1、1第二节第二节 幂级数幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考2一、幂级数的概念定义定义 ,),2,1()(为为一一复复变变函函数数序序列列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作.)(1 nnzf3)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数最前面n项的和项的和和函数和函数.)(,)(,)()(lim ,001000它的和它的和称为称为收敛收敛在在那末称级数那末称级数存
2、在存在极限极限内的某一点内的某一点如果对于如果对于zszzfzszszDnnnn 4 )()()()(21zfzfzfzsn称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛,那末它的和一定那末它的和一定 :)(zsz的一个函数的一个函数是是5当当()()nnnfzc za或或(),nnnfzc z时函数项级数的特殊情形函数项级数的特殊情形 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(.zczczcczcnnnnn 22101或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.6二、幂级数的敛散性1.收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abe
3、l定理定理)如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz ,z在在收敛收敛,z那末对那末对的的级数必收敛且绝对收敛级数必收敛且绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散,那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足7证证 ,00收敛收敛因为级数因为级数 nnnzc由收敛的必要条件由收敛的必要条件,有有0lim0 nnnzc因而存在正数因而存在正数M,0Mzcnn 有有使对所有的使对所有的n,0zz 如果如果 ,1 0 qzz那末那末8而而nnnnnnzzzczc00 由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知:.0是绝对收敛的是绝对收敛的故级数故级数 nnnz
4、c nnnnnzczczcczc22100收敛收敛.另一部分的证明请课后完成另一部分的证明请课后完成.nMq 证毕证毕9对于一个幂级数对于一个幂级数,其收敛的情况有三种其收敛的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛.10(2)对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此时此时,级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.(3)存在正实数存在正实数R,使得使得|z|R时级数发散时级数发散11xyo.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收
5、敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.12答案答案:.为中心的圆域为中心的圆域是以是以az 幂级数幂级数 0)(nnnazc的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出不能作出一般的结论一般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?13方法方法1 1:比值法比值法,0lim 1 nnncc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R14方法方法2:根值法根值法,0lim nnnc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1
6、 R说明说明:0 0 RR(与比值法相同与比值法相同)如果如果15三、幂级数的运算和性质.,)(,)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 设设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf Rz ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR 16如果当如果当rw时时,)(0nnnwawf又设在又设在Rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg那末当那末当Rz 时时,0.)()(nnnzgazgf说明说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.17 0
7、0)(nnnzzc定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R那末那末(2)(zf在收敛圆在收敛圆Raz 内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,.)()(11 nnnaznczf即即是收敛圆是收敛圆Raz 内的内的解析函数解析函数.0)()(nnnazczf它的和函数它的和函数(1)18(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,0.,d)(d)(ncnncRazczazczzf 01.)(1d)(nnnzaazncf 或或简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐
8、项积分.(常用于求和函数常用于求和函数)即即19四、典型例题例例1 1 求幂级数求幂级数 nnnzzzz201的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为)1(,11112 zzzzzzsnnn201 zzsnn 11lim级数级数 0nnz收敛收敛,1 z0lim nnz级数级数 0nnz发散发散.且有且有.1112 nzzzz收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域,1 z由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内,级数绝对收敛级数绝对收敛,收敛半径为收敛半径为1,21解解nnic)1(所以所以nnncc1lim .2221 R例例2 0)1(nnnzi求
9、求 的收敛半径的收敛半径.nnn)2()2(lim1 .2(2)nnc 22例例3 把函数把函数bz 1表成形如表成形如 0)(nnnazc的幂的幂级数级数,其中其中ba与与是不相等的复常数是不相等的复常数.解解把函数把函数bz 1写成如下的形式写成如下的形式:bz1)()(1abaz abazab 111代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑出凑出)(11zg 23时，时，当当1 abaz,)()()(1112 nabazabazabazabaz bz1故故232)()(1)()(11azabazabab nnazab)()(11,Rab 设设,时时那那末末当当Raz 级数收敛级数收敛,且其和为且其和为.1bz 24例例4 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解12limlim 1 nnccnnnn因为因为.1 R所以所以利用逐项积分利用逐项积分,得得:0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn,1.1zz .)1(12z 1 z25例例5 计算计算.21,d)(1 zczzcnn为为其中其中解解,21内内在在 z 1)(nnzzS和函数和函数 czzzId)111(所以所以02 i,1收敛收敛 nnz 01nnzz,111zz cczzzzd11d1.2 i
