1、第 5 章单相正弦交流电路第5章单相正弦交流电路5.1正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念5.2正弦交流电的基本特征和三要素正弦交流电的基本特征和三要素5.3复数的相关知识复数的相关知识5.4正弦量的表示法正弦量的表示法5.5纯电阻电路纯电阻电路5.6纯电感电路纯电感电路5.7纯电容电路纯电容电路5.8电路基本定律的相量形式电路基本定律的相量形式第 5 章单相正弦交流电路5.9电阻、电阻、电感和电容的串联电路电感和电容的串联电路5.10RLC串联电路的特例串联电路的特例5.11电阻、电阻、电感和电容的并联电路电感和电容的并联电路5.12功率因数的提高功率因数的提高*5.13正弦交流电路负载
2、获得最大功率的条件正弦交流电路负载获得最大功率的条件本章小结本章小结习题习题实验八测量交流电流和交流电压实验八测量交流电流和交流电压实验九日光灯电路实验九日光灯电路第 5 章单相正弦交流电路5.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念5.1.1 交流电的参考方向交流电的参考方向所谓交流电，是指一种大小和方向随时间按一定规律做周期性变化，且在一周期内平均值为零的电量（包括电压、电流和电动势）,如图5-1所示的正弦交流和方波交流电流。当然，根据变化规律的不同，交流电有很多种。其中应用最多的是随时间按正弦函数规律变化的，我们称之为正弦交流电。随时间按正弦规律变化的电压、电流和电动势分别称为正弦电
3、压、正弦电流和正弦电动势，常统称为正弦量。第 5 章单相正弦交流电路图5-1 交流电的电流波形图(a)正弦交流电流；(b)方波交流电流第 5 章单相正弦交流电路由图5-1可以看出交流量的大小和方向都随时间变化，因此选定交流量的参考方向就十分必要。同直流电路中的方法类似，用实线箭头（或实线正、负极性）表示选定的参考方向，用虚线箭头（或虚线正、负极性）表示某一瞬间的实际方向。当某一瞬间交流量的实际方向与选定的参考方向一致时，这一瞬间的交流量就是正的，否则就是负的。参考方向是任意选取的。在交流电路分析中，我们仍然习惯于把元件上的电压和电流的参考方向选为关联参考方向，见图5-2。在画交流电的波形及写解
4、析式之前，必须要先选定参考方向。第 5 章单相正弦交流电路图5-2 关联参考方向第 5 章单相正弦交流电路交流量在任一瞬间的值叫做交流量的瞬时值。通常用i(tk)、u(tk)、e(tk)分别表示在tk瞬间交流电流、交流电压、交流电动势的瞬时值，也可简写成i、u、e,即直接用小写字母表示。瞬时值有正、有负，也可能为零。交流量瞬时值中的最大值叫做交流量的最大值，也叫振幅值或峰值，通常用大写字母加下标“m”来表示。如用Im、Um、Em分别表示交流电流、交流电压、交流电动势的最大值。表示交流量的瞬时值随时间变化规律的表达式叫做交流量的解析式，用i(t)、u(t)、e(t)表示，并可简写为i、u、e,即
5、i、u、e既可以表示瞬时值，又可以表示解析式，注意区分。第 5 章单相正弦交流电路5.1.2 正弦交流电的产生正弦交流电的产生正弦交流电是由交流发电机产生的。图5-3（a）是一台最简单的交流发电机。它是由定子和转子组成的。定子是制成特殊形状的磁极，其间磁场均匀幅向分布。当圆柱形铁芯转动时，紧绕在它上面的一个单匝线圈aabb切割定子磁场，产生感应电动势。在线圈的两端连着两个固定在转轴上且彼此绝缘的铜环，线圈中产生的电动势由铜环通过电刷与负载连接。第 5 章单相正弦交流电路图5-3 交流发电机(a)交流发电机；(b)初相不为零的情况第 5 章单相正弦交流电路当转子线圈平面处于磁极的分界面（中性面）
6、时，磁感应强度为零，感应电动势为零。当转子线圈由中性面以角频率匀速旋转时，线圈的ab边和ab边分别切割磁场产生感应电动势，因线圈两边的长度相等，切割的速度一样，故产生的这两个电动势在数值上是相等的，而且是串联在一起的，所以经过时间t后，线圈转过的角度为t，则线圈两端的感应电动势的大小为 e=2Blv sint式中：l线圈的ab和ab的长度。v线圈切割磁场的线速度，v=l/2。第 5 章单相正弦交流电路当线圈平面与中性面垂直时，即t=/2时，此时的感应电动势最大，我们记为Em，由数学知识可知，Em=2Blv，则上式可以写成e=Em sint若线圈不是从中性面开始旋转，而是有夹角，如图5-3(b)
7、所示，那么感应电动势的表达式应为e=Em sin(t+)第 5 章单相正弦交流电路此电动势（内阻r，即线圈的电阻）加到负载R上，就在负载上获得了正弦电流和正弦电压，其表达式分别为)sin()sin(mmtItrREi)sin(mtRIiRu)sin(mtU正弦交流电是一种既简单又很实用的交流电。第 5 章单相正弦交流电路 5.2 正弦交流电的基本特征和三要素正弦交流电的基本特征和三要素根据上一节知识，我们知道正弦量的一般表达式（以正弦电压为例）为u=Um sin(t+)可见确定一个正弦量必须具备三个要素，即振幅值Um、角频率以及初相位。反之，若知道了正弦量的这三个要素，一个正弦量也就唯一确定了
8、。所以频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素。第 5 章单相正弦交流电路5.2.1 最大值最大值如前所述，正弦量瞬时值中最大的值称为最大值（也叫振幅值、峰值）。最大值虽然有正有负，但习惯上最大值都以绝对值表示，即Um0。图5-4给出了两个不同振幅值的正弦交流电压。电路的重要作用之一是转换能量。从这个角度看，如果随意指定正弦量的某一瞬间值来描述正弦量，是不能确切反映它在转换能量方面的实际效果的。若采用最大值则会夸大其作用，因此在实际计算中，常引入有效值。交流电的有效值是根据它的热效应来定义的。第 5 章单相正弦交流电路图5-4 不同振幅值的正弦交流电压第 5 章单相正弦交流电路某一个周期电流
9、i通过电阻R在一个周期T内产生的热量，和另一个直流电流通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等，那么这个周期性变化的电流i的有效值在数值上就等于这个直流I。规定：用大写字母来表示有效值,即用I、U、E分别来表示正弦电流、正弦电压和正弦电动势。通过计算或实验可以证明：当周期电流为正弦量时，可得mm707.02III第 5 章单相正弦交流电路同理，正弦电压和正弦电动势的有效值为mm707.02UUUmm707.02EEE由此可见，正弦量的有效值为其振幅值的。21第 5 章单相正弦交流电路平时所讲的正弦电压或电流的大小，例如交流电压380 V或者220 V，都是指它的有效值。常用的测量交流电压
10、和电流的各种仪表，其刻度也是根据有效值来定的。电机和电路的铭牌上标的也都是有效值。有效值可以代替振幅值作为正弦量的一个要素。第 5 章单相正弦交流电路【例5.1】已知某交流电压为V，求这个交流电压的最大值和有效值。解：将电压的表达式与正弦量一般表达式相比较，很容易看出：最大值 根据最大值和有效值的关系：有效值 tusin22203112220mUV220222202mUUV第 5 章单相正弦交流电路5.2.2 频率与周期频率与周期交流量跟别的周期性过程一样，是用周期或频率来表示变化快慢的。交流量完成一次循环所需的时间称为周期,用字母T表示，它的单位为秒（s），如图5-5所示。交流电在单位时间内
11、完成周期性循环的次数称为交流电的频率，用字母f表示，它的单位是赫兹（Hz）,还常用kHz(千赫兹)、MHz(兆赫兹)。由定义可以明显看出：频率是周期的倒数，即Tf1第 5 章单相正弦交流电路图5-5 交流电的频率第 5 章单相正弦交流电路我国和其他大多数国家都采用50 Hz作为电力标准频率，即所谓“工频”，它的周期为0.02s。有些国家（如美国、日本等）采用60 Hz。声音的频率在2020 000 Hz之间，就是我们平时所说的音频。无线电波中使用的频率则较高。常见的收音机的中波段一般为5251605 kHz，短波1为3.98.5 MHz，短波2为8.518 MHz。无线电波频段的划分见表5-1
12、。第 5 章单相正弦交流电路第 5 章单相正弦交流电路在中学物理中，我们知道电磁波的传播速度为c0=3108 m/s。电磁波在一个周期内传播的距离叫做波长，以表示。根据定义有fcTc00正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率来表示。角频率是指交流电在1秒钟内变化的电角度，若正弦量在t时间内所经历的电角度为，即t第 5 章单相正弦交流电路它的单位是弧度/秒（rad/s）。在一个周期T内，正弦量经历的电角度为2弧度，见图5-5，所以可得角频率与频率的关系式为fT22上式表示T、f、三个物理量之间的关系，只要知道其中之一，另两个均可求出。三者中任一个均可作为描述正弦量变化快慢的一个要素。
13、第 5 章单相正弦交流电路【例5.2】求出我国工频交流电的周期T和角频率。解：因我国的工频为50 Hz，故有02.05011fTs3145022frad/s 第 5 章单相正弦交流电路【例5.3】已知某正弦交流电压为u=311 sin628t V，求该电压的最大值、角频率、频率和周期各为多少。解：对照正弦电压的一般表达式，可得Um=311 V=628 rad/s10014.326282fHz01.010011fTs第 5 章单相正弦交流电路5.2.3 相位和初相相位和初相瞬时值表达式中的(t+)这个电角度是时间的函数，称为正弦量的相位角或相位。相位是表示正弦量某一时刻所处状态的物理量，它不仅确
14、定瞬时值的大小和方向，还能表示出正弦量的变化趋势。是t=0时的相位角，称为初相位角或初相位，简称初相。它是正弦量在计时起点时的相位，确定了正弦量在计时起点时的状态。计时起点选择的不同，相位和初相都不同。我们规定初相的绝对值不能超过，即|。相位和初相通常用弧度来表示，但工程上也允许用度来表示。第 5 章单相正弦交流电路正弦量在一个周期内瞬时值两次为零时有如下规定:由负值向正值变化之间的一个零叫做正弦量的零值。如果取正弦量的零值瞬间为计时起点，则=0。初相为正，即t=0时正弦量的瞬时值为正，它在计时起点之前已经达到零值，即零值出现在坐标原点之左。同理，初相为负，即零值出现在坐标原点之右，图5-6给
15、出几种不同初相值的正弦电流的解析式和波形图。第 5 章单相正弦交流电路图5-6 几种不同初相值的正弦电流第 5 章单相正弦交流电路因为正弦量的瞬时值是对应于所选的参考方向而言的，所以正弦量的初相、相位以及解析式也都对应于所选的参考方向而言。同一正弦量，参考方向选的相反，瞬时值异号，解析式也异号。由于Um sin(t+)=Um sin(t+)即参考方向选的相反，其结果是将初相和相位加上或减去，而不会改变幅值和角频率。因此，在确定初相之前既要选定计时起点又要选定参考方向。综上所述，振幅值（有效值）、频率（周期或角频率）、初相是正弦量的三要素。第 5 章单相正弦交流电路【例5.4】在选定的参考方向下
16、，已知两正弦量的解析式为i=5 sint A，u=100 sin(t+240)V写出每个正弦量的振幅值和初相。解：i=5 sint表达式中的幅值小于零，做如下变换：i=5 sint=5 sin(t+)A其振幅值Im=5 A，初相i=180。已知u=100 sin(t+240)，因为其初相绝对值大于，故应写成u=100 sin(t+240)=100 sin(t120)V其振幅值Um=100 V，初相u=120。第 5 章单相正弦交流电路【例5.5】在选定的电压参考方向下，已知电路一元件上的电压是正弦量，其频率 f=50 Hz，它的解析式为 V，分别求t=2 s时和t=时电压的大小、实际方向。解：
17、（1）当t=2 s时，)4sin(311tu)42502sin(311u)4200sin(3114sin31122311=220 V第 5 章单相正弦交流电路u为正值，即电压的实际方向与参考方向一致，其大小为220 V。（2）当t=时，)4sin(311uV 220)22(311u为负值，即电压的实际方向与参考方向相反，其大小为220 V。第 5 章单相正弦交流电路【例5.6】已知某正弦电压在t=0时为 V，初相为30，求其有效值。解：设此正弦电压表达式为u=Um sin(t+30)当t=0时，2110V 211030sinmUuV 22205.0211030sin)0(muU第 5 章单相正
18、弦交流电路所以,其有效值为V 220222202mUU可以证明：在线性电路中，如果电路的全部输入信号都是同一频率的正弦量，那么它们在电路中所引起物理量的变化也将是同一频率的正弦量，但往往有一定的相位差。此时一般只考虑它们之间的相位差，并不在意它们的初相。例如在一个正弦交流电路中，电压u和电流i的频率是相同的，但初相不相同，如图5-7所示。图中u和i的波形写成解析式为第 5 章单相正弦交流电路图 5-7 初相不等的正弦电压和电流第 5 章单相正弦交流电路 u=Um sin(t+u)i=Im sin(t+i)它们的初相位分别为u和i。由图5-7可以看出：电压比电流先到达零值、最大值、另一个零值等。
19、为了描述这样的先后关系，我们引入了相位差这个概念。两个同频率正弦量的相位角之差或初相位角之差，称为相位差，用表示。第 5 章单相正弦交流电路设u1=Um1 sin(t+1),u2=Um2 sin(t+2)，则相位差=(t+1)(t+2)=12。可见，同频率正弦量的相位差是不随时间改变的，等于它们的初相之差。在具体计算时，为了简便起见，可令其中一个正弦量为参考正弦量，即把它的零点作为计时起点。那么其他正弦量的初相可由它们与参考正弦量的相位差推导得出，各正弦量必须以同一瞬间为计时起点才能比较相位差，故一个电路中，只能选一个正弦量作为参考正弦量。第 5 章单相正弦交流电路原则上说，参考相量的选定是任
20、意的，但为了分析方便，我们尽可能地选择各个元件上都相同的量做参考相量。例如，串联电路一般取电流为参考相量，并联电路一般取电压为参考相量。由图5-7中的正弦波形可见，因为u和i的初相位不同，所以它们的变化步调是不一致的，即不是同时到达正的振幅值或零值。图中ui，所以u较i先到达正的幅值。这时我们说，在相位上u比i超前角，或者说i比u滞后角。其中=ui，是一个代数量，规定|，否则将引起混淆。第 5 章单相正弦交流电路初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做同相。它们的变化步调一致，同时到达零值和最大值，如图5-8中的i1和i2。相位差为180的两个正弦量叫做反相。当它们中的一个
21、正弦量达到正的最大值时，另一个达到负的最大值，如图5-8中的i1和i3。相位差为90的两个正弦量叫做正交。第 5 章单相正弦交流电路图5-8 正弦量的同相与反相第 5 章单相正弦交流电路【例5.7】已知 求u的初相，并通过计算确定u和i的相位关系。解：即u的初相为u=150,有ui=150(90)=60，表明u比i超前60，即u比i滞后60。)210sin(2220tuV)90sin(25tiA)150sin(2220)210sin(2220ttuV第 5 章单相正弦交流电路 5.3 复数的相关知识复数的相关知识5.3.1 复数的实部、复数的实部、虚部和模虚部和模令一直角坐标系的横轴表示复数的
22、实部，称为实轴，以+1为单位；纵轴表示虚部，称为虚轴，以+j为单位。实轴与虚轴构成的平面称为复平面。这样，每一个复数在复平面上可以找到唯一的一点与之对应；而复平面上的每一个点也都相应地对应一个复数，即复数和复平面中的点是一一对应的关系。复平面内点的横、纵坐标分别对应着复数的实部和虚部。如复数A=a+jb可以用图5-9中的点A来表示。第 5 章单相正弦交流电路 图5-9 复数的相量表示第 5 章单相正弦交流电路复数还可以用复平面中的一个矢量（即连接原点到表示该复数点的矢量）来表示。如复数A=a+jb就可以用从原点O至A点的矢量OA来表示，这种矢量称为复矢量，如图5-9所示。任意一个复数A=a+j
23、b均对应一个复矢量OA，而复平面内的每个复矢量也唯一地表示一个复数。矢量的长度r称为复数A的模，模总是取正值。矢量与实轴正方向的夹角称为复数A的幅角。第 5 章单相正弦交流电路由图5-9可见，复矢量的模和幅角与复数的实部和虚部的关系为22barabarctan规定：幅角的绝对值小于180。由三角函数可知：a=r cosb=r sin第 5 章单相正弦交流电路可见，复数的模在实轴上的投影a就是复数的实部，在虚轴上的投影b就是复数的虚部。这样，复数就又可以写成A=r cos+r sin5.3.2 复数的表达方式复数的表达方式(1)复数的代数形式:A=a+jb (2)复数的三角函数形式:A=r co
24、s+r sin第 5 章单相正弦交流电路(3)复数的指数形式：根据数学中的欧拉公式ej =cos+j sin，复数又可以写成A=rej (4)复数的极坐标形式：在工程上复数常常写为A=r该式称为复数的极坐标形式。因此，一个复数可用上述几种形式来表示，它们之间可以进行相互转换。第 5 章单相正弦交流电路【例5.8】写出下列复数的代数形式。（1）536.9;（2）5.590;（3）22180解：（1）536.9=5 cos36.9+j5 sin36.9=4+j3（2）5.590=5.5 cos(90)+j5.5 sin(90)=j5.5（3）22180=22 cos180+j22 sin180=2
25、2第 5 章单相正弦交流电路【例5.9】写出下列复数的极坐标形式。（1）3j4;（2）3+j4;（3）j;（4）j;（5）1;（6）1解：（1）5)4(32222bar34arctan正切值小于零，此时角可能出现在第二和第四象限，根据实部和虚部的正负，可以看出应该在第四象限，故 =53.1,3j4=553.1。第 5 章单相正弦交流电路（2）)34arctan()34arctan(幅角5)4(32222bar 应为第二象限的角，故 =126.9。（3）j为模为1与虚轴正半轴重合的复数，故j=190。（4）j=190。（5）1=10。（6）1=1180=1180。第 5 章单相正弦交流电路5.3
26、.3 复数的四则运算复数的四则运算1.复数的加减若两个复数相加减，必须转换为代数形式进行。例如，A1=a1+jb1,A2=a2+jb2,则A1A2=(a1+jb1)(a2+jb2)=(a1a2)+j(b1b2)即复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。第 5 章单相正弦交流电路2.复数的乘除两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。例如A1=a1+jb1=r11,A2=a2+jb2=r22,则 A1A2=r11 r22=r1r2(1+2)(2121221121rrrrAA即复数相乘（相除）就是将它们的模相乘（相除），幅角相加（相减）。第 5 章单相正弦交流电路下面介绍一
27、下旋转因子。复数ej=1是一个模为1而幅角为的复数。根据复数的乘法法则，任意复数A=rej ej=rej(+)=r+，可见任何一个复数乘上ej，就相当于将原复数所对应的矢量逆时针旋转了角，但其模保持不变。故ej称为旋转因子。由例5.9中j=190可以看出，若任一个复数乘以j，那么就等于把这个复数的幅角加上90，对应的矢量在复平面上逆时针旋转90；乘以j即是减去90，复矢量顺时针旋转90。这两个旋转因子在电感和电容电路中常会用到。在三相电路的分析计算中，常引用=120这个旋转因子。第 5 章单相正弦交流电路 5.4 正弦量的表示法正弦量的表示法一个正弦量可采用几种不同的方法来表示，目的是便于分析
28、问题和解决问题。最常用的有正弦量的解析式表示法（三角函数表示法）、正弦量的波形图表示法（正弦曲线表示法）和正弦量的相量表示法。前两种表示法都反映了正弦量的三要素，表示出正弦量的瞬时值随时间变化的关系，但在分析和计算交流电路时这两种方法就显得非常烦琐了，因而常用相量法。第 5 章单相正弦交流电路1.解析式表示法在前面的讨论中，用三角函数式表示正弦交流电的方法就叫做解析式法,如u=Um sin(t+u)、i=Im sin(t+i)等。这种方法完整地表示了正弦量的三要素。【例5.10】已知一个正弦电压 V，求：（1）该正弦电压的三要素；（2）t=0.01 s时的瞬时值。解：（1）将该式与u=Um s
29、in(t+u)作比较，可以清楚地看出：U=220 V)30314sin(2220tu第 5 章单相正弦交流电路=314 rad/s 或5014.323142fHz初相=30（2）将t=0.01 s代入瞬时值表达式有)3001.0100sin(2220)01.0(u)30sin(222030sin22202110第 5 章单相正弦交流电路2.波形图利用平面直角坐标系中画出正弦曲线来表示正弦交流电的方法叫做波形图法，如图5-7 所示。横坐标通常是表示时间t或角度t，纵坐标为正弦量的瞬时值。波形图可以直观地表达正弦量的三要素。【例5.11】某一正弦量的波形图如图5-10所示，试写出：（1）该正弦量的
30、三要素；（2）该正弦量的瞬时值表达式。解：（1）设正弦电压的解析式为u=Um sin(t+)第 5 章单相正弦交流电路由图可以看出半个周期为1 s，所以T=2 sV 43sin25turad/s 2T（2）根据（1）的分析计算，该正弦电压的瞬时值表达式为432275.0第 5 章单相正弦交流电路图5-10 例5.11图第 5 章单相正弦交流电路因为零点出现在计时起点之后0.75 s，所以初相角为43u(0)=5 V又因为5)430sin()0(mUu所以 25mUV 第 5 章单相正弦交流电路3.相量法在正弦交流电路中，用复数表示正弦量，并用于正弦交流电路分析计算的方法称为相量法。设有一正弦电
31、压u=Um sin(t+)，其波形如图5-11所示，左图是一有向线段OA。在直角坐标系中，有向线段的长度代表正弦量的幅值Um，它的初始位置（t=0时的位置）与横轴正方向之间的夹角等于正弦量的初相位，并以正弦量的角频率沿逆时针方向旋转。第 5 章单相正弦交流电路图5-11 用旋转有向线段来表示正弦量第 5 章单相正弦交流电路可见，这一旋转有向线段具有正弦量的三个特征，故可用来表示正弦量。正弦量在某时刻的瞬时值就可以由这个旋转有向线段于该瞬时在纵轴上的投影表示出来。例如，在t=0时，u0=Um sin；在t=t1时，u1=Um sin(t1+)。正弦量可用旋转矢量表示，而矢量可用复数表示。为了能体
32、现旋转特性，我们就可以用一个乘以旋转因子的复数来表示正弦量，比如若是以的角速度旋转，则应乘以旋转因子ejt。复数的模即为正弦量的幅值或有效值，复数的幅角即为正弦量的初相位。第 5 章单相正弦交流电路为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大写字母上打“”，于是表示正弦电压u=Um sin(t+)的相量为mmmeUUUjUUUje是电压的最大值相量，是电压的有效值相量。最大值相量与有效值相量的关系为mUUUU2m第 5 章单相正弦交流电路注意：相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。图5-11中的旋转有向线段是初始位置的有向线段，表示它的复数只有两个特征，即模和幅角。故正弦量的
33、第三个要素角频率需另加说明。按照正弦量的大小和相位关系用初始位置的复相量画出的若干个相量的图形，称为相量图。在相量图上能清楚地看出各个正弦量的大小和相互间的相位关系。例如，在图5-7中用正弦波形表示的电压u电流i两个正弦量，用相量图表示则如图5-12所示。电压相量比电流相量超前角，也就是正弦电压u比正弦电流i超前 角。UI第 5 章单相正弦交流电路图5-12 电压和电流的相量图第 5 章单相正弦交流电路【例5.12】试写出表示和的相量，并画出相量图。解：分别用有效值相量、和表示正弦电压uU、uV和uW，则tu314sin2220UV)120314sin(2220VtuVUUVUWU220022
34、0UUV)23j21(220120220VUV第 5 章单相正弦交流电路图5-13 例5.12图)23j21(220120220WUV相量图如图5-13所示。第 5 章单相正弦交流电路【例5.13】已知两个电流的相量分别为 A，A，试写出它们的瞬时值表达式。（注：频率相等，均为50 Hz）。解：该例同样告诉大家：相量表达式只能体现正弦量的两个要素，而瞬时值表达式则包含了三要素，故由相量表达式来写瞬时值表达式时，频率要另加说明。6051I90272I第 5 章单相正弦交流电路=2f=250=100 rad/s根据有效值和最大值的关系：A 251mIA 142mI故它们的解析式分别为A)60100
35、sin(251tiA)90100sin(142ti第 5 章单相正弦交流电路 5.5 纯纯 电电 阻阻 电电 路路电阻元件、电感元件和电容元件是基本电路元件。我们生活和生产中所用到的各种家用电器及加工机械，往往是这三种性质负载的不同组合。故掌握这三种基本元件在交流电路中的规律，是分析各种组合电路的基础。这几节将着重研究这三种元件在交流电路中的规律和特点。第 5 章单相正弦交流电路5.5.1 电阻元件上电压和电流的关系电阻元件上电压和电流的关系日常生活中的白炽灯、电炉、电烙铁等都属于电阻性负载，它们与交流电源连接，就构成了纯电阻电路。纯电阻电路是最简单的交流电路，如图5-14所示。在如图所示的电
36、压和电流的关联参考方向下，根据欧姆定律可知u=iR，即每一个瞬间电阻元件上电压与通过它的电流成线性关系。设电阻中通过的电流为iR=ImR sint第 5 章单相正弦交流电路图5-14 纯电阻电路第 5 章单相正弦交流电路则电阻两端电压为 uR=iRR=ImRR sint=UmR sint式中,UmR=ImRR。将上式电流及电压的振幅值分别除以，得UR=IRR比较电压和电流的关系式可见：电阻两端电压和通过它的电流为同频率的正弦量，且电压与电流的有效值（或最大值）的关系符合欧姆定律，电阻电压、电流的波形如图5-15(a)所示。2第 5 章单相正弦交流电路图5-15 电阻元件上的电压和电流(a)波形
37、图；(b)相量图第 5 章单相正弦交流电路如用相量表示电压与电流的关系，则有RRRRR00IRRIUII一般地，若初相不为零，设iR=ImR sin(t+)，其对应的相量为 ，电阻两端电压为uR=ImRR sin（t+)，其相量为 ，即RRIIRRRIURIURR第 5 章单相正弦交流电路该式即为电阻元件上电压和电流的相量表示式，也就是相量形式的欧姆定律。它不仅表明了电压和电流之间的幅值（有效值）关系，而且还包含电压和电流之间的相位关系。电阻元件的电流、电压相量图如图5-15（b）所示，为了清晰起见，将电压和电流画在了不同的起点，实际上它们是重合的。第 5 章单相正弦交流电路5.5.2 电阻元
38、件的功率电阻元件的功率1.瞬时功率在纯电阻交流电路中，在关联的参考方向下，任意瞬间电阻元件上电压瞬时值与电流瞬时值的乘积叫做该电阻元件吸收的瞬时功率。瞬时功率用小写字母p表示，即ttIUiupsinsinmRmRRR22cos1sinmRmR2mRmRtIUtIUtIUIU2cosRRRR第 5 章单相正弦交流电路可以看出：瞬时功率p是时间的函数，其波形图如5-16所示，由于电阻电压与电流同相，所以当电压、电流同时为零时，瞬时功率也为零；电压、电流到达最大值时，瞬时功率达最大值。且在任何瞬时，恒有p0，说明无论交流电压和电流大小及方向如何改变，电阻总是消耗功率的，是一种耗能元件。电能转化成热能
39、是一个不可逆过程。第 5 章单相正弦交流电路图5-16 电阻元件瞬时功率的波形图第 5 章单相正弦交流电路2.平均功率瞬时功率虽然表明了电阻中消耗功率的瞬时状态，但不便于表示和比较大小，所以工程中常用瞬时功率在一个周期内的平均值表示功率，称为平均功率，用大写字母P表示。由图5-16可见：RURIUIIUP22mm2平均功率的单位是瓦（W），也常用千瓦（kW）。平均功率又称为有功功率，反映了电阻负载实际消耗的功率，通常所说的功率就指的是平均功率。例如灯泡的功率40 W、电炉的功率100 W等均指的就是平均功率。第 5 章单相正弦交流电路【例5.14】一电阻R=10，两端电压为求R中的电流iR、I
40、R及R消耗的功率，并作电压和电流的相量图。解：电压的相量表达式为V，则根据电阻元件上电压和电流的相量表达式有V)60sin(2220Rtu60220RUA60221060220RRUIR第 5 章单相正弦交流电路所以IR=22 A，消耗的功率为 P=URIR=22022=4840 W相量图如图5-17所示。图5-17 例5.14A)60sin(222Rti第 5 章单相正弦交流电路 5.6 纯纯 电电 感感 电电 路路5.6.1 电感元件上电压和电流的关系电感元件上电压和电流的关系一线圈，若忽略电阻和分布电容的影响，那么线圈就仅含有电感。将这样的线圈与正弦交流电源相接，组成纯电感电路，如图5-
41、18所示。在图5-18所示的电压和电流的关联参考方向下，电压和电流的关系为tiLuLL第 5 章单相正弦交流电路图5-18 纯电感电路(a)电路图；(b)电流变化率示意图第 5 章单相正弦交流电路设电感中通过的电流为iL=ImL sint，即初相为零，我们利用图5-19和上式把每一个周期的电流变化分成四个1/4周期来分析此时的电压表达式。图5-19 电感元件上的电压和电流(a)波形图；(b)相量图第 5 章单相正弦交流电路(1)在，即第一个1/4周期内，电流从零增加到正的振幅值，即，且起始的时候最大，以后逐渐减小直至到零，所以是从正的最大值逐渐变为零。(2)在，第二个1/4周期内，电流从正的振
42、幅值减小到零，即，从零逐渐变到负的最大值，所以uL是从零逐渐变到负的振幅值。20 0LtitiLuLL20Lti第 5 章单相正弦交流电路(3)在，第三个1/4周期内，电流从零变到负的振幅值，此时电流的变化率，且从负的振幅值增加到零，所以uL也从负的振幅值增加到零。(4)在期间，第四个1/4周期内，电流从负的振幅值增加到零，即，且从零增加到正的振幅值，所以uL也从零增加到正的振幅值。电压uL和电流iL的波形图如图5-19（a）所示。23 0Lti2230Lti第 5 章单相正弦交流电路很显然，电压的相位超前电流90，即电压的解析式为)2sin(mLLtUu大量的实验已经证明:在纯电感电路中，在
43、频率一定的情况下，我们发现通过电感的电流随着电压的改变而改变，但它们的有效值之比是一个定值。在不同的电感上，这个值越大，就意味着加相同的电压，通过的电流越小,所以该值表征了电感对电流的阻碍作用。我们采用感抗来表征这种阻碍作用，用XL表示,故有第 5 章单相正弦交流电路LLLIUX 那么XL的大小取决于哪些因素呢？实验发现：XL的大小正比于电感量和电路中交流量的频率，即XL=L=2fL 感抗是交流电路中的一个重要概念，它表示线圈对交流电流阻碍作用的大小,单位为欧姆（）。从XL=2fL可知，感抗的大小与线圈本身的电感量L和通过线圈电流的频率有关。第 5 章单相正弦交流电路f越高，XL越大，意味着线
44、圈对电流的阻碍作用越大；f越低，XL越小，即线圈对电流的阻碍作用也越小。当f=0时XL=0，表明线圈对直流电流相当于短路。这就是线圈本身所固有的“直流畅通，高频受阻”特性。由于这个特性，电感线圈在电子及电工技术中有着广泛的应用。综上所述：电感两端电压和通过它的电流也是同频率的正弦量，电压的相位超前电流90，电压与电流在数值上满足IL=UL/XL，它在形式上与欧姆定律相似，表明了电感元件上电压与电流有效值之间的关系。第 5 章单相正弦交流电路5.6.2 电感元件电压和电流的相量表达式电感元件电压和电流的相量表达式用相量来表示电压和电流为LLLLLLLj900IXIXUII一般地，若初相不为零，设
45、iL=ImL sin(t+)，其对应的相量为LLII第 5 章单相正弦交流电路电感两端电压为)2sin(LmLLtXIu其相量为LLLLL)2(IjXIXU即LLLjIXU第 5 章单相正弦交流电路该式即为电感元件上电压和电流的相量表示式，它不仅表明了电压和电流之间的幅值（有效值）关系，而且还包含了电压和电流之间的相位关系。电感元件的电流、电压相量图如图5-19（b）所示。5.6.3 电感元件的功率电感元件的功率1.瞬时功率知道了电压u和电流i的变化规律和相互关系后，便可找出瞬时功率的变化规律，即第 5 章单相正弦交流电路tItUiuppsin)2sin(mLmLLLLtIUtIU2sin2s
46、in21LLmLmL可见，电感元件的瞬时功率pL仍是一个按正弦规律变化的正弦量，只是变化频率是电源频率的两倍。其功率曲线如图5-20所示。从功率波形图可看出，正弦交流电路中的理想电感不断地与电源进行能量交换，但却不消耗能量。第 5 章单相正弦交流电路图5-20 纯电感电路瞬时功率的波形图第 5 章单相正弦交流电路2.平均功率由图5-20可见，电感元件的平均功率为PL=0 说明纯电感元件在交流电路中仅有能量的交换而没有能量的损耗。3.无功功率纯电感L虽不消耗功率，但是它与电源之间有能量交换。工程中为了表示能量交换的规模大小，将电感瞬时功率的最大值定义为电感的无功功率，用QL表示，用来衡量电源与电
47、感元件之间能量交换的最大速率，即L2LL2LLLLXUXIIUQ第 5 章单相正弦交流电路QL的单位是乏（var）。无功功率并不是“无用”的功率，它的含义是表示电源与电感性负载之间能量的交换。许多设备在工作中都和电源存在着能量的交换。如异步电动机、变压器等要依靠磁场的变化来工作，磁场的变化会引起磁场能量的变化，这就说明设备和电源之间存在能量的交换。因此发电机除了发出有功功率以外，还要发出适量的无功功率以满足这些设备的需要。第 5 章单相正弦交流电路5.6.4 电感元件中储存的磁场能量电感元件中储存的磁场能量交流电源加在电感上，电流从零上升到某一值时，电源供给的能量就储存在磁场中，其储存的能量为
48、 2LL21LiW【例5.15】把一个电感量为0.35 H的线圈，接在的电源上，试求：（1）线圈中电流瞬时值表达式；（2）线圈的无功功率QL；（3）作出电压和电流的相量图。V)60100sin(2220tu第 5 章单相正弦交流电路解：（1）电压u所对应的相量为V 60220LU11035.0100LLX根据电感元件上电压和电流的相量关系式，有A)30(211090160220jLLLXUI因此通过线圈的电流瞬时值表达式为第 5 章单相正弦交流电路A)30100sin(22Lti（2）QL=ULIL=2202=440 var（3）电压和电流的相量图见图5-21。【例5.16】一正弦电流i=2
49、sin(100t+45)A通过电感量为0.191 H的电感线圈，求：在电感上产生的电压的大小，并写出其瞬时值表达式。解：电流的相量为A 452LI第 5 章单相正弦交流电路图5-21 例5.15图第 5 章单相正弦交流电路电感的感抗为XL=L=1000.191=601352604529060jLLLIXU所以电压的大小为V 260LU瞬时值表达式为uL=120 sin(100t+135)V 第 5 章单相正弦交流电路【例5.17】已知一电感接在的正弦电压上，在关联参考方向下，通过它的电流为，f=50 Hz，求XL和L。解：利用电压和电流有效值之间的关系：V 9.36100UA 1.532I50
50、2100LLLIUX电感量：H 159.05014.32502LfXL第 5 章单相正弦交流电路 5.7 纯纯 电电 容容 电电 路路5.7.1 电容元件上电压和电流的关系电容元件上电压和电流的关系当一电容元件外接正弦电压时，就组成纯电容电路，如图5-22所示。图5-22 纯电容电路第 5 章单相正弦交流电路在图5-22所示的电压和电流的关联参考方向下，当电压发生变化时，电容器极板上的电荷也随之发生变化，在电路中就引起电流：tuCiCC设电容两端的电压为uC=UmC sint，用分析电感中电压和电流关系的方法可得iC=ImC sin(t+)实验证明：纯电容交流电路中电压和电流的有效值之间也满足
