1、*第四节第四节 平面场的复势平面场的复势一、用复变函数表示平面向量场二、平面流速场的复势三、静电场的复势四、小结与思考一、用复变函数表示平面向量场平面定常向量场平面定常向量场:向量场中的向量都平向量场中的向量都平行于某一个平面行于某一个平面S,而且在而且在垂直于垂直于S 的任何一条直线的任何一条直线上的所有点处的向量都是上的所有点处的向量都是相等的相等的;场中的向量也都与场中的向量也都与时间无关时间无关.S0S显然显然,向量场在所有平行于向量场在所有平行于S 的平面内的分布情的平面内的分布情况是完全相同的况是完全相同的,可以用可以用So 平面内的场表示平面内的场表示.,0 xoyS 内取定一直
2、角坐标系内取定一直角坐标系在平面在平面oxyAyAxA.yxyxiAAAjAiAA 为复数为复数可表示可表示向量向量 ,表示表示由于场中的点可用复数由于场中的点可用复数iyxz ).,(),()(),(),(yxiAyxAzAAjyxAiyxAAyxyx 示为复变函数示为复变函数可表可表所以平面向量场所以平面向量场.),(),(,),(),(,jyxviyxuAyxivyxuw 场场可作出对应的平面向量可作出对应的平面向量也也已知一个复变函数已知一个复变函数反之反之例如例如,一个平面定常流速场一个平面定常流速场(如河水的表面如河水的表面)jyxviyxvvyx),(),(,),(),()(表示
3、表示可以用复变函数可以用复变函数yxivyxvzvvyx 平面电场强度向量为平面电场强度向量为jyxEiyxEEyx),(),(.),(),()(表示表示可以用复变函数可以用复变函数yxiEyxEzEEyx 二、平面流速场的复势1.流函数流函数:体的流速场体的流速场想流想流是不可压缩的定常的理是不可压缩的定常的理设向量场设向量场 v,),(),(jyxviyxvvyx .),(),(都有连续偏导数都有连续偏导数与与其中速度分量其中速度分量yxvyxvyx如果它在单连域如果它在单连域 B 内是无源场内是无源场(即管量场即管量场),0div yvxvvyx那末那末,yvxvyx 即即流线流线,),
4、(dd 的全微分的全微分为某个二元函数为某个二元函数于是于是yxyvxvxy .dd),(d yvxvyxxy .,xyvyvx ,),(1cyx 因为等值线因为等值线 0,dd),(d yvxvyxxy .dd xyvvxy 所以所以 ,),(1都与等值线相切都与等值线相切上每一点处的向量上每一点处的向量在等值线在等值线场场vcyxv .),(的流函数的流函数称为场称为场函数函数vyx 2.势函数势函数:),(即势量场即势量场内的无旋场内的无旋场又是又是如果如果Bv,0rot v那么那么.0 yvxvxy即即,),(dd 的全微分的全微分为某个二元函数为某个二元函数于是于是yxyvxvyx
5、,dd),(dyvxvyxyx .,yxvyvx .gradv ).(),(或位函数或位函数的势函数的势函数称为场称为场函数函数vyx 等势线等势线(或等位线或等位线),(2cyx 等值线等值线平面流速场的复平面流速场的复势函数势函数(复势复势)柯西柯西 黎曼黎曼方程方程3.平面流速场的复势函数平面流速场的复势函数:,是无旋场是无旋场既是无源场又既是无源场又向量场向量场内内如果在单连域如果在单连域vB ,与与xyvyvx ,同时成立同时成立yxvyvx ,xyyx 比较后得比较后得在单连域内可以作一个解析函数在单连域内可以作一个解析函数).,(),()(yxiyxzfw yxivvv 因为因为
6、yix xix ,)(zf .)(表示表示可以用复变函数可以用复变函数所以流速场所以流速场zfvv 给定一个单连域内的无源无旋平面流速场给定一个单连域内的无源无旋平面流速场,就可以构造一个解析函数就可以构造一个解析函数它的复势与之对它的复势与之对应应;反之反之,如果在某一区域如果在某一区域(不管是否单连不管是否单连)内给内给定一个解析函数定一个解析函数,就有以它为复势的平面流速就有以它为复势的平面流速场对应场对应,并可以写出该场的流函数和势函数并可以写出该场的流函数和势函数,得得到流线与等势线方程到流线与等势线方程,画出流线和等势线的图画出流线和等势线的图形形,即得描绘该场的流动图象即得描绘该
7、场的流动图象.例例1 1.,)0()(数和势函数数和势函数试求该场的速度、流函试求该场的速度、流函实常数实常数为为为为设一平面流速场的复势设一平面流速场的复势 aazzf解解,)(azf 因为因为 ,0)(azfv所以场中任一点的速度所以场中任一点的速度 .轴正向轴正向方向指向方向指向 x ,),(ayyx 流函数流函数;1cy 流线是直线族流线是直线族,),(axyx 势函数势函数.2cx 等势线是直线族等势线是直线族xyo 流线流线等势线等势线 例例2 2.,.)0div ,0div(0div 并画出流动图象并画出流动图象流速场的复势流速场的复势的定常的定常试求由单个源点所形成试求由单个源
8、点所形成的点为洞的点为洞而使而使的点为源点的点为源点有时称使有时称使源点源点的点统称为的点统称为在场论中将散度在场论中将散度 vvv解解.,远处保持静止状态远处保持静止状态在无穷在无穷而其他各点无源无旋而其他各点无源无旋点的源点点的源点内只有一个位于坐标原内只有一个位于坐标原不妨设流速场不妨设流速场 v由对称性由对称性,)(00rrgvz 处的流速处的流速 ,到原点的距离到原点的距离是是其中其中zzr ,0的向径上的单位向量的向径上的单位向量是指向点是指向点 zr .)(是一待定函数是一待定函数rg,0zzr 因为流体不可压缩因为流体不可压缩,21内不可能积蓄内不可能积蓄心的圆环域心的圆环域流
9、体在任一以原点为中流体在任一以原点为中rzr ,21的流量相等的流量相等与与所以流过圆周所以流过圆周rzrz 流过圆周的流量为流过圆周的流量为 rzsrvNd0 rzsrrrgd)(00).(2zgz .称为源点的强度称为源点的强度N .无关的常数无关的常数是与是与 r.2)(zNzg 故故zzzNv 2 流速流速.12zN )(的导数为的导数为复势函数复势函数zf)()(zvzf .12zN ,Ln2)(czNzf 复势函数为复势函数为)(21复常数复常数iccc ,ln2),(1czNyx 于是势函数为于是势函数为.Arg2),(2czNyx 流函数为流函数为xyo)0(N)0(Nxyo蓝
10、色为等势线蓝色为等势线,红色为流线红色为流线.(流动图象如下流动图象如下)解解例例3 3.,.0rot 并画出流动图象并画出流动图象试求该流速场的复势试求该流速场的复势态态无穷远处保持静止状无穷远处保持静止状点点面上仅在原点有单个涡面上仅在原点有单个涡设平设平的点称为涡点的点称为涡点平面流速场中平面流速场中 v与例与例2类似类似,)(0 rhvz 的流速的流速设场内某点设场内某点 ,00垂直的单位向量垂直的单位向量处与处与是点是点rz .)(有关的待定函数有关的待定函数是仅与是仅与zrrh,0ziz 沿圆周的环流量为沿圆周的环流量为 rzsvd0 rzszhd)().(2zhz .无关的常量无
11、关的常量是与是与 r .称为涡点的强度称为涡点的强度 i.2)(zzh ,12 ziv 流速流速,Ln2)(czizf 复势函数为复势函数为)(21iccc .ln2),(2czyx 流函数为流函数为,Arg2),(1czyx 于是势函数为于是势函数为对比例对比例1和例和例2的结果的结果,1 ,iN两者仅差因子两者仅差因子外外换成换成除了常数除了常数 因此因此,只须将例只须将例2图中流线与等势线位置互换图中流线与等势线位置互换,即可得涡点所形成的场的流动图象即可得涡点所形成的场的流动图象.xyo)0(xyo)0(蓝色为流线蓝色为流线,红色为等势线红色为等势线.三、静电场的复势.jEiEEyx
12、设平面静电场设平面静电场当场内没有带电物体时当场内没有带电物体时,静电场无源无旋静电场无源无旋.是无源场是无源场那末根据那末根据 E,),(dd 的全微分的全微分为某个二元函数为某个二元函数于是于是yxuyExExy .dd),(dyExEyxuxy ,0div yExEvyx与讨论流速场一样与讨论流速场一样,),(1都与等值线相切都与等值线相切向量向量上每一点处的上每一点处的在等值线在等值线静电场静电场EcyxuE 就是说就是说,等值线就是向量线等值线就是向量线,即场中电力线即场中电力线.),(的力函数的力函数称为场称为场 Eyxu 是无旋场是无旋场根据根据 E,),(dd 的全微分的全微分
13、为某个二元函数为某个二元函数于是于是yxvyExEyx .dd),(dyExEyxvyx ,0rotn yExEvxyjyvixvv grad jEiEyx .E ).(),(电势或电位电势或电位的势函数的势函数是场是场所以所以Eyxv .),(2就是等势线或等位线就是等势线或等位线等值线等值线cyxv:,黎曼方程黎曼方程满足柯西满足柯西和和则则内的无源无旋场内的无源无旋场是单连域是单连域如果如果 vuBE.,xvyuyvxu 静电场的复势静电场的复势(复电位复电位)在在B内可决定一个解析函数内可决定一个解析函数,)(ivuzfw xuixvE 可以用复势表示为可以用复势表示为场场 E.)(z
14、fi .i 的复势相差因子的复势相差因子静电场的复势和流速场静电场的复势和流速场 利用静电场的复势利用静电场的复势,可以研究场的等势线可以研究场的等势线和电力线的分布情况和电力线的分布情况,描绘出场的图象描绘出场的图象.例例4 4.所产生的静电场的复势所产生的静电场的复势无限长直导线无限长直导线的均匀带电的的均匀带电的为为求一条具有电荷线密度求一条具有电荷线密度Le解解oxy,0 平面平面处垂直于处垂直于在原点在原点设导线设导线zzL,d hhL取微元段取微元段处处上距原点为上距原点为在在hdh .d he则其带电量为则其带电量为因为导线为无限长因为导线为无限长,因此垂直于因此垂直于 xoy
15、平面的任平面的任何直线上各点处的电场强度是相等的何直线上各点处的电场强度是相等的.oxyhdh又因为导线上关于又因为导线上关于 z 平面对称的两带电微元段平面对称的两带电微元段所产生的电场强度的垂直分量相互抵消所产生的电场强度的垂直分量相互抵消,只剩下只剩下与与 xoy 平面平行的分量平面平行的分量.故所产生的静电场为平面场故所产生的静电场为平面场.jEiEEzyx 强度强度的电场的电场先求平面上任一点先求平面上任一点由库仑定律由库仑定律,d 处产生的场强大小为处产生的场强大小为在在微元段微元段zh,dd22hrheE .22yxzr 其中其中rEEd zt ,平面内平面内在在因为所求的电场强
16、度因为所求的电场强度zE ,d 影之和影之和平面上投平面上投在在微元微元所以其大小为所有场强所以其大小为所有场强zE ,dcos22hhrteE .o d 平面的交角平面的交角与与为为其中其中yxEtoxyhdhrEEd z ,tan trh 因为因为,cosdd 2ttrh 所以所以,cos12222rthr 22dcostrteE.2re ,的方向的方向考虑到向量考虑到向量 E.20rreE .2 zeE 用复数表示为用复数表示为iEzf )(.2zei ,1Ln2)(czeizf 复势为复势为)(21iccc .1ln2),(2czeyxv 势函数为势函数为,Arg2),(1czeyxu 于是力函数为于是力函数为 ,0zz 如果导线竖立在如果导线竖立在.1Ln2)(0czzeizf 复势为复势为四、小结与思考 了解复变函数可表示平面向量场了解复变函数可表示平面向量场,对于某单对于某单连通域内给定的平面无源无旋场连通域内给定的平面无源无旋场,可以作出一解可以作出一解析函数析函数(称为该场的复势称为该场的复势),统一研究该场的分布统一研究该场的分布和变化情况和变化情况.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.
