1、6.3.2“杨辉三角”与二项 式系数的性质1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.问题导学题型探究达标检测学习目标答案问题导学 新知探究 点点落实知识点一“杨辉三角”与二项式系数的性质(ab)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.答案思考2计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？答案2,4,8,16,32,64，其系数和为2n.思考3二项
2、式系数的最大值有何规律？答案n2,4,6时，中间一项最大，n3,5时中间两项最大.1.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是 ，与这两个1等距离的项的系数 .(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ，即 .1相等和答案2.二项式系数的性质性质内容对称性 ，即二项展开式中，与首末两端“”的两个 相等.增减性与最大值如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项 的二项式系数最大.如果n为奇数，那么其展开式中间两项 与 的二项式系数相等且同时取得最大值.等距离二项式系数12nT12nT112nT二项式系数的和二项展开式中各二项式系数的和等于 ，即 .奇数项的二项式系
3、数之和等于 项的二项式系数之和，都等于2n1，即 .2n2n偶数2n1答案返回类型一与杨辉三角有关的问题例1如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S16的值.解由题意及杨辉三角的特点可得S16(12)(33)(64)(105)(369)解析答案反思与感悟题型探究 重点难点 个个击破反思与感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路解析答案跟踪训练1(1)如图数表满足：第n行首尾两数均为n；图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n2)行的第2个数是_.解析由图中数字规律可知，第n行的第2个数是1223434774511
4、14115(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第n次全行的数都为1的是第_行；第61行中1的个数是_.解析观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n1行；n626163，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.2n132解析答案解析答案类型二求展开式的系数和例2已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；解当x1时，(12x)7(12)71，题中等式等号右边为a0a1a2a7，a0a1a
5、2a71.当x0时，a01.a1a2a7112.解析答案(2)a1a3a5a7；解令x1，则a0a1a2a71，令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737，由得2(a1a3a5a7)137，解析答案(3)|a0|a1|a7|.解由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负，a0，a2，a4，a6均为正，由(2)中，得2(a0a2a4a6)137，|a0|a1|a7|a0a1a2a3a4a5a6a7(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)372 187.反思与感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋
6、值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可.(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，反思与感悟解析答案跟踪训练2在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和.(2)各项系数之和.(3)所有奇数项系数之和.解设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，解析答案类型三二项式系数性质的应用例3已知f(x)(
7、3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.反思与感悟解令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)，或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项，解析答案23x23x223270.x反思与感悟展开式的通项公式为2(5 2)315C3rrrrTx展开式中系数最大的项为2264243355C(3)405.Txxx反思与感悟1.二项式系数的最
8、大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.2.展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第r1项最大，应用 解出r，即得出系数的最大项.反思与感悟跟踪训练3已知 展开式中的二项式系数的和比(3a2b)7展开式的二项式系数的和大128，求 展开式中的系数最大的项和系数最小
9、的项.当r4时，展开式中的系数最大，即T570 x4为展开式中的系数最大的项；当r3或5时，展开式中的系数最小，即T456x7，T656x为展开式中的系数最小的项.解析答案返回解析答案达标检测1.已知(2x)10a0a1xa2x2a10 x10，则a8等于()A.180 B.180 C.45 D.45A解析答案B解析答案3.若 的展开式的各项系数之和为64，则展开式的常数项为()A.10 B.20 C.30 D.120解析由2n64，得n6.B解析答案4.已知(1x)8的展开式，求：(1)二项式系数最大的项；解因为(1x)8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，(2)系数最小的项.解二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小，返回规律与方法1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0、1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握.3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r0,1,2，n的范围.谢谢！
