1、2.4 直线与平面以及两平面的相对位置 2.4.1 直线与平面以及两平面平行直线与平面以及两平面平行 2.4.2 直线与平面以及两平面相交直线与平面以及两平面相交 2.4.3 直线与平面以及两平面垂直直线与平面以及两平面垂直 2.4.4 点、直线、平面的综合作图题示例点、直线、平面的综合作图题示例2.4.1 直线与平面以及两平面平行几何条件几何条件若一直线与某平面上任一直线平行，则此直线与该平面平行。若一直线与某平面上任一直线平行，则此直线与该平面平行。直线与平面平行PABCDEFf c d e cdefb a ab 若一直线与某平面平行，则在平若一直线与某平面平行，则在平面上必能作出直线与原
2、直线平行。面上必能作出直线与原直线平行。PABCDEFf c d e cdefb a ab几何条件几何条件例：过已知点例：过已知点E E作水平线与平面作水平线与平面ABCABC平行。平行。f fe eabcda b c d f fe eabca b c 如平面为铅垂面，应如何作？如平面为铅垂面，应如何作？例：判断直线例：判断直线EFEF是否和平面是否和平面ABCABC平行。平行。f fe eabca b c 例：过点例：过点K K作平面平行于二交叉直线作平面平行于二交叉直线ABAB和和CDCD。d dk kabca b c 1 2 12例：过点例：过点K K作平面平行于二交叉直线作平面平行于二
3、交叉直线ABAB和和CDCD。d dk kabca b c 1 2 12343 4 若两平面内各有一对若两平面内各有一对相交相交直线直线对应对应平行，则两平面互相平行。平行，则两平面互相平行。几何条件几何条件平面与平面平行BCAPQEDFd de eabca b c f f 若已知两平面平行，则若已知两平面平行，则如在第一平面内任取一条直如在第一平面内任取一条直线，在第二平面内必能作出线，在第二平面内必能作出一条直线和该直线平行。一条直线和该直线平行。BCAPQD几何条件几何条件f例：判断两平面是否互相平行。例：判断两平面是否互相平行。f e eabca b c dd 1 12 2 例：判断两
4、平面是否互相平行。例：判断两平面是否互相平行。要判断两平面要判断两平面平行，必须作两平行，必须作两对相交直线对应对相交直线对应平行。平行。如所作第一对如所作第一对直线即不平行，直线即不平行，即可断定两平面即可断定两平面不平行。不平行。cff e eaba b c dd 1 12 2例：过点例：过点K K作平面与作平面与ABCABC平面平行。平面平行。abca b c kk 1 12 2例：过点例：过点K K作平面与作平面与ABCABC平面平行。平面平行。abca b c kk 1 12 2433 4 dd 两铅垂面平行和不平行实例两铅垂面平行和不平行实例p pq qpqp q 平 行不平行例：
5、过直线例：过直线ABAB、CDCD各作一平面，使它们互相平行。各作一平面，使它们互相平行。abca b c dd f fee 例：过直线例：过直线ABAB、CDCD各作一平面，使它们互相平行。各作一平面，使它们互相平行。abca b c dd f fee PABKABCMN交交 点点 直线和平面的直线和平面的共有点共有点交交 线线 两平面的两平面的共有线共有线（两个共有点）（两个共有点）P2.4.2 直线与平面以及两平面相交 参与相交的两元素中，参与相交的两元素中，至少有一个垂直至少有一个垂直于某投影面于某投影面，其投影有，其投影有积聚性积聚性，这种情况为，这种情况为特殊位置的相交，作图较为简
6、便。特殊位置的相交，作图较为简便。特殊位置的相交直线与特殊位置平面相交直线与特殊位置平面相交 直线与平面相交，当平面的投影有积聚性时，交点的直线与平面相交，当平面的投影有积聚性时，交点的一个投影已知，另一投影用一个投影已知，另一投影用线上取点线上取点的方法求出。的方法求出。ABKPHabkabpa b p kk abpa b p kk 直观判别法交点两侧可见性相反可见性判别可见性判别()abpa b p kk 重影点判别法交点两侧可见性相反211 2 可见性判别可见性判别m bABPHaCcMNm平面与特殊位置平面相交平面与特殊位置平面相交nabpa b p c cmnn 两平面相交，当其中一
7、个平面投影有积聚性时，交线两平面相交，当其中一个平面投影有积聚性时，交线的一个投影已知，另一投影用的一个投影已知，另一投影用面上取线面上取线的方法求出。的方法求出。bABPHaCcMNm 甲乙两平面相交，两平面的可见甲乙两平面相交，两平面的可见性总是性总是以交线为界以交线为界，若交线的一侧为，若交线的一侧为甲面可见，另一侧必为乙面可见。甲面可见，另一侧必为乙面可见。nabpa b p c cmnm n 可见性判别可见性判别直观判别法abpa b p c cmnm n 可见性判别可见性判别重影点判别法21()1 2 判别规则判别规则：u 同一直线上交点两侧同一直线上交点两侧可见性相反。可见性相反
8、。u 通过每一交叉点（重通过每一交叉点（重影点）的两条直线可见影点）的两条直线可见性相反。性相反。m 例例 求两平面交线，判别可见性求两平面交线，判别可见性abpa b p c cmnn 例例 求两平面交线，判别可见性求两平面交线，判别可见性例例 求平面求平面ABCABC与平面与平面P P的交线的交线迹线面参与相交时，不判别可见性迹线面参与相交时，不判别可见性。m aba b c cmnn PV例例 求平面求平面ABCABC与平面与平面P P的交线的交线迹线面参与相交时，不判别可见性迹线面参与相交时，不判别可见性。m aba b c cmPV 直线与平面相交，当直线直线与平面相交，当直线的投影
9、有积聚性时，交点的一的投影有积聚性时，交点的一个投影已知，另一投影用个投影已知，另一投影用面上面上取点取点的方法求出。的方法求出。投影面垂直线与平面相交投影面垂直线与平面相交Kkdm(n)bABHaCcDMNm(n)bacdm a b c n d kk 121 2()ee 参与相交的两元素参与相交的两元素都不垂直于投影面都不垂直于投影面，其投，其投影影都没有积聚性都没有积聚性，这种情况为一般位置的相交。，这种情况为一般位置的相交。一般位置的相交H一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交MNKDFEABP辅助平面辅助平面badea b d e f fH一般位置直线与一般位置平
10、面相交一般位置直线与一般位置平面相交ABPDFEMNK辅助平面法作图步骤辅助平面法作图步骤包含已知直线作辅助平面包含已知直线作辅助平面求辅助平面与已知平面的交线求辅助平面与已知平面的交线求此交线与已知直线的交点求此交线与已知直线的交点12mnn m baH用铅垂面作辅助面ABPDFEMNKdea b d e f fPHkk 1 2()d kmnn m ba用正垂面作辅助面dea b e f fQVk 3 3 4()4 线面交点法线面交点法 三面共点法三面共点法 求两平面的交线，只要求出两平面的求两平面的交线，只要求出两平面的两个公共点两个公共点或或一个公共点和交线的方向一个公共点和交线的方向。
11、两一般位置平面相交两一般位置平面相交QP 在相交的两平面内在相交的两平面内任取任取两条直线，分别求两条直线，分别求出它们与另一平面的交出它们与另一平面的交点，连接起来即为两平点，连接起来即为两平面的交线。面的交线。线面交点法MEFDNCABmm bc c例例 求平面求平面ABC与平面与平面DEF的交线。的交线。d adea b e f fPHbc c例例 求平面求平面ABC与平面与平面DEF的交线。的交线。d adea b e f fQVmm nn 2 1 ()nmm n bc c例例 求平面求平面ABC与平面与平面DEF的交线。的交线。d adea b e f f1 2nmm n bc c例
12、例 求平面求平面ABC与平面与平面DEF的交线。的交线。d adea b e f f343 4()三面共点法r rs sPVQVlkk l bc cd adea b e ff g h gh2.4.3 直线与平面以及两平面垂直P直线与平面垂直几何条件几何条件MNKL1L2如果一直线垂直于平如果一直线垂直于平面内的一对相交直线，面内的一对相交直线，则此直线垂直于该平面则此直线垂直于该平面直线与平面垂直几何条件几何条件如果一直线垂直于平如果一直线垂直于平面内的一对相交直线，面内的一对相交直线，则此直线垂直于该平面则此直线垂直于该平面PMNL1L2K直线与平面垂直几何条件几何条件PMNL1L2K如果一
13、直线垂直于平如果一直线垂直于平面内的一对相交直线，面内的一对相交直线，则此直线垂直于该平面则此直线垂直于该平面直线与平面垂直几何条件几何条件如果一直线垂直于某如果一直线垂直于某平面，则此直线垂直于平面，则此直线垂直于该平面内的任意直线该平面内的任意直线PMNL1L2PPHPVHV投影特性投影特性 如果一直线的如果一直线的正面投影正面投影垂直垂直于一平面内于一平面内正平线的正面投影正平线的正面投影，同时其同时其水平投影水平投影垂直于该平面内垂直于该平面内水平线的水平投影水平线的水平投影，则该直线垂，则该直线垂直于该平面。直于该平面。DABCMN投影特性投影特性bc caa b mm nn dd
14、如果一直线的如果一直线的正面投影正面投影垂直垂直于一平面内于一平面内正平线的正面投影正平线的正面投影，同时其同时其水平投影水平投影垂直于该平面内垂直于该平面内水平线的水平投影水平线的水平投影，则该直线垂，则该直线垂直于该平面。直于该平面。投影特性投影特性 如果一直线垂直于一平面，如果一直线垂直于一平面，则该直线的则该直线的正面投影正面投影垂直于该平垂直于该平面内面内正平线的正面投影正平线的正面投影，该直线，该直线的的水平投影水平投影垂直于该平面内垂直于该平面内水平水平线的水平投影线的水平投影。PPHPVHVDABCMN例例 过过M M点作直线点作直线MNMN垂直于平面垂直于平面ABCDABCD
15、。bc caa b mm nn dd ee 例例 过点过点K K作平面垂直于直线作平面垂直于直线ABAB。baa b kk 1 122 例例 过点过点K K作直线作直线KLKL与直线与直线ABAB垂直相交。垂直相交。KL实长即为点实长即为点到直线的距离到直线的距离BAKLb2 2aa b 11 ll k k例例 判断直线是否垂直于平面。判断直线是否垂直于平面。baa b dcc d mnm n e f efn 特殊位置的线面垂直问题 当直线垂直于某投影当直线垂直于某投影面垂直面时，则此直线必面垂直面时，则此直线必为该投影面平行线。为该投影面平行线。VHOXPmnm MN特殊位置的线面垂直问题p
16、p mnm n PVPHmnm n p pmnm(n)P 如果一直线垂直如果一直线垂直于一平面，则包含此于一平面，则包含此直线的一切平面都与直线的一切平面都与该平面垂直。该平面垂直。平面与平面垂直几何条件几何条件ABPQK 如果两平面互相垂直，则从一平面上任一点向如果两平面互相垂直，则从一平面上任一点向另一平面所作的垂线必在前一平面上。另一平面所作的垂线必在前一平面上。几何条件几何条件LPQKL例例 过点过点K K作一平面垂直平面作一平面垂直平面ABCDABCD。k kbaa b dcc d 121 2 ee 例例 包含直线包含直线MNMN作平面垂直于平面作平面垂直于平面ABCABC。baa
17、b cc m n nmll 例例 判断下图中两平面是否垂直。判断下图中两平面是否垂直。baa b dcc d ee f fg g例例 判断下图中两平面是否垂直。判断下图中两平面是否垂直。baa b dcc d ee f f2.4.4 点、直线、平面的综合作图题示例基本作图u 过点作直线平行于已知平面过点作直线平行于已知平面无数解基本作图u 过点作平面平行于已知平面过点作平面平行于已知平面唯一解基本作图u 过点作平面平行于已知直线过点作平面平行于已知直线无数解基本作图u 过直线作平面平行于已知直线过直线作平面平行于已知直线唯一解基本作图u 直线与特殊位置平面相交直线与特殊位置平面相交基本作图u
18、平面与特殊位置平面相交平面与特殊位置平面相交基本作图u 直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交重影点法辅助平面法1 1 2()2 基本作图u 两个一般位置平面相交两个一般位置平面相交线面交点法线面交点法 利用两次利用两次辅助平面法辅助平面法求两个交点求两个交点三面共点法三面共点法 利用利用三面共点原理三面共点原理基本作图u 过点作直线垂直于已知平面过点作直线垂直于已知平面过平面外一点基本作图u 过点作直线垂直于已知平面过点作直线垂直于已知平面过平面内一点基本作图u 过点作直线垂直于已知平面过点作直线垂直于已知平面过平面内一点基本作图u 过点作平面垂直于已知直线过点作平面垂直于已知直线过直
19、线外一点基本作图u 过点作平面垂直于已知直线过点作平面垂直于已知直线过直线上一点基本作图u 过点作平面垂直于已知平面过点作平面垂直于已知平面无数解基本作图u 过直线作平面垂直于已知平面过直线作平面垂直于已知平面唯一解基本作图u 过点作直线和已知直线垂直相交过点作直线和已知直线垂直相交辅助平面法基本作图问题解的个数基本作图问题解的个数 过过 点点 作直线作直线 平行于直线平行于直线 一一 解解 平行于平面平行于平面 无数解无数解 垂直于直线垂直于直线 无数解无数解 垂直于平面垂直于平面 一一 解解 作平面作平面 平行于直线平行于直线 无数解无数解 平行于平面平行于平面 一一 解解 垂直于直线垂直
20、于直线 一一 解解 垂直于平面垂直于平面 无数解无数解c例例 求点求点C到直线到直线AB的距离。的距离。baa b kc k 22 1 1距离实长距离实长2 例例 求点求点K到平面到平面ABC的距离。的距离。cbaa b kc k 21 1ll 求实长求实长距离实长距离实长kk a b c abcll 例例 已知点已知点N与点与点M对称于平面对称于平面ABC，求点，求点N的投影。的投影。cbaa b c 1 12 2kk n nm m例例 等腰三角形等腰三角形ABC，底边为，底边为AB，顶点，顶点C在直线在直线MN上，完上，完成其投影。成其投影。mbaa b c nm n ck k1 12 2
21、例例 已知直线已知直线AB、CD垂直相交，完成垂直相交，完成CD的水平投影。的水平投影。baa b k k1 12 2ll c d dc例例 完成矩形完成矩形ABCD的投影。的投影。baa b 1 12 2c d dcmm 例例 过点过点M作直线与平面作直线与平面ABCD平行，与直线平行，与直线相交。相交。baa b 1 12 2c d dcmm kk 另两种思路另两种思路例例 过点过点M作直线与平面作直线与平面ABCD平行，与直线平行，与直线相交。相交。FM例例 作直线作直线MN平行于直线平行于直线AB，且与直线，且与直线CD、EF都相交。都相交。baa b c d dcefe f mnm n ABCDENGABCDEFMNHgg g eg例例 在直线在直线AB上找一点上找一点C，使其到平面，使其到平面DEF的距离为的距离为15。baa b c d dcfe f ABmm 1 12 215FDECG15祝您成功！
