1、本科生必修课：概率论与数理统计本科生必修课：概率论与数理统计第八章第八章 假设检验假设检验 2/101第八章第八章 假设检验假设检验8.1 假设检验假设检验8.2 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验8.6 分布拟合检验分布拟合检验3/1018.1 假设检验假设检验参数估计：其目的对未知参量给出估计值及置信区间，一参数估计：其目的对未知参量给出估计值及置信区间，一般情况下，参数估计是在总体形式已知的情况下，般情况下，参数估计是在总体形式已知的情况下，对未知对未知参量的定量参量的定量的估计问题的估计问题假设检验：其目的是对总体的某未知性
2、质假设检验：其目的是对总体的某未知性质根据样本给出一根据样本给出一个定性判断个定性判断，这时总体的分布的函数形式未知，或只知其，这时总体的分布的函数形式未知，或只知其形式，但参数未知的情况形式，但参数未知的情况假设检验中，为推断总体的某些性质，首先提出某些关于假设检验中，为推断总体的某些性质，首先提出某些关于总体的假设，然后根据样本对所提出的假设作出判断，是总体的假设，然后根据样本对所提出的假设作出判断，是接受，还是拒绝接受，还是拒绝 例如：提出总体期望服从泊松分布的假设，然后进行判断例如：提出总体期望服从泊松分布的假设，然后进行判断 提出正态总体期望为提出正态总体期望为0的假设，然后进行判断
3、的假设，然后进行判断4/1018.1 假设检验假设检验假设检验的基本思想和做法假设检验的基本思想和做法l通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法l基本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓基本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓小概小概率原理率原理:“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的发生的”l假设检验的过程是要构造一个小概率事件，如果根据假设检验的过程是要构造一个小概率事件，如果根据实际样本数据的计算，该小概率事件发生了，则拒绝实际样本数据的计算，该小概率事件发生了，则拒绝原假设，否则接受原假设原假设，
4、否则接受原假设下面结合实例来说明假设检验的基本思想下面结合实例来说明假设检验的基本思想.5/1018.1 假设检验假设检验实例实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重包得的袋装糖重是一个随机变量是一个随机变量,它服从正态分布它服从正态分布.l当机器正常时当机器正常时,其均值为其均值为0.5公斤公斤,标准差为标准差为0.015公斤公斤.l某日开工后为检验包装机是否正常某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包随机地抽取它所包装的糖装的糖9袋袋,称得净重为称得净重为(公斤公斤):l0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0
5、.520 0.515 0.512 问机器是否正常问机器是否正常?,的均值和标准差的均值和标准差装糖重总体装糖重总体分别表示这一天袋分别表示这一天袋和和用用X 分析分析:6/101由长期实践可知由长期实践可知,标准差较稳定标准差较稳定,015.0 设设),015.0,(2 NX则则 .未知未知其中其中 问题问题:根据样本值判断根据样本值判断 .0.5 0.5 还是还是1 1 提出两个对立假设提出两个对立假设.:5.0:0100 HH和和2 结合合理法则，结合合理法则，再利用已知样本作出判断是接受再利用已知样本作出判断是接受假设假设H0(拒绝假设拒绝假设H1),还是拒绝假设还是拒绝假设H0(接受假
6、设接受假设H1).如果作出的判断是接受如果作出的判断是接受HH0 0,即认为机器工作是正常的即认为机器工作是正常的,否则否则,认为是不正常的认为是不正常的.,0 则则8.1 假设检验假设检验7/101由于要检验的假设涉及总体均值由于要检验的假设涉及总体均值,故可借助于样本均值来故可借助于样本均值来判断判断.,的无偏估计量的无偏估计量是是因为因为 X ,|,00不应太大不应太大则则为真为真所以若所以若 xH),1,0(/,00NnXH 为真时为真时当当 ,/|00的大小的大小的大小可归结为衡量的大小可归结为衡量衡量衡量nxx 于是可以选定一个适当的正数于是可以选定一个适当的正数k,8.1 假设检
7、验假设检验这里的检验统计量和分这里的检验统计量和分布均不含任何未知参数布均不含任何未知参数检验方法检验方法(即合理的法则即合理的法则)：对于未知参数，仍然从其：对于未知参数，仍然从其点估点估计量计量开始讨论，将未知参数开始讨论，将未知参数与其点估计量进行比较与其点估计量进行比较若过分大，则有理由若过分大，则有理由怀疑怀疑H H0 0的正确性的正确性8/101 ,/00Hknxx拒绝假设拒绝假设时时满足满足当观察值当观察值 .,/,00Hknxx接受假设接受假设时时满足满足当观察值当观察值反之反之 8.1 假设检验假设检验如何选取如何选取k呢，先看以下事实：呢，先看以下事实：由于作出决策的依据是
8、一个样本，当实际由于作出决策的依据是一个样本，当实际上上H0为真时，仍可能作出拒绝为真时，仍可能作出拒绝H0的决策，这种的决策，这种可能性是无法消除的，这是一种错误。可能性是无法消除的，这是一种错误。此即假定此即假定H0正确正确时的小概率事件时的小概率事件9/1018.1 假设检验假设检验因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定限因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定限度之内，即给出一个较小的数度之内，即给出一个较小的数(00，则称为，则称为右边检验右边检验问题问题类似的有时需要检验假设，类似的有时需要检验假设，H0：0，H1：0，因因H0中的中的都比都比H1中的要小，当中的要小，当H1为真
9、时观察值为真时观察值往往偏大，因此拒绝域的形式为往往偏大，因此拒绝域的形式为 k，k是某一正常数是某一正常数x20/1018.1 假设检验假设检验确定确定k，与例，与例1中的做法类似中的做法类似PH0为真时拒绝为真时拒绝H0=0HP 拒绝拒绝H0/000nknXPH /00nknXPH 不等号成立是因为不等号成立是因为 0 注意：这里注意：这里 的均值为的均值为 而不是而不是 0，所以放缩成，所以放缩成 后后才能用正态分布。才能用正态分布。要控制要控制PH0为真时拒绝为真时拒绝H0 只需令只需令 /00nknXPHX21/1018.1 假设检验假设检验，由于由于)1,0(/NnX ，得得到到
10、znk /0nzk 0即即,0nzkx 即即 znx /z0即即类似的有左边检验问题的拒绝域类似的有左边检验问题的拒绝域 znx /z022/1018.1 假设检验假设检验处理参数的假设检验问题的步骤如下：处理参数的假设检验问题的步骤如下：1.根据实际问题的要求提出原假设根据实际问题的要求提出原假设H0和备择假设和备择假设H1；2.给定显著性水平给定显著性水平，以及样本容量，以及样本容量n 3.确定检验统计量以及拒绝域的形式确定检验统计量以及拒绝域的形式l其分布应与任何未知数无关，且统计量里不含其它未知参数其分布应与任何未知数无关，且统计量里不含其它未知参数 l统计量的构造一般的从点估计量开始
11、考虑统计量的构造一般的从点估计量开始考虑 4.按按PH0为真时拒绝为真时拒绝H0 求出拒绝域求出拒绝域 5.取样，根据样本观察值作出决策，是接受取样，根据样本观察值作出决策，是接受H0还是拒绝还是拒绝H023/101例例2：某工厂生产固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布：某工厂生产固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布N(,2)，40cm/s，2cm/s,现在用新方法生产了一批推进现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取器，从中随机取n25只，测得燃烧率的样本均值为只，测得燃烧率的样本均值为 41.25cm/s，设新方法下总体均方差没变，问这批推进器的，设新方法下总体均方差没变，问这批推进器的燃烧率
12、较以往是否有显著的提高，取显著性水平燃烧率较以往是否有显著的提高，取显著性水平0.05解：解：1提出原假设提出原假设H0和备择假设和备择假设H1；H0：040，即假设新方法没有提高燃烧率，即假设新方法没有提高燃烧率 H1：0，即假设新方法提高了燃烧率，即假设新方法提高了燃烧率 2给定显著性水平给定显著性水平0.05 以及样本容量以及样本容量n258.1 假设检验假设检验x24/1018.1 假设检验假设检验3 3确定检验统计量以及拒绝域的形式确定检验统计量以及拒绝域的形式由例由例1，统计量为，统计量为 N(0，1)，拒绝域的形式为，拒绝域的形式为nX/knX /4按按PH0为真时拒绝为真时拒绝
13、H0 求出拒绝域求出拒绝域645.1/05.00 znxz 5取样，根据样本观察值作出决策，是接受取样，根据样本观察值作出决策，是接受H0还是拒绝还是拒绝H0 645.1125.325/24025.41 zz落在拒绝域中，在显著性水平落在拒绝域中，在显著性水平下拒绝下拒绝H0，因此新方法，因此新方法有显著提高有显著提高 25/1018.2 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验假设检验是针对弃真这一可能犯的错误人为设定一个界假设检验是针对弃真这一可能犯的错误人为设定一个界限，如果在这个界限内，认为原假设成立，否则的话，限，如果在这个界限内，认为原假设成立，否则的话，由于显著性水平取得很小
14、，表明小概率事件发生，根据由于显著性水平取得很小，表明小概率事件发生，根据实际推断原理，原假设不成立。实际推断原理，原假设不成立。尽管也可能犯第尽管也可能犯第II类取伪的错误，这时尽管总体的性质发类取伪的错误，这时尽管总体的性质发生了改变但没有发现，往往影响较小。生了改变但没有发现，往往影响较小。正态总体均值的检验分为三种情况正态总体均值的检验分为三种情况l单个正态总体单个正态总体l两个正态总体两个正态总体l成对数据成对数据26/1018.2 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验(一一)单个总体单个总体N(,2)均值均值 的检验的检验12已知，关于已知，关于 的检验的检验(Z检验检验)
15、提出的假设，提出的假设，双边：双边：H0：0，H1：0，单边：单边：H0：0，H1：0，H0：0，H1：2.365，因而否定，因而否定H0，即认为这种，即认为这种轮胎的耐磨性有显著差异。轮胎的耐磨性有显著差异。46/101（2）实验数据不配对分析：）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数据看作来自两个总体的样本观将两种轮胎的数据看作来自两个总体的样本观测值，这种方法称为不配对分析法。欲检验假设测值，这种方法称为不配对分析法。欲检验假设211210 ：，：HH8.2 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验我们选择统计量我们选择统计量2121212221)2()1()1nnnnnnSnSnYXt
16、 （47/101由样本数据及由样本数据及n1=n2=8可得可得5825,6145 yx7/8163390021 S7/8105387522 S516.07.619/320 t8.2 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验对给定的对给定的 =0.05查自由度为查自由度为16-2=14的的t分布表分布表得临界值得临界值t/2(16-2)=t0.025(14)=2.145 由于由于|t|=0.51602，H0中的全部中的全部2都比都比H1中的要小，因此，拒绝域的中的要小，因此，拒绝域的形式为形式为 s2 k ,200202ksPHHP 为真时而拒绝为真时而拒绝当当 )1()1(20202202
17、 knSnP )1()1(2022202202knSnP因为因为8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验53/101即对任意的即对任意的2 02，上式都成立，临界点是最差的，上式都成立，临界点是最差的情况情况 即拒绝域为即拒绝域为 类似的，左边检验问题：类似的，左边检验问题：H0：2 02，H1：202，相应的拒绝域为相应的拒绝域为以上检验法称为以上检验法称为 2检验法检验法）（1)1(220 nkn )1()1(2202 nsn )1()1(21202 nsn 8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验54/101)02.0(解解,5000:,5000:2120 HH要
18、检验假设要检验假设,26 n,02.0 ,500020 ,314.44)25()1(201.022/n例例3 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来其寿命长期以来服从方差服从方差 2=5000(小时小时2)的正态分布的正态分布,现有一批这现有一批这种电池种电池,从它生产情况来看从它生产情况来看,寿命的波动性有所变化寿命的波动性有所变化.现随机的取现随机的取26只电池只电池,测出其寿命的样本方差测出其寿命的样本方差 s2=9200(小时小时2).问根据这一数据能否推断这批电池问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化的寿命的波动性较以往的有显著的变
19、化?8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验55/101,524.11)25()1(299.022/1 n )1(202 sn,524.11拒绝域为拒绝域为:)1(202 sn或或.4.3144 465000920025)1(202 sn因为因为,4.3144 ,0H所以拒绝所以拒绝 可认为这批电池的寿命的波动性较以往可认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化的有显著的变化.8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验56/101,),(,211211的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体设设 NXXXn ,222121均为未知均为未知又设又设 需要检验假设需要检验
20、假设:,),(,222211的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体 NYYYn .,2221SS其样本方差分别为其样本方差分别为且设两样本独立且设两样本独立（二）两个正态总体的情况（二）两个正态总体的情况 ,:,:2221122210 HH8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验57/101 ,0为真时为真时当当H),()(22222121SESE ,1为真时为真时当当H :的确定如下的确定如下常数常数kkssss 222122211H拒绝域的形式拒绝域的形式有偏大的趋势，有偏大的趋势，为真时为真时当当),()(22222121SESE 8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差
21、的假设检验58/101)1,1()1,1(/212122212221 nnFknnFSS 可得可得而而,2221002221 kssPHHP 为真时而拒绝为真时而拒绝当当 kSSP222122212221/)1/(2221 因为因为，只需令，只需令为真时而拒绝为真时而拒绝要控制要控制 00HHP8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验 kSSP22212221/2221)1,1(212221 nnFssF 检验问题的拒绝域检验问题的拒绝域上述检验法称为上述检验法称为F检验法检验法.59/101解解例例3 3 某砖厂制成两批机制红砖某砖厂制成两批机制红砖,抽样检查测量砖抽样检查测量砖
22、的抗折强度的抗折强度(公斤公斤),),得到结果如下得到结果如下:;8.3,5.30,8 :;4.6,3.27,10 :2211 SynSxn第二批第二批第一批第一批已知砖的抗折强度服从正态分布已知砖的抗折强度服从正态分布,试检验试检验:(1)(1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异?(2)(2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异?)05.0(均取均取(1)检验假设检验假设:2221122210:,:HH8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验60/101,检验法检验法用用F,0为真时为真时当
23、当H),1,1(212221 nnFSSF统计量统计量查表知拒绝域为查表知拒绝域为)1,1(212/nnFF),1,1(212/1 nnFF 或或,44.14,96.40,8,10 222121 SSnn由由,82.4)7,9(025.0 F,283.0)9,7(1)7,9(025.0975.0 FF8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验61/101,837.244.1496.40 F得得,82.4837.2283.0 显然显然.,0有有显显著著差差异异认认为为抗抗折折强强度度的的方方差差没没所所以以接接受受 H(2)检验假设检验假设:211210:,:HH,检验法检验法用用t,
24、0为真时为真时当当H),2(11 2121 nntnnSYXtw统计量统计量8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验62/101.2)1()1(212222112 nnSnSnSw其中其中拒绝域为拒绝域为)2(212/nntt,1199.2)16()2810(025.0025.0 tt由由,418.5,3575.291644.14796.4092 wwSS245.1474.0418.55.303.2711 21 nnSYXtw得得,1199.2.,0显著差异显著差异认为抗折强度的期望无认为抗折强度的期望无所以接受所以接受 H8.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验63/
25、101小结小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有:检验检验检验检验的检验的检验单个总体均值单个总体均值t;U.1;tU.321检验检验检验，检验，的检验的检验两个总体均值差两个总体均值差;t.5检验检验基于成对数据的检验基于成对数据的检验正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表 )(显著性水平为显著性水平为 ;.2检验法检验法验法验法单个正态总体方差的检单个正态总体方差的检 2 ;.检验法检验法验法验法两个正态总体方差的检两个正态总体方差的检F48.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验64/101 4)(未未知知222212
26、12121 000)()()(/1222122121 nnttnnttnntt 2211121222211221 nnSnSnSnnSYXtww*)()(0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(已已知知2000 )(未未知知2000 ),(已已知知2221212121 nXU/0 nSXtn/*0 222121nnYXU 000 000 0002/uuuuuu )()()(/1112 nttnttntt 2/uuuuuu 32 165/10170H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域),(未知未知21222122212221 )(成对数据成对数据000 DDD nSDtD/0 000 DDD
27、)()()(/1112 nttnttntt )(未知未知 202202202 20221 *)(nSn 2221*SSF 202202202 222122212221 )()()()(/1111221222221222 nnnn 或或),(),(),(),(/11111111212121221121 nnFFnnFFnnFFnnFF 或或658.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验66/101 40H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz)1()1
28、()1(2/nttnttntt2/zzzzzz)(22221212121未知000)1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2()1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww)2(21 nntt 3218.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验67/1010H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(202202202未知),(21222122212221未知)(000成对数据DDD2022)1(Sn2221SSF nSDtD/0202202202222122212221000DDD)1()1()1()1(22/1222/221222nnnn或)1,1
29、()1,1()1,1()1,1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFFnnFF或)1()1()1(2/nttnttntt)1,1()1,1(212/1212/nnFFnnFF 或或5678.3 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验68/101t分布表分布表a )()(ntntP=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07
30、771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.1199
31、31.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n2.144869/101小结小结70/1018.6 分布拟合检验分布拟合检验实际问题中，有时不能知道总体服从什么实际问题中，有时不能知道总体服从什么类
32、型的分布，这时就需要根据样本来检验类型的分布，这时就需要根据样本来检验关于分布的假设。关于分布的假设。本节介绍本节介绍 2拟合检验法。它可以用来检验总拟合检验法。它可以用来检验总体是否具有体是否具有某一个指定的分布或属于某一某一个指定的分布或属于某一个分布族个分布族还有专用于检验分布是否为正态的还有专用于检验分布是否为正态的“偏度、偏度、峰度检验法峰度检验法”，留作自学，留作自学 71/1018.6 分布拟合检验分布拟合检验（一）单个分布的（一）单个分布的 2拟合检验法拟合检验法设总体设总体X的分布未知，的分布未知，x1,x2,xn是来自是来自X的样的样本值。我们来检验假设本值。我们来检验假设
33、lH0:总体总体X的分布函数为的分布函数为F(x)lH1:总体总体X的分布函数不是的分布函数不是F(x)其中设其中设F(x)不含未知函数不含未知函数也也常以分布律或概率密度代替常以分布律或概率密度代替F(x)，H1可不必写出可不必写出下面来定义检验统计量下面来定义检验统计量72/1018.6 分布拟合检验分布拟合检验将将H0下下X可能取值的全体可能取值的全体 分成互不相交的子集分成互不相交的子集A1,A2,Ak以以fi(i=1,2,k)记样本观察值记样本观察值x1,x2,xn中落在中落在Ai的个数，即的个数，即事件事件Ai=X的值落在子集的值落在子集Ai 内内在在n次次独立试验中发生独立试验中
34、发生fi次次，于是在这，于是在这n次试验中事件次试验中事件Ai发生的频率为发生的频率为fi/n。另一方面，当另一方面，当H0为真时，我们可以根据为真时，我们可以根据H0中所假中所假设的设的X的分布函数来计算事件的分布函数来计算事件Ai的概率，得到的概率，得到pi=P(Ai)，i=1,2,k。73/1018.6 分布拟合检验分布拟合检验频率频率fi/n与概率与概率pi会有差异，但一般来说，当会有差异，但一般来说，当H0为为真，且试验的次数又甚多时，这种差异不应太大，真，且试验的次数又甚多时，这种差异不应太大，因此因此(fi/n-pi)2不应太大。我们采用形如不应太大。我们采用形如 的统计量来度量
35、样本与的统计量来度量样本与H0中所假设的分布的吻合中所假设的分布的吻合程度，其中程度，其中Ci(i=1,2,k)为给定的常数。为给定的常数。kiiiipnfC12)(74/101皮尔逊定理皮尔逊定理 kiiikiiiiiinnpfpnfpnHpnC1221220,/或或的统计量为的统计量为设检验假设设检验假设选取选取定理定理.,)1(),(50),(200是是被被估估计计的的参参数数的的个个数数其其中中分分布布服服从从以以上上统统计计量量总总是是近近似似地地的的分分布布属属什什么么分分布布中中不不论论为为真真时时则则当当充充分分大大若若rrkHHn 注意：在单个分布的检验中，要检验的总体是已知
36、的，注意：在单个分布的检验中，要检验的总体是已知的，不含未知参数，如总体是参数为不含未知参数，如总体是参数为1的泊松分布的泊松分布(1)，这时，这时定理中的定理中的r=08.6 分布拟合检验分布拟合检验75/101 ,20020200GPHHPGGGHHH为真时拒绝为真时拒绝使使，确定，确定对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平为正常数）为正常数）（拒绝域的形式为拒绝域的形式为，如过分大就拒绝如过分大就拒绝不应太大不应太大为真时，为真时，于是于是)1(),1(2222 kkG 的值满足的值满足即当样本观察值使得即当样本观察值使得由上述定理得由上述定理得.,00HH否则就接受否则就接受下拒绝下
37、拒绝则在显著性水平则在显著性水平 注意注意iiiiAnpnpnnpn，则应适当合并，则应适当合并如果如果每一个每一个一般一般根据实践根据实践不太小不太小要足够大要足够大检验法时检验法时在使用在使用5.5,50 ,.,2 此即单个分布的此即单个分布的 2分布拟合检验法分布拟合检验法8.6 分布拟合检验分布拟合检验76/101解解试检验这颗骰子的六个面是否匀称试检验这颗骰子的六个面是否匀称?)05.0(取取根据题意需要检验假设根据题意需要检验假设例例1 把一颗骰子重复抛掷把一颗骰子重复抛掷 300 次次,结果如下结果如下:305260487040654321出现的频数出现的频数出现的点数出现的点数
38、H0:这颗骰子的六个面是匀称的这颗骰子的六个面是匀称的.)6,2,1(61:(0 iiXPH或或其中其中 X 表示抛掷这骰子一次所出现的点数表示抛掷这骰子一次所出现的点数(可能值只有可能值只有 6 个个),8.6 分布拟合检验分布拟合检验77/101)6,2,1(,iii取取 .)6,2,1(互不相容事件互不相容事件为为则事件则事件 iiXXAii在在H0为真的前提下为真的前提下,)(iiAPp )6,2,1(,61 i kiiiinpnpf122)(61300)6130040(2 61300)6130070(2 61300)6130048(28.6 分布拟合检验分布拟合检验78/101 61
39、300)6130060(2 61300)6130052(2,61300)6130030(2 ,16.202 ,516 自由度为自由度为,07.11)5(2205.0 表得表得查查,07.1116.202 所以拒绝所以拒绝 H0,认为这颗骰子的六个面不是匀称的认为这颗骰子的六个面不是匀称的.8.6 分布拟合检验分布拟合检验79/101 例例1 下表列出了某一地区在夏季的一个月中由下表列出了某一地区在夏季的一个月中由100个气象个气象站报告的雷暴雨的次数站报告的雷暴雨的次数.其中其中fi是报告雷暴雨次数为是报告雷暴雨次数为i的气象站数试用的气象站数试用 2拟合检验拟合检验法检验法检验任一个气象站报
40、告任一个气象站报告雷暴雨的次数雷暴雨的次数X是否服从均值是否服从均值=1的泊松分布（取显著性水平的泊松分布（取显著性水平=0.05）i012345 6fi22372013620AiA0A1A2A3A4A5A6解解 按题意需检验假设按题意需检验假设,2,1,0,!:10 iieieiXPHi 8.6 分布拟合检验分布拟合检验80/101在在H0下下X所有可能取的值为所有可能取的值为=0,1,2,，将，将 分分成如表所示的两两不相交的子集成如表所示的两两不相交的子集A0,A1,A2,A6，则有则有PX=i为为 例如例如 p0=PX=0=e-1=0.36788,p3=PX=3=0.06131,p6=
41、PX 6=0.059.n=1005,4,3,2,1,0,!1 iieiXPpi!31 e 501iip8.6 分布拟合检验分布拟合检验81/101表表8-2 例例1的的 2拟合检验计算表拟合检验计算表:=127.04 501iip8.03e-1e-1e-1/2e-1/6e-1/24e-1/120Aifipinpifi2/(npi)A0:X=0A1:X=1A2:X=2A3:X=3A4:X=4A5:X=5A6:X 62237201362036.78836.78818.3946.1311.5330.3070.05913.1637.2121.7554.92计算结果如表计算结果如表8-2所示，其中有些行
42、所示，其中有些行npi 7.815，故在显著性水平，故在显著性水平0.05下拒绝下拒绝H0，认为样本，认为样本不是来自均值不是来自均值=1的泊松分布的泊松分布.815.7)3()1(205.0205.0 k8.6 分布拟合检验分布拟合检验82/101在在(一一)中要检验的原假设是中要检验的原假设是H0：总体：总体X的分布函的分布函数是数是F(x)，其中，其中F(x)是已知的，这种情况是不多是已知的，这种情况是不多的我们经常遇到的所需检验的原假设是的我们经常遇到的所需检验的原假设是 H0：总体：总体X的分布函数是的分布函数是F(x;1,2,r)，其中其中F的形式已知，而的形式已知，而=(1,2,
43、r)是未知参数，是未知参数，它们在某一个范围取值它们在某一个范围取值在在F(x;1,2,r)中当参数中当参数(1,2,r)取不同取不同的值时，就得到不同的分布，因而的值时，就得到不同的分布，因而F(x;1,2,r)代表一族分布代表一族分布（二）分布族的（二）分布族的 2拟合检验拟合检验8.6 分布拟合检验分布拟合检验83/101在假设中，在假设中，H0表示总体表示总体X的分布属于分布族的分布属于分布族F(x;1,2,r)采用类似（一）中的方法来定义检验统计量，将在采用类似（一）中的方法来定义检验统计量，将在H0下下x可可能取值的全体能取值的全体分成分成k,（kr+l）个互不相交的子集）个互不相
44、交的子集A1,A2,Ak，以，以fi（i=1，2，k）记样本观察值）记样本观察值x1,x2,xn落在落在Ai 的个数，则事件的个数，则事件Ai=X的值落在的值落在Ai内内的频率为的频率为fi/n另一方面，当另一方面，当H0为真时，由为真时，由H0所假设的分布函数来计算所假设的分布函数来计算PAi，得到，得到PAi=pi(1,2,r)=pi()=pi此时，需先利用样本求出未知参数的最大似然估计（在此时，需先利用样本求出未知参数的最大似然估计（在H0下），以估计值作为参数值下），以估计值作为参数值,求出求出pi的估计值的估计值 )(iiAPp 8.6 分布拟合检验分布拟合检验84/101在在(6.
45、3)式中以式中以 代替代替pi,取取ip kiiinpnf122 作为检验假设作为检验假设H0的统计量的统计量可以证明，在某些条件下，在可以证明，在某些条件下，在H0为真时近似地有为真时近似地有)1(2122 rknpnfkiii 与在（一）中一样可得假设检验问题的拒绝域为与在（一）中一样可得假设检验问题的拒绝域为)1(22 rk 为显著性水平以上就是用来检验分布族的为显著性水平以上就是用来检验分布族的 2拟合检验法拟合检验法 8.6 分布拟合检验分布拟合检验85/101 在一试验中在一试验中,每隔一定时间观察一次由某种每隔一定时间观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的铀所放射的到达计数器上的
46、 粒子数粒子数,共观察了共观察了100次次,得结果如下表得结果如下表:1211109876543210012129911261716511211109876543210AAAAAAAAAAAAAAfiii ,2,1,0,!e .iiiXPXifii 应服从泊松分布应服从泊松分布考虑考虑从理论上从理论上粒子的次数粒子的次数个个是观察到有是观察到有其中其中 0.05)(?!e 是否符合实际是否符合实际问问iiXPi例例38.6 分布拟合检验分布拟合检验86/101解解所求问题为所求问题为:在水平在水平 0.05 下检验假设下检验假设服从泊松分布服从泊松分布总体总体 :0XH ,2,1,0,!e i
47、iiXPi .,0 故先估计故先估计未具体给出未具体给出中参数中参数由于在由于在 H由最大似然估计法得由最大似然估计法得,2.4 x 在在H0假设下假设下,即在即在X服从泊松分布假设下，服从泊松分布假设下，X所所有可能取的值为有可能取的值为=0,1,2,将将分成如表分成如表8-4所示的两两不相交的子集所示的两两不相交的子集A0,A1,A12 8.6 分布拟合检验分布拟合检验87/101 ,015.0e0 2.40 XPp如如 ,185.0!32.4e332.43 XPp ,002.011211112 iipXPp具体计算结果见下页表具体计算结果见下页表 8.5,2,1,0,!2.4e2.4 i
48、iiXPpii有估计有估计则则iXP 8.6 分布拟合检验分布拟合检验88/101表表8.5例例3的的拟合检验计算表拟合检验计算表 1 516172611 9 9 2 1 2 1 0 0.015 0.063 0.132 0.185 0.194 0.163 0.114 0.069 0.036 0.017 0.007 0.003 0.002 1.5 6.3 13.2 18.5 19.4 16.3 11.4 6.9 3.6 1.7 0.7 0.3 0.219.39415.62234.845 7.423 7.10511.739iAifip ipniipnf/20A1A2A3A4A5A6A7A8A9A1
49、0A11A12A664.6155.538=106.2810.0780.0652 7.8 6.58.6 分布拟合检验分布拟合检验89/101,592.12)6()1(2205.0 rk故接受故接受 H0,认为样本来自泊松分布总体认为样本来自泊松分布总体.,5 ,5 示示如表中第四列花括号所如表中第四列花括号所使得每组均有使得每组均有的组予以合并的组予以合并其中有些其中有些 iinppn,6118,8 2 的自由度为的自由度为故故并组后并组后 k现在现在 2=106.281-100=6.28112.592 注意注意 本题答案是本题答案是“接受接受H0，认为总体，认为总体X的分布属于泊松分的分布属于
50、泊松分布族，即认为布族，即认为X ()”，亦即亦即“认为必有某一个参数认为必有某一个参数 0，X (0)”，而不能将答案误写成而不能将答案误写成“X服从以服从以 =4.2为参数的为参数的泊松分布泊松分布”.8.6 分布拟合检验分布拟合检验90/101 自自1965年年1月月1日至日至1971年年2月月9日共日共2231天中天中,全世界记录到里氏震级全世界记录到里氏震级4级和级和4级以上地震级以上地震共共162次次,统计如下统计如下:(X 表示相继两次地震间隔天数表示相继两次地震间隔天数,Y 表示出现的频数表示出现的频数)8668101726315040393534302925242019151
