1、小学数学小学数学容斥原理容斥原理v在计数时，为了使重叠部分不被重复计在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。为容斥原理。容斥原理（第一讲）v 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12
2、人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？v数学 语文v 15 4 12v 数学和语文 数学语文15124得满分的同学这个班至少有一门得满分是什么意思？这个班至少有一门得满分是什么意思？数学得满分数学得满分只有数学得满分只有数学得满分两种都得满分两种都得满分语文得满分语文得满分只有语文得满分只有语文得满分得满分的学生得满分的学生方法一：（方法一：（15-4）+4（12-4）=23（人）（人）方法二：15+（12-4）=23（人）方法三：（15-4）+12=23（人）方法四：15+12-4=23（人）方法一、二、三是分块计数的方法；方法四不考虑重复，先相加
3、，再去重。容斥原理一 上题中语文满分人数是上题中语文满分人数是12，数学满分人数是，数学满分人数是15，一门满分的人数应该是，一门满分的人数应该是27，但我们重复，但我们重复计算了语文数学都是满分人数计算了语文数学都是满分人数4，所以应该减，所以应该减去去4，答案就是，答案就是23结论：（公式一）结论：（公式一）如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B两类，那么，两类，那么，A类或类或B类事物个数类事物个数=A类事物个数类事物个数+B类事物类事物 个数个数既是既是A类又是类又是B类的事物个数。类的事物个数。v某班学生每人家里至少有空调和电脑某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已
4、知家中有空调两种电器中的一种，已知家中有空调的有的有41人，有电脑的有人，有电脑的有34人，二者都人，二者都有的有有的有27人，这个班有学生多少人？人，这个班有学生多少人？v 41 27 3441+34-27=48（人）（人）v一个班有一个班有45名学生，订阅小学生数名学生，订阅小学生数学报的有学报的有15人，订阅今日少年报人，订阅今日少年报的有的有10人，两种报纸都订阅的有人，两种报纸都订阅的有6人。人。v（1）订阅报纸的总人数是多少？）订阅报纸的总人数是多少？15 6 10v（2）两种报纸都没订阅的有多少人？）两种报纸都没订阅的有多少人？容斥原理容斥原理15+10-6=19人45-19=2
5、6人v在在1到到1000的自然数中，能被的自然数中，能被3或或5整除的数共整除的数共有多少个？不能被有多少个？不能被3或或5整除的数共有多少个？整除的数共有多少个？v能被能被3整除的个数：整除的个数：10003=333个个1 v能被能被5整除的个数：整除的个数：10005=200个个 能被能被3和和5整除的个数：整除的个数：100015=66个个10所以根据容斥原理，能被所以根据容斥原理，能被3或或5整除的数共有整除的数共有：333+200-66=467个个不能被不能被3或或5整除的个数：整除的个数：1000-467=533个个v某校选出某校选出50名学生参加区作文比赛和名学生参加区作文比赛和
6、数学竞赛，作文比赛获奖的有数学竞赛，作文比赛获奖的有16人，人，数学比赛获奖的有数学比赛获奖的有12人，有人，有5人两项比人两项比赛都获奖了。赛都获奖了。v（1）共有多少人获奖？）共有多少人获奖？v16+12-5=23人人v（2）两项比赛都没获奖的有多少人？）两项比赛都没获奖的有多少人？v50-23=27人人 v习题习题v1、四（、四（1）班有）班有40个学生，其中个学生，其中25人参加人参加数学小组，数学小组，23人参加航模小组，有人参加航模小组，有19个人个人两个小组都参加了，那么，有多少人两个两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？小组都没有参加？v2、有、有100位旅客，其
7、中有位旅客，其中有10人既不懂英语人既不懂英语又不懂俄语，有又不懂俄语，有75人懂英语，人懂英语，83人懂俄语，人懂俄语，问既懂英语又懂俄语的有多少人？问既懂英语又懂俄语的有多少人？25+23+19=29人 40-29=11人100-10=90人 75+83=158人 158-90=68人v3、在一次数学测验中，所有同学都答了第、在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第两题，其中答对第1题的有题的有35人，答对第人，答对第2题的题的有有28人，这两题都答对的有人，这两题都答对的有20人，没有人两题人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？都答错。一共有多少人参加了这
8、次数学测验？v4、一个俱乐部里，会下中国象棋的有、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会人，会下国际象棋的有下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人。这个俱乐部里有多少人？人？35+28-20=42人69+52-30=91人 91+12=103人v5、全班有、全班有50人，不会骑车的有人，不会骑车的有23人，不会人，不会滑旱冰的有滑旱冰的有35人，两样都会的有人，两样都会的有5人。问：人。问：两样都不会的有多少人？两样都不会的有多少人？v6、六年级（、六年级（2）班有）班有48名学生，其中会骑自名学生，其中
9、会骑自行车的有行车的有27个，会游泳的有个，会游泳的有18人，既会骑自人，既会骑自行车又会游泳的有行车又会游泳的有10人。问两样都不会的有人。问两样都不会的有多少人？多少人？50-5=45人 23+35-45=15人27+18-10=35人 48-35=13人容斥原理（第二讲）容斥原理（第二讲）v某校六（某校六（1）班，每人）班，每人在暑假里都参加体育训在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队练队，其中参加足球队的有的有25人，参加排球队人，参加排球队的有的有22人，参加游泳队人，参加游泳队的有的有34人，足球、排球人，足球、排球都参加的有都参加的有12人，足球、人，足球、游泳都参加的有游泳都
10、参加的有18人，人，排球、游泳都参加的有排球、游泳都参加的有14人，三项都参加的有人，三项都参加的有8人，这个班有多少人？人，这个班有多少人？v 足球 排球v v 游泳 A+B+C+D+E+F+G=六（六（1）班人数）班人数 只参加足球训练只参加足球训练只参加游泳训练只参加游泳训练只参加排球训练只参加排球训练既参加足球又参加游泳既参加足球又参加游泳既参加足球又参加排球既参加足球又参加排球既参加游泳又参加排球既参加游泳又参加排球三种都参加三种都参加共七块共七块 A+D+E+G=25 D+G=18 B+D+F+G=34 F+G=14 C+E+F+G=22 E+G=12（A+D+E+G）（）（BDF
11、G）（）（CE+F+G）-（DG）（）（FG）（）（E）块（去重时把块（去重时把G去完了）去完了）再加上三种都参加的再加上三种都参加的G这个班人数这个班人数v结论（结论（公式二）公式二）v如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B、C三类，三类，那么，那么，A类或类或B类或类或C类事物个数类事物个数=A类类事物个数事物个数+B类事物个数类事物个数+C类事物个类事物个数数既是既是A类又是类又是B类的事物个数类的事物个数既既是是A类又是类又是C类的事物个数类的事物个数既是既是B类类又是又是C类的事物个数类的事物个数+既是既是A类又是类又是B类类而且是而且是C类的事物个数。类的事物个数。v例1：设某
12、班每名学生都要选修至少一种外语，其中选修英语的学生人数为25，选修法语的学生人数为18，选修德语的学生人数为20，同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选修英语和德语的学生人数为13，同时选修法语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名学生？25+18+20-8-13-6+3=39人人v例2、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+
13、1）+1=10人 v分析与解：根据题意画图。v例3.某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。v 分析与解：根据已知条件画出图。数英49人质3语3020101质v 三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程：整理后得：由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。v 答：既参
14、加英语又参加数学小组的为2人或7人。3020103149xyxy 9v例5.某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？v 分析与解：根据题意画图。数英98语20202073v 设三科都得满分者为xv 全班人数 v整理后：全班人数39xv 39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数，即 且 ，由此我们得到 ，另
15、一方面x最小可能是0，即没有三科都得满分的。v 当x取最大值7时，全班有 人，当x取最小值0时，全班有39人。v 答：这个班最多有46人，最少有39人。2020207893xxx78，()39746x 9x 7试一试v1.某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。v45-1=44 20+18+22-6-7-8=39 44-39=5人v2.某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？v设三年连续三好生人数为x人v 全班人数=103-5-4-3+X+20v 因为x应该小于等于3，所以x最大是3，最 小是0v所以这个班最多有41名同学，最少有38名同学
