1、 二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上的最值 例例1、已知函数已知函数f(x)=x22x 3.（1）若）若x 2，0,求函数求函数f(x)的最值；的最值；10 xy2 3例例1、已知函数、已知函数f(x)=x2 2x 3.（1）若）若x 2，0，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；10 xy2 34 1（2）若）若x 2，4，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 3.2x 3.（1 1）若）若xx 2 2，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(
2、x)的最值；的最值；y10 x2 34 1 2125（3）若）若x ,求求 函数函数f(x)的最值；的最值；25,21例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 32x 3（1 1）若）若xx22，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；25,2110 xy2 34 1 232123,21（4 4）若）若xx ，求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值；10 xy2 34 1（5 5）若）若 xxtt，t+
3、2t+2时，时，求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值.tt+2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 3.2x 3.（1 1）若）若xx22，00,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；25,2123,2110 xy2 34 1 tt+2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 3.2x 3.（1 1）若）若x
4、x22，00,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（5 5）若）若xxtt，t+2t+2时，时，求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值.25,2123,2110 xy2 34 1 tt+2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 3.2x 3.（1 1）若）若xx22，00,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx
5、 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（5 5）若）若xxtt，t+2t+2时，时，求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值.25,2123,2110 xy2 34 1 tt+2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 3.2x 3.（1 1）若）若xx22，00,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若
6、xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（5 5）若）若xxtt，t+2t+2时，时，求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值.25,2123,2110 xy2 34 1 tt+2例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 3.2x 3.（1 1）若）若xx22，00,求函数求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（4 4）若）若xx ，
7、求，求 函数函数f(x)f(x)的最值；的最值；（5 5）若）若xxtt，t+2t+2时，时，求函数求函数f(x)f(x)的最值的最值.25,2123,21 评注评注：本本例题例题属于属于 “定定轴轴动动区间区间”的问的问题，可以看作动区间题，可以看作动区间t，t+2沿沿x x轴移动过程轴移动过程中函数最值的变化情中函数最值的变化情况，要分为动区间在况，要分为动区间在定轴的左、右两侧及定轴的左、右两侧及包含定轴的情况，还包含定轴的情况，还要注意开口方向及端要注意开口方向及端点情况。点情况。10 xy2 3 34 1 tt+2例例2 2、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+
8、b-2ax+b，x0,1x0,1，试求函数试求函数f(x)f(x)在在0,10,1的值域的值域.10 xy2 1 10 xy2 1 例例2 2、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+b-2ax+b，x0,1x0,1，试求函数试求函数f(x)f(x)在在0,10,1的值域的值域.10 xy2 1 例例2 2、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+b-2ax+b，x0,1x0,1，试求函数试求函数f(x)f(x)在在0,10,1的值域的值域.10 xy2 1 例例2 2、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+b-2ax+b，x0,1x0,
9、1，试求函数试求函数f(x)f(x)在在0,10,1的值域的值域.10 xy2 1 例例2 2、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+b-2ax+b，x0,1x0,1，试求函数试求函数f(x)f(x)在在0,10,1的值域的值域.本质解读：本质解读：在求闭区间上含有参数的二次函数最值问题在求闭区间上含有参数的二次函数最值问题时，无论属于这两种情况中的哪一种，都是讨论时，无论属于这两种情况中的哪一种，都是讨论“三三点一轴点一轴”的关系，其中的关系，其中“三点三点”指的是区间左右端点指的是区间左右端点和区间中点，一轴指的是对称轴，和区间中点，一轴指的是对称轴，“三点三点”将数轴
10、分将数轴分为四部分，分别研究对称轴在这四部分上时相应函数为四部分，分别研究对称轴在这四部分上时相应函数在所给闭区间上图像的形状，通过数形结合确定取最在所给闭区间上图像的形状，通过数形结合确定取最值的位置。值的位置。例例2 2、已知函数、已知函数f(x)=f(x)=x2 2-2ax+b-2ax+b，x0,1x0,1，试求函数试求函数f(x)f(x)在在0,10,1的值域的值域.评注：评注：例例2 2属于属于“动轴定区间动轴定区间”的问题，看作对称轴沿的问题，看作对称轴沿x x轴轴移动过程中函数最值的变化情况，即对称轴在定区间移动过程中函数最值的变化情况，即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区
11、间上的变化情况，要注的左、右两侧及对称轴在定区间上的变化情况，要注意开口方向及端点情况。意开口方向及端点情况。求二次函数求二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm，nn 上的最值的一般方法是：上的最值的一般方法是：（1）检查对称轴检查对称轴-是否属于区间是否属于区间ab2一、对于不含参数的求最值问题：一、对于不含参数的求最值问题：（3）当f(m)f(m)、f(n)f(n)中的较大中的较大 者是最大值，较小者是最小值者是最大值，较小者是最小值.二、对于含有参数的求最值问题：二、对于含有参数的求最值问题：利用数形结合，通过利用数形结合，通过“三点一轴三点一轴”的关系进行分的关系进行分 类讨论。类讨论。
