1、第2课时导数的运算法则及复合函数的导数1导数运算法则法则语言叙述f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)f(x)g(x)两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数乘上第二个函数的导数两个函数的商的导数,等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数,再除以分母的平方f(x)g(x)f(x)g(x)2.复合函数的求导法则复合函数的概念一般地,对于两个函数yf(u)和ug(x),如果通过变量u,y可以表示成 ,那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数,记作 .复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数y
2、f(u),ug(x)的导数间的关系为yx ,即y对x的导数等于 .x的函数yf(g(x)yuuxy对u的导数与u对x的导数的乘积想一想:若复合函数yf(g(x)由函数yf(u),ug(x)复合而成,则函数yf(u),ug(x)的定义域、值域满足什么关系?提示在复合函数中,内层函数ug(x)的值域必须是外层函数yf(u)的定义域的子集2复合函数求导对于复合函数的求导法则,需注意以下几点:(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成,适当选定中间变量(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中要特别注意的是中间变量的系数如(sin 2x)2cos 2x,而(sin 2x)cos
3、 2x.解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,一般综合了和、差、积、商几种运算,在求导之前一般应先将函数化简,然后求导,以减少运算量题型三求导法则的应用【例3】求过点(1,1)与曲线f(x)x32x相切的直线方程【题后反思】点(1,1)虽然在曲线上,但是经过该点的切线不一定只有一条,即该点有可能是切点,也可能是切线与曲线的交点,解题时注意不要失解方法技巧数形结合思想在导数中的应用 数形结合的原则:(1)等价性原则:在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明(2)双向性原则:在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析,在许多时候是很难完成的(3)简单性原则:找到解题思路之后,至于用几何方法还是采用代数方法,则取决于哪种方法更为简单有效,“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果