1、第三章 平面任意力系平面任意力系实例3-1 平面任意力系向作用面内一点简化3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程3-3 物体系的平衡静定和超静定问题3-4 平面简单桁架的内力计算1、力的平移定理FdFMMBB)(3-1 平面任意力系向作用面内一点简化可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩.2、平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩)(10111FMMFF)(20222FMMFF)(0nnnnFMMFFiiRFFF)(iOiOFMMM主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关iRFF主矢)(iOOFMM主矩xix
2、ixRxFFFFyiyiyRyFFFF如何求出主矢、主矩?主矢大小22)()(iyixRFFF方向cos(,)ixRRFFiFcos(,)iyRRFFjF作用点作用于简化中心上主矩)(iOOFMM)23()()(xFyFFMMiyixioO)13(),cos(),cos()()(22RyRRxRyxRFFjFFFiFFFF平面固定端约束=3、平面任意力系的简化结果分析=0RF0OM主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果说明说明0OM合力合力合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心0RF合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心ROFM0OM0OM合力偶合力偶平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中
3、心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关ROFMddFMRoRRRFFF 其中)33()()(iOORoFMMFM合力矩定理若为O1点，如何?平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零即 00oRMF3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程)()()(22iOOyxRFMMFFF因为平面任意力系的平衡方程)43(000oyxMFF 平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.1、平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程（一般式）平面任意力系的平衡方程有三种形式，一般式二矩式三
4、矩式平面任意力系平衡方程的三种形式一般式000AyxMFF二矩式000BAxMMF两个取矩点连线，不得与投影轴垂直BA,三矩式000CBAMMM三个取矩点，不得共线CBA,2、平面平行力系的平衡方程 0 xF0000 0 xF0coscoscos321FFF 0yF0sinsinsin321FFF平面平行力系的方程为两个，有两种形式00AyMF各力不得与投影轴垂直00BAMM两点连线不得与各力平行BA,3-3 物体系的平衡静定和超静定问题3-4 平面简单桁架的内力计算总杆数mn总节点数32 nm33nm=2()32 nm平面复杂（超静定）桁架32 nm平面简单（静定）桁架32 nm非桁架（机构
5、）1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；4、各杆件自重不计或均分布在节点上在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆节点法与截面法1、节点法2、截面法关于平面桁架的几点假设：例3-1已知：1450,P kN2200,P kN1300,F kN270;F kN求：合力作用线方程力系的合力合力与OA杆的交点到点O的距离x，RF解：（1）向O点简化，求主矢和主矩0arctan16.7ABACBAC12cos232.9RxixFFFFkN12sin670.1RyiyFFPPF kN22709.4RixiyFFFkN方向余弦c
6、os,0.3283ixRRFF iFcos,0.9446iyRRFFjF 主矩 11231.53.92355ooMMFFPP kN m大小RF（2）、求合力及其作用线位置.2 3 5 53.3 1 9 77 0 9.4oRMdFm003.514cos 9070.84dx m（3）、求合力作用线方程ooRRyRxRyRxMMFx Fy Fx Fy F即2355670.1232.9xy有：607.1232.923550 xy例3-2（例21）已知：AC=CB=l,P=10kN;kN;求：铰链A和DC杆受力.（用平面任意力系方法求解）解：取AB梁，画受力图.0 xF 0yF0cos450AxcFF0
7、sin450AycFFF0AM0cos4520cFlFl 解得kN10,kN20,kN28.28AyAxCFFF例3-3已知：110,P kN240,P kN尺寸如图；求：轴承A、B处的约束力.解：取起重机，画受力图.0 xF 0yF0AM 0AxBFF120AyFPP125 1.53.50BFPP 解得50AyFkN31BF kN31AxFkN例3-4已知：,;P q a Mpa求：支座A、B处的约束力.解：取AB梁，画受力图.0 xF0AM 0yF0AxF4220BFaMPaqa a解得3142BFPqa20AyBFqaPF解得342AyPFqa例3-5 已知：20,M kN m100,P
8、 kN400,F kN20,q kNm1;l m求：固定端A处约束力.解：取T型刚架，画受力图.其中113302FqlkN 0 xF0AM 0yF01sin600AxFFF解得316.4AxFkN解得解得060cosFPFAy0360sin60cos1lFlFlFMMAkN300AyFmkN1188AM已知：,200,70021kNkNPP尺寸如图；求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。解：取起重机，画受力图.满载时，,0AF为不安全状况 0BM0102821min3PPP解得 P3min=75kN例3-6kNkN350753
9、PP3=180kN时 0AM041424213BFPPP解得FB=870kN 0iyF0321PPPFFBA解得 FA=210kN空载时，,0BF为不安全状况 0AM4 4P P3max3max-2-2P P1 1=0=0解得 F3max=350kN例3-7已知：OA=R，AB=l,F不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡;求:力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力.解:取冲头B,画受力图.0iyF0cosBFF解得22cosRlFlFFB 0ixF0sinBNFF解得22tanRlFRFFN取轮,画受力图.0ixF0sinAoxFF解得22RlFRFox 0iy
10、F0cosAoyFF解得解得FFoy 0oM0cosMRFA解得FRM 例3-8 已知:F F=20kN,q=10kN/m,20mkNML=1m;求:A,B处的约束力.解:取CD梁,画受力图.0cM0230cos260sin00lFlqllFB解得 F FB B=45.77kN=45.77kN解得kN89.32AxF 0iyF030cos260sin00FqlFFBAy解得kN32.2AyF 0AM0430cos360sin2200lFlFlqlMMBA解得kN37.10AM取整体,画受力图.0ixF030sin60cos00FFFBAx例3-9已知:P1,P2,P=2P1,r,R=2r,;2
11、00求:物C 匀速上升时，作用于轮I上的力偶矩M；轴承A，B处的约束力.解:取塔轮及重物C,画受力图.0BM0PrRF解得1PrPRF由020tanFFr解得1064.320tanPFFr 0ixF0rBxFF164,3PFBx解得 0iyF02FPPFBy解得132PFBy取轮I，画受力图.0ixF0rAxFF 0iyF解得164.3PFAx01PFFAy解得19PFAy 0AM0rFM解得rPM110例3-10已知:P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,风载F=10kN,尺寸如图;求:A,B处的约束力.解:取整体,画受力图.0AM05246101221FPPPPFBy解得kN5.7
12、7ByF 0iyF0221PPPFFByAy解得kN5.72AyF取吊车梁,画受力图.0DM024821PPFE解得kN5.12EF取右边刚架,画受力图.0CM04106EBxByFPFF解得kN5.17BxF 0ixF0BxAxFFF解得kN5.7AxF对整体图例3-11已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,450P,各构件自重不计.求:A,E支座处约束力及BD杆受力.解:取整体,画受力图.0EM02522lPlFA解得PFA825 0ixF045cos0AExFF解得PFEx85 0iyF045sin0AEyFPF解得PFEy813取DCE杆,画受力图.0CM02245cos0
13、lFlFlFExKDB解得PFDB823(拉)例3-12已知:P=10kN,尺寸如图；求:桁架各杆件受力.解:取整体，画受力图.0ixF 0iyF 0BM0BxF042AyFPkN5AyF0PFFByAykN5ByF取节点A，画受力图.0iyF030sin01 FFAy解得kN101F(压)0ixF030cos012 FF解得kN66.82F(拉)取节点C,画受力图.0ixF030cos30cos0104FF解得kN104F(压)0iyF030sin0413FFF解得kN103F(拉)取节点D,画受力图.0ixF025FF解得解得kN66.85F(拉)例3-13已知:,101kNP,72kNP
14、各杆长度均为1m;求:1,2,3杆受力.解:取整体,求支座约束力.0ixF0AxF 0BM03221AyFPP解得kN9AyF 0iyF021PPFFByAy解得kN8ByF用截面法,取桁架左边部分.0EM0130cos101AyFF解得 0iyF060sin102PFFAykN4.101F(压)解得kN15.12F(拉)0ixF060cos0231FFF解得kN81.93F(拉)例 3-14已知：14,P kN210,P kN尺寸如图；求：BC杆受力及铰链A A受力。解：取AB 梁，画受力图.0ixF 0cos300AxTFF0iyF012sin300AyTFPPF0AM021sin3064
15、30TFPP 解得17.33TF kN5.33AyFkN0ixF 0cos300AxTFF0iyF012sin300AyTFPPF0AM021sin306430TFPP(1)又可否列下面的方程？210sin306430ATMFPP 1206320BAyMFPP120340CAxMFACPP能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？21120cos3000sin30643006320ixAxTATBAyFFFMFPPMFPP（2）2112120sin306430063200340ATBAyCAxMFPPMFPPMFACPP（3）可否列下面的方程：0ixF0cos300AxTFF0AM021sin3
16、06430TFPP 0BM126320AyFPP例 3-15已知：P=10kN,a,杆，轮重不计；求：A,C支座处约束力.解：取整体，受力图能否这样画？取整体，画受力图.0AM48.50AxTaFaPF a解得20AxF kN0AxCxFF20CxFkN解得对整体受力图0iyF0AyCyTFFFP解得10AyF kN取BDC 杆（不带着轮）取ABE（带着轮）取ABE杆（不带着轮）取BDC杆（带着轮）104340BCyTTCxMaFFaFaFa解得15CyFkN例3-16已知：P,a,各杆重不计；求：B 铰处约束反力.解：取整体，画受力图0CM20ByFa解得0ByF取ADB杆，画受力图取DEF
17、杆，画受力图0DMsin4520EFaFa得sin452EFF0ixFcos450EDxFF得cos452DxEFFFBMo20DxFaFa得2DxFF对ADB杆受力图0AM20BxDxFaFa得BxFF 例3-17已知：a,b,P,各杆重不计，C,E处光滑；求证：AB杆始终受压，且大小为P.解：取整体，画受力图.0ixF0AxF0EM()0AyPbxFb得()AyPFbxb取销钉A，画受力图0ixF0AxADCxFF0ADCxF得取ADC杆，画受力图.取BC，画受力图.0BM0CFbPx 得CxFPb对ADC杆0DM022ADCyCbbFF得ADCyCxFFPb对销钉A0yF0ABAyADC
18、yFFF0ABxxFPPPbb解得(ABFP 压）例3-18已知：q,a,M,2,Mqa且P作用于销钉B上；求：固定端A处的约束力和销钉B B对BC杆,AB杆的作用力.解：取CD杆，画受力图.0DM02CxaFaqa得12CxFqa取BC杆（不含销钉B)，画受力图.0ixF0BCxCxFF解得12BCxFqa0CM0BCyMFa解得BCyFqa取销钉B，画受力图.0ixF0ABxBCxFF解得12ABxFqa则12ABxFqa 0iyF0AByBCyFFP解得AByFPqa则()AByFPqa 取AB杆（不含销钉B），画受力图.0ixF1302AxABxFqaF 解得AxFqa 0iyF0Ay
19、AByFF解得AyFPqa0AM31302AABx aAByMqa aFFa 解得()AMPqa a例3-19已知：荷载与尺寸如图；求：每根杆所受力.解：取整体，画受力图.0ixF0AxF0BM85*8 10*6 10*4 10*20AyF得20AyFkN0iyF400AyByFF得20ByFkN求各杆内力取节点A00iyADixACFFFF取节点C000iyCFixCDFFFF取节点D0,0iyDFDEixFFFF取节点E00iyEGixEFFFFF 求：，杆所受力。解：求支座约束力0AMA yF0iyF ByF0iyF 从1，2，3杆处截取左边部分2F0CM1F0ixF 3F例3-20已知
20、：P1,P2,P3,尺寸如图.取节点D0ixF 0iyF 5F4F若再求,杆受力主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关iRFF主矢)(iOOFMM主矩xixixRxFFFFyiyiyRyFFFF如何求出主矢、主矩?主矢大小22)()(iyixRFFF方向cos(,)ixRRFFiFcos(,)iyRRFFjF作用点作用于简化中心上主矩)(iOOFMM)23()()(xFyFFMMiyixioO)13(),cos(),cos()()(22RyRRxRyxRFFjFFFiFFFF0RF0OM主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果说明说明0OM合力合力合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心
21、0RF合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心ROFM0OM0OM合力偶合力偶平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零即 00oRMF3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程)()()(22iOOyxRFMMFFF因为平面任意力系的平衡方程)43(000oyxMFF 平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.1、平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的三种形式一般式000AyxMFF二矩式000BAxMMF两个取矩点连线，不得与投影轴垂直BA,三矩式000CBAMMM三个取矩点，不得共线CBA,平面任意力系平衡方程的三种形式作业：3-1（a）、（d）、（f）、3-2、3-4、3-6
