1.2.1 数列的极限数列的极限 1.2.2 函数的极限函数的极限 1.2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 1.2 极限的概念极限的概念1A圆内接正六边形圆内接正六边形1A圆内接正十二边形圆内接正十二边形2A圆内接正二十四边形圆内接正二十四边形3A圆内接正
20、圆内接正 边形的面积边形的面积126nnA1.2.1 1.2.1 数列的极限数列的极限 例1刘徽割圆术与圆的面积刘徽割圆术与圆的面积2A 1.2.1 数列的极限数列的极限圆内接正二十四边形圆内接正二十四边形3A 1.2.1 数列的极限数列的极限得到数列：得到数列：当边数当边数 无限增大时无限增大时,n也无限接近于某一确定的数值，也无限接近于某一确定的数值，nA这个确定的数值就理解为圆的面积这个确定的数值就理解为圆的面积 .AnAA 1.2.1 数列的极限数列的极限 截丈问题截丈问题 庄子（前庄子（前369年年前前286年，战国）曾写道：年，战国）曾写道：“一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世
21、不竭。其半，万世不竭。”每天取后木棒所剩的长度：每天取后木棒所剩的长度：,21,41 81，,21n,2112116181413210 x从右例2当当 无限增大时无限增大时,n 21n无限接近确定的值零无限接近确定的值零 1.2.1 数列的极限数列的极限定义1.5例3 1.2.1 数列的极限数列的极限解解 例3 1.2.1 数列的极限数列的极限例3解解 课堂练习P22 习题习题1-2:1（1），（），（2）1.2.1 数列的极限数列的极限课堂练习P22 习题习题1-2:1（2）解答）解答sin112n的值在到 之间振荡limsin2nn故不存在 1.2.1 数列的极限数列的极限1.2.2 函数
22、的极限函数的极限 例4 1.2.2 函数的极限函数的极限定义1.6定义1.7 1.2.2 函数的极限函数的极限例5解解 1lim0 xx1lim0 xx1lim0 xx,则则例6解解 由图可知，由图可知，lim arctan,2xx lim arctan2xxlimarctanxx从而从而 不存在不存在.1.2.2 函数的极限函数的极限定理1.1lim()lim()lim()xxxf xAf xf xA1lim0 xx由于，则10yyx则是函数的水平渐近线 1.2.2 函数的极限函数的极限由由lim arctan,2xx lim arctan2xx例7 1.2.2 函数的极限函数的极限定义1.
23、8例8 1.2.2 函数的极限函数的极限定义1.9左极限左极限右极限右极限定理1.2 1.2.2 函数的极限函数的极限例9解解 1.2.2 函数的极限函数的极限课堂练习P22 习题习题1-2:1（3）（8）部分题目答案：部分题目答案：lim 30 xx1.（6）3xylim 3xx？lim3xx？（不存在）（不存在）（不存在）（不存在）1.2.2 函数的极限函数的极限课堂练习P22 习题习题1-2:1（3）（8）部分题目答案：部分题目答案：（不存在）（不存在）1.（7）tanyx2lim tanxx 1.2.2 函数的极限函数的极限课堂练习P22 习题习题1-2:1（3）（8）部分题目答案：部
24、分题目答案：1.(8)lgyx0lim lgxx 不存在不存在 1.2.2 函数的极限函数的极限课堂练习P22 习题习题1-2:2（）（1）（）（）（）（）（）（）（）1.2.2 函数的极限函数的极限1.2.3 1.2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 定义1.10 1.2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大例10解解 求求 01lim sinxxx又又 1.2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大定理1.3定义1.11记作记作仅考虑单侧时，可表示为仅考虑单侧时，可表示为 1.2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 1.2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大解解 例11回顾一下，水平渐近线的概念！回顾一
25、下，水平渐近线的概念！它们都与无穷大它们都与无穷大 有关有关 1.2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大2）无穷大与无穷小的关系）无穷大与无穷小的关系 定理1.4课堂练习P22 习题习题1-2:5 1.2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大n 数列的极限的概念及类型数列的极限的概念及类型n 函数的极限的概念及类型函数的极限的概念及类型n 水平渐近线与垂直渐近线水平渐近线与垂直渐近线n 无穷小与无穷大的概念及性质无穷小与无穷大的概念及性质n 如何求分段函数在分段点处的极限如何求分段函数在分段点处的极限小小 结结 作业作业 P22，习题，习题1-2:3（2）；）；4；6（2）；）；7 1.2 极限的概念极限的概念
