1、 线段的垂直平分线与角平分线的性质 【思维入门】 1如图 131，在ABC 中，ABC50， ACB60，点 E 在 BC 的延长 线上，ABC 的平分线 BD 与ACE 的平分线 CD 相交于点 D，连结 AD.下列结论不 正确的是 ( ) ABAC70 BDOC90 CBDC35 DDAC55 2 如图 132， BD 是ABC 的平分线， P 是 BD 上的一点， PEBA 于点 E， PE4 cm， 则点 P 到边 BC 的距离为_cm. 图 132 3如图 133，在 RtABC 中，A90，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，AD 5，BC12，则BDC 的面积是_ 图 1
2、33 4如图 134，在ABC 中，DE，FG 分别是ABC 的边 AB，AC 的垂直平分线，若 BC10，则ADF 的周长是多少？ 图 134 5已知，如图 135 所示，ABAC，BDCD，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F， 图 131 求证：DEDF. 图 135 【思维拓展】 6如图 136，AD 是ABC 中BAC 的平分线，DEAB 于点 E，SABC7，DE2， AB4，则 AC 的长是 ( ) A3 B4 C6 D5 图 136 7已知ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC32，且 BDCD 97，则 D 到 AB 的距离为 ( ) A18 B1
3、6 C14 D12 8如图 137，直线 l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要 求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有 ( ) A1 处 B2 处 C3 处 D4 处 9如图 138，在ABC 中，C90，AB10，AD 是ABC 的一条角平分线若 CD3，则ABD 的面积为_ 图 137 图 138 10如图 139，在直角ABC 中，A90，ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E 点， 过 E 点作 EDBC 于 D 点，已知 AC10 cm，CDE 的周长为 16 cm，求 CD 的长 图 139 11如图 1310，AD 与 BC 相交于 O，OAOC
4、，AC，BEDE.求证：OE 垂 直平分 BD. 12如图 1311，ABC 中，ABC 的平分线与ABC 的外角DAC，ACF 的平 分线相交于点 E，EHAC，垂足为点 H，求证：AEBCEH. 图 1311 图 1310 【思维升华】 13如图 1312，已知 AD 平分BAC，ABAC.则下列结论错误的是 ( ) AADCADB BAD 垂直平分 BC CBC 垂直平分 AD D四边形 ABDC 是轴对称图形 14如图 1313，已知AOB90，OM 是AOB 的平分线，将三角形的直角顶点 P 在射线 OM 上滑动，两直角边分别与 OA，OB 交于 C，D. (1)PC 和 PD 的数
5、量关系是_； (2)请你证明(1)得出的结论 图 1313 15如图 1314，在AOB 的两边 OA，OB 上分别取 OMON，ODOE，DN 和 EM 相交于点 C. 求证：点 C 在AOB 的平分线上 图 1314 图 1312 第 3 讲 线段的垂直平分线与角平分线的性质 【思维入门】 1如图 131，在ABC 中，ABC50， ACB60，点 E 在 BC 的延长 线上，ABC 的平分线 BD 与ACE 的平分线 CD 相交于点 D，连结 AD.下列结论不 正确的是 ( B ) ABAC70 BDOC90 CBDC35 DDAC55 【解析】 ABC50，ACB60， BAC180A
6、BCACB180506070，故 A 选项正确； BD 平分ABC，ABO1 2ABC 1 25025， DOCAOB85，故 B 选项错误； CD 平分ACE，ACD1 2(18060)60， BDC180856035，故 C 选项正确； BD，CD 分别是ABC 和ACE 的平分线， AD 是ABC 的外角平分线， DAC1 2(18070)55，故 D 选项正确 2 如图 132， BD 是ABC 的平分线， P 是 BD 上的一点， PEBA 于点 E， PE4 cm， 则点 P 到边 BC 的距离为_4_cm. 图 132 3如图 133，在 RtABC 中，A90，ABC 的平分线
7、 BD 交 AC 于点 D，AD 5，BC12，则BDC 的面积是_30_ 图 131 图 133 4如图 134，在ABC 中，DE，FG 分别是ABC 的边 AB，AC 的垂直平分线，若 BC10，则ADF 的周长是多少？ 图 134 解：DE，FG 分别是ABC 的边 AB，AC 的垂直平分线 ADBD，AFCF. ADF 的周长ADDFAFBDDFCFBC10. ADF 的周长是 10. 5已知，如图 135 所示，ABAC，BDCD，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F， 求证：DEDF. 图 135 证明：证法一：连结 AD. ABAC，BDCD，ADAD， ABDACD.BAD
8、CAD， AD 是EAF 的平分线 又DEAB，DFAC， DEDF. 证法二：由ABDACD 得ACDABD. DCFDBE， 又DFCDEB90，DCDB. DFCDEB.DEDF. 第 5 题答图 【思维拓展】 6如图 136，AD 是ABC 中BAC 的平分线，DEAB 于点 E，SABC7，DE2， AB4，则 AC 的长是 ( A ) A3 B4 C6 D5 图 136 【解析】 如答图，过点 D 作 DFAC 于 F， AD 是ABC 中BAC 的平分线， DEAB， DEDF， 由图可知，SABCSABDSACD， 1 242 1 2AC27， 解得 AC3. 7已知ABC 中
9、，C90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC32，且 BDCD 97，则 D 到 AB 的距离为 ( C ) A18 B16 C14 D12 【解析】 BC32，BDCD97，CD14. C90，AD 平分BAC， D 到边 AB 的距离CD14. 8如图 137，直线 l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要 求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有 ( D ) A1 处 B2 处 C3 处 D4 处 【解析】 满足条件的有： 第 6 题答图 图 137 第 8 题答图 三角形两个内角平分线的交点，共一处； 三个外角平分线两两相交的交点，共三处 9如图 1
10、38，在ABC 中，C90，AB10，AD 是ABC 的一条角平分线若 CD3，则ABD 的面积为_15_ 图 138 【解析】 作 DEAB 于 E. AD 平分BAC，DEAB，DCAC， DECD3. ABD 的 面积为1 231015. 10如图 139，在直角ABC 中，A90，ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E 点， 过 E 点作 EDBC 于 D 点，已知 AC10 cm，CDE 的周长为 16 cm，求 CD 的长 第 9 题答图 图 139 解：BE 为ABC 的平分线，A90，DEBC 于点 D， AEDE， DECEAECEAC10 cm， CDE 的周长为 16
11、cm， DECECD16 cm， CD16106(cm) 11如图 1310，AD 与 BC 相交于 O，OAOC，AC，BEDE.求证：OE 垂 直平分 BD. 证明：在AOB 与COD 中， AC， OAOC， AOBCOD， AOBCOD(ASA)， OBOD， 点 O 在线段 BD 的垂直平分线上， BEDE， 点 E 在线段 BD 的垂直平分线上， OE 垂直平分 BD. 12如图 1311，ABC 中，ABC 的平分线与ABC 的外角DAC，ACF 的平 分线相交于点 E，EHAC，垂足为点 H，求证：AEBCEH. 图 1311 图 1310 证明：如答图，过点 E 作 EMBC
12、 于 M， ABC 的平分线与ABC 的外角DAC，ACF 的平分线相交于点 E， CAE1 2(ABCACB)， ECM1 2(BACABC)， 在ABE 中，AEB180ABEBAE， 1801 2ABCBAC 1 2(ABCACB) 180ABCBAC1 2ACB， 1 2ACB. EHAC， CEHCEM90ECM901 2(BACABC) 901 2(180ACB) 1 2ACB，AEBCEH. 【思维升华】 13如图 1312，已知 AD 平分BAC，ABAC.则下列结论错误的是 ( C ) AADCADB BAD 垂直平分 BC CBC 垂直平分 AD D四边形 ABDC 是轴对
13、称图形 14如图 1313，已知AOB90，OM 是AOB 的平分线，将三角形的直角顶点 P 在射线 OM 上滑动，两直角边分别与 OA，OB 交于 C，D. (1)PC 和 PD 的数量关系是_PCPD_； (2)请你证明(1)得出的结论 第 12 题答图 图 1312 图 1313 解：(1)PCPD； (2)如答图，过 P 分别作 PEOB 于 E，PFOA 于 F， CFPDEP90. OM 是AOB 的平分线，PEPF， 1FPD90(直角三角形)， 又AOB90，FPE90， 2FPD90， 12， 在CFP 和DEP 中， CFPDEP， PFPE， 12， CFPDEP(ASA
14、)，PCPD. 15如图 1314，在AOB 的两边 OA，OB 上分别取 OMON，ODOE，DN 和 EM 相交于点 C. 求证：点 C 在AOB 的平分线上 图 1314 证明：作 CGOA 于 G，CFOB 于 F，如答图， 在MOE 和NOD 中， OMON，MOE 为公共角，OEOD， MOENOD(SAS) 第 14 题答图 第 15 题答图 SMOESNOD. SMOES四边形ODCESNODS四边形ODCE， SMDCSNEC， OMON，ODOE， MDNE， 由三角形面积公式得 1 2DMCG 1 2ENCF， CGCF， 又CGOA，CFOB， 点 C 在AOB 的平分线上
