1、题型题型1.2:求函数值求函数值 f(x0)求求f(x0)就是把就是把x0代入公式代入公式y=f(x)中的左右两边计算其右边的值中的左右两边计算其右边的值，简单说简单说:左边怎么换，右边就怎么换左边怎么换，右边就怎么换.方法步骤：方法步骤：知识要求知识要求理解函数符号理解函数符号 y=f(x)的意义：的意义：把把y=f(x)看作是已知看作是已知x求求y值的公式。值的公式。助记词：助记词：左边怎么换，左边怎么换，右边就怎么换！右边就怎么换！例例1 已知f(x)x22x，求f(3)、f(a)、f(x1)、f f(x)f f(x)f(x)22f(x)f()22 15f()22f()()22()解：解
2、：把函数式看成计算f(x)的公式：333aaa x1x1x1（x换成3）（x换成a）（x换成x1）f(x）换成(x22x）(x22x)22(x22x)x换成 f(x）2(1)3,().f xxf x设函数 求解2,1,1(1)3xuxuf xx令即代入 得2()-13ufu（）2()-13fxx（）11(1)()?()?xuuxx uf xf uf x 左右两边 换步骤:例2历届试题历届试题06016.若函数f(X-I)=x2-2x十6，则f(X)=_ 08010707题型题型1.3:求函数的定义域求函数的定义域1.熟记确定函数定义三个约域的束条件：211()0.()?1f xxf xxxx分
3、母不为(1),零0)如(2(2)()0.()1?f xxxf xxx 平方根内非负(0),如2(3)()ln0.()log0(1)?f xxxf xxx对数的真数为正,如知识要求:方法步骤：方法步骤：1.把函数式中的约束条件写成不等式(组);2.解不等式(组);3.写出定义域(区间或集合形式).助记词助记词要使分母-根号-对数有意义！2142yxx求函数=+的定义域.解 22040 xx解不等式组-2 2故所求的定义域为（，224xx222xx 22x 0分母平方根内0|22xx 或表示为P7例615ln(1)yxx求函数=+的定义域.解 10ln(1)050 xxx 解不等式组1115xxx
4、 对数的真数00分母平方根内022 5故所求的定义域为D=1，125xxx215xx 22 51，|152xxx 或表示为且P8例例7历届试题历届试题06070701题型题型1.4:判断两个函数是否相同判断两个函数是否相同.方法步骤：方法步骤：1、判断两个函数的定义域是否相同？2、判断两个函数的对应法则是否相同？法则作用于同一个自变量a结果都等于f(a)知识要求知识要求:定义域相同,对应法则也相同的两个函数相同.助记词：助记词：定义域与对应法则都相同的定义域与对应法则都相同的两个函数相同！两个函数相同！解：解：（1）ysin x与wsin t是相同函数 2()()1xf xg xx与例例 22
5、13()()xxxf xg xxx函数与是相同函数 2()()1xf xg xx函数与不是相同函数 2213()()xxxf xg xxx与判别下列各组函数是否相同：判别下列各组函数是否相同：（1）ysin x与wsin t （因为两个函数的定义域相同，对应关系也相同，只是变量记号不同）。因为两个函数的定义域不同因为两个函数的定义域相同对应法(则也相同)历届试题历届试题07070807题型题型1.5 研究函数的奇偶性研究函数的奇偶性1.()()fxf x().f x 为偶函数;图形关于y轴对称2.()()fxf x().f x 为奇函数;图形关于原点对称知识要求：知识要求：方法步骤：方法步骤：
6、判别判别f(-x)=?助记词：助记词：f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)相等为偶，反号为奇！4313;2;32.2xxaayxyyx判别下列函数的奇偶性:,定义域是关于原点各函对称数的都是且的区间.441()3,3fxxfxx 43yx 是偶函数.P10例例9:讲解4()3f xxxx 成-把 换43()(xfxx 代入()f x比较解()f x 定义是偶函数.413yx43x化简 22xxaay(),22xxxxfxf xaaaa整理 33332()22.2xxxf xfxxf x 2xxaay是奇函数.3yx-2是非奇非偶函数.!f xf xfx定义域为对称区间的前提下,关与计或-算
7、:比较键 332yx练习：练习：推证如下奇函数和偶函数，推证如下奇函数和偶函数，并熟记！并熟记！3x2,ln(1)2xxaaxx等2xxaa奇函数：奇函数：x，x3，sin x，tan x，cot x，偶函数：偶函数：C（任意常数），x2，cos x，f(x2)等 如：证明函数如：证明函数 是奇函数是奇函数.)1ln()(2xxxfy 22ln(1()ln()(1xxxxxf 证明 f(xf(x)是奇函数是奇函数.222(1)ln)(11(xxxxxx21221lnln(1)ln(1)(1)()xxxfxxxx 练习练习12cos113,(14)ln,11xxxyyxx x3cos x x2s
8、in x2 ln(1x2)，ex xsin x xsin x yx3sin x1 yexex ysin xcos x yxsinx2 yx2x yexex下列函数中（填编号）奇函数是（）偶函数是（）非奇非偶函数是（）既是奇函数又是偶函数的是（）练习练习1答案答案 下列函数中（填编号）奇函数是（、（13）、（14）偶函数是（、）非奇非偶函数是（、）历届试题历届试题1.506071.下列函数中为偶函数的是().A.y=xsinx B.y=x2+X C.y=2x-2-x D.y=xcosx 08010807sincostan,cot,cossinxxxxxx，常用的三角函数公式常用的三角函数公式:s
9、in()sin;cos()cos;tan()tan;cot()cotxxxxxxxx ，常用的三角函数值常用的三角函数值:角 值函数sinxcosxtanxcotx064231230102223211012223013033310325,log,lnsin,cos,tan,cot,.xxayy xyayeyx yxyx yx yx yx基本初等函数:=c,=函数小结：函数小结：201.nnyaxbyaxbxcyaa xa x简单函数:基本初等函数或简单函数通过加,减,乘,除及有限次复合的初等函数:函数.分段函数分段函数在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示
10、的函数对应法则用不同的式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.分段函数不是初等函数!题型题型1.7:求分段函数的定义域和函数值求分段函数的定义域和函数值1.写出各段函数写出各段函数定义域的并集定义域的并集就是这个分段函数的定义域就是这个分段函数的定义域;2.把自变量的值代入它把自变量的值代入它所在范围对应的函数式计算所在范围对应的函数式计算函数值。函数值。会求一般函数的值和两个集合的并集会求一般函数的值和两个集合的并集.方法与步骤：方法与步骤：知识要求知识要求:历届试题历届试题1.706011.5 1.5 经济分析中常见的函数经济分析中常见的函数(P25)(P25)1成本函数成本函数总成本
11、变动成本 固定成本=单位变动成本 产量(销量)关系式:固定成本10C():qC qC函数式成本平均成本关系式:产量 销量2 2平均成本函数平均成本函数(P29)(P29)C()C():qqq函数式2005,qp价格()R qqp故收入函数为（P30例5）3 3收入函数收入函数(P29)(P29)收入=价关系式格:产量 销量().ppp qq其中 为价格或价格函数,为产量(或销量)qpqR(函)数式:例如例如 已知商品的需求函数是q2005p，求收入函数收入函数解：解：2(40)540.5qqqq注：当利润L(q)0即R(q)C(q)时的产量q0称为盈亏平衡点盈亏平衡点（或保本点保本点）。（P3
12、1例6、P34例7）4 4利润函数利润函数(P30)(P30)利润=收关系式:入-成本qR qC qL()(式)函数(:)题型题型1.9:列经济函数式及求其函数值列经济函数式及求其函数值1、弄清题意：、弄清题意：求什么函数？（如成本、收入、利润等）求什么函数？（如成本、收入、利润等）2、找出关系：、找出关系：用字母表示关系式即为函数式；用字母表示关系式即为函数式；3、写出定义域。、写出定义域。1.熟悉各经济量之间的关系熟悉各经济量之间的关系(1)总成本总成本=变动成本变动成本+固定成本固定成本;(当产量为当产量为0时时,总成本总成本=固定成本固定成本)(2)平均成本平均成本=总成本总成本产量产
13、量;(3)收入收入=价格价格产量产量(销量销量);(当产量为当产量为0时时,收入收入=0)(4)利利润润=收入成本收入成本.(当产量为当产量为0时时,利润利润=固定成本固定成本)2.熟悉惯用的符号熟悉惯用的符号:q、p、C、R、L表示各量。表示各量。方法步骤：方法步骤：知识要求：知识要求：P29例例450.C qq生产某种商品的总成本(单位:元)是()=500+2求生产件这种商品时的总成本和平均成本解:50:生产件的总成本为平均成本为:C()=500+2=5050 600 元C(50)600C 5012/5050元 件注意：总成本C是产量q的函数.P30例52005qp已知某种商品的需求函数为
14、试求该商品的收入函数,并求出销售20件该商品时的总收入和平均收入.20R平均收入为:解2005qpp由得pqq收入函数为:R()22040 207205R(20)2405405qqqq7203620405qP31例例6 2121030qC qqq已 知 生 产 某 种 商 品件 时 的 总 成 本(单 位:元)为()=10+5+0.2如 果 每 售 出 一 件 该 商 品 的 收 入 为 9万 元,求 该 商 品 的 利 润 函 数;求 生 产件 该 商 品 时 的 利 润 和 平 均 利 润;求 生 产 2件 该 商 品 时 的 利 润.解:1 利润函数为:L q=R-C 2L qL qq平
15、均利润函数为:2010100.2 10L生产1 件该商品时的利润:=4 10=10 万元;100100.2 10110L生产1 件该商品时的平均利润:=4万元/件;230202200.2 20L求生产2 件该商品时的利润:=40=-20 万元22(100.2qqqqq=910+5+0.2)=4;2100.2100.2qqqqq4=4历届试题历届试题060106070701求极限的几种方法求极限的几种方法(小结小结)00(2)limxxxx(1)limCC1(3)lim0 xx01(4)lim()xx 不存在1.利用几个典型极限利用几个典型极限,如如:2.利用极限的运算法则利用极限的运算法则(加
16、、减、乘、除、乘方、开方）简单说：简单说：“能分则分能分则分”把极限号分给各项求极限把极限号分给各项求极限110110(5)limmmmmnnnnxa xaxab x bxb()mnmnab0()mn()mn(型)3.利用无穷小的性质利用无穷小的性质（1）无穷小与有界量的积还是无穷小无穷小与有界量的积还是无穷小（2）无穷小的倒数是无穷大无穷小的倒数是无穷大5.利用函数的连续性利用函数的连续性06.0三种型极限的求法(2)lim1(1)xxex0sin(1)lim1xxx00lim()()xf xfxx4.利用两个重要极限利用两个重要极限简单说：简单说：“能代则代能代则代”求极限变成求求极限变成
17、求函数值。函数值。01:0020030（）有理分式型 分解因式约分再求;（）无理分式型:有理化约分再求;（）含三角函数型:利用重要极限1.助记词：助记词：求极限，求极限，能代则代，化简再代能代则代，化简再代！25822lim.xxxx求22582limxxxx22582limxxxx 解解222lim(2)lim(58)xxxxx222222limlim2limlim5lim82204 108xxxxxxxxP67例例4倒数的极限是无穷小,它的极限是无穷大22356lim9xxxx求解解0 0型不能分!分子分母约去零因子3(2)(3)lim(3)(3)xxxxx32lim3xxx分解零因子x-
18、31622356lim9xxxxP67例例53333limlim2limlim3xxxxxx3 23 3011lim.xxx求解解0 0型不能分!分子有理化P67例例6011limxxx0(1(11)l1)(11im)xxxxx2200(11(1)111liml)(1i1m)xxxxxxxx011li11m2xxx约去P68例例83221lim53xxx求3221lim53xxx分析:3型提取x33331(2)lim53()xxxxxx利用无穷小的倒数是无穷大解本题.323333335353()530limlimlim011212(2)2xxxxxxxxxxxxx3221lim53xxx 33
19、122lim530 xxxx型,无意义;解解：解：0sinlimxkxx预备练习sin33si)!nxx(P69例例100sinlimxkxx求0sinlimkx ukxxkkxk0limsinxkxkkxk)(x0kx00sin3limxxx3030lim3lismin333sin333xxxxxx000sin33limlimsinl3sin3 imxxxxxxxxx下列解法错在哪里?解：解：(1 0)型,互公式特征:为倒数.2lim1(1)xxx2lim 11xxx21lim()1xxx=e2化倒数（）型2lim1(1)xxx求P70例例12不是倒数解：解：lim3(1)xxx3lim3(
20、13)xxx333lim(1)xxx=e3化倒数（）型lim3(1)xxx求3是常数，极限号走到里面去了P70例例13历届试题历届试题（0601，3分）（0601，9分）（0607，9分）题型题型2.102.10：判别函数的连续性：判别函数的连续性00(lim(),lim(),)xxf xf xxx一些分段函数要计算(极限值等于函数值连续)02.lim()xf xx计算01.()fx计算003.lim()()?xf xfxx判别00,04.lim().(),()xf xff xxxx对于区间上任意点都有则区间上连续知识要求：知识要求：函数在一点或区间上连续的定义函数在一点或区间上连续的定义方法
21、与步骤：方法与步骤：00lim()()xf xfxx简单说：简单说：极限值等于函数值。极限值等于函数值。助记词：助记词：极限值等于函数值极限值等于函数值！1sin(0)00(0)()0.xxxxf xx证明函数在处连续证明证明(0)0,f001lim()lim sin0,xxf xxx 而0lim()(0)0,xfxf由 此 可 知P73例例100lim()lim 00,xxf x()0f xx在处连续0lim()0;xf x即历届试题历届试题（0607，3分）（0707，3分）0000000000000001.()lim()lim()lim()lim()()lim()lim()lim()li
22、m()(2.)xxxxxxxxxxxxxxxxf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xfxxxxx是间断点是间断不存在和一个或两个不存在两个都存在,但存在计算和两点是间断个都存在,点是间断点题型题型2.11：求函数的间断点：求函数的间断点00lim()().xxf xf x函数间断点不连续点不成立知识要求：知识要求：方法与步骤：方法与步骤：0000lim()lim()llim()im)xxxxxxxxf xf xf xf x要分析是否需计算和计算时注意:来判断是，否存在；助记词：助记词：分母为分母为0的点必定是间断点的点必定是间断点！P74例例4211xxx 讨论函数 f(x)=在x=1处的连续性.解因为在x=1处f(x)没有定义(f(分母1)为零)，即不存在;11xx所以,在处不连续，即是的间断点.231,0()0.0,0 xxxf xxx讨论函数在处的连续性P75例例6解(0)0f200lim()lim(31)1,xxf xxx 0lim()(0).xf xf()00()f xxxf x在处不连续,即是的间断点.历届试题历届试题（0701，3分）
