1、第三章第三章函数逼近与计算函数逼近与计算一、问题的提出一、问题的提出称为逼近的称为逼近的误差误差或或余项余项。如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。函数逼近要解决的问题。1 1 引引 言言 f x f x用简单的函数用简单的函数 近似地代替函数近似地代替函数 近似代替又称为逼近，近似代替又称为逼近，称为被逼近的函数，称为被逼近的函数，两者之差两者之差，是计算数学中，是计算数学中最基本的概念和方法之一。最基本的概念和方法之一。称为逼近函数，称为逼近函数，函数函数 P x P x R xf xP x二、函数逼近问题的一
2、般提法：二、函数逼近问题的一般提法：对于函数类对于函数类 A中给定的函数中给定的函数 f x ，要求在另一类较简，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类单的且便于计算的函数类 BA中寻找一个函数中寻找一个函数，使，使 与与 f x之差在某种度量意义下最小。之差在某种度量意义下最小。注：注：本章中所研究的函数类本章中所研究的函数类 A通常为区间通常为区间,a b上的连续函数，记做上的连续函数，记做,C a b;而函数类而函数类 B通常是代数多项式或三角多项式。通常是代数多项式或三角多项式。P x P x的函数逼近称为的函数逼近称为最佳一致逼近最佳一致逼近或或均匀逼近均匀逼近。三、常用的度量标准：
3、三、常用的度量标准：(一一)最佳一致逼近最佳一致逼近若以函数若以函数f(x)和和P(x)的最大误差的最大误差作为度量误差作为度量误差 f(x)P(x)“大小大小”的标的标准准,在这种意义下在这种意义下 ,maxxa bf xP xf xP x(二二)最佳平方逼近最佳平方逼近：采用采用 作为度量误差作为度量误差“大小大小”标准的函数逼近称为标准的函数逼近称为最佳平最佳平方逼近或均方逼近方逼近或均方逼近。22baf xP xdxf xP x2 2 最佳一致逼近最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念一、最佳一致逼近的概念设函数设函数 f x是区间是区间,a b对于任意对于任意 ，如果存在多项式，如果存在
4、多项式，使不等式，使不等式则称多项式则称多项式 在区间在区间,a b 上上一致逼近一致逼近(或或均匀逼近均匀逼近)于函数于函数 f x定义定义上的连续函数，上的连续函数，给定的给定的成立，成立，。P x P x maxa x bfxP x 所谓最佳一致逼近问题就是对给定的区间所谓最佳一致逼近问题就是对给定的区间,a b上的连续函数上的连续函数 f x，要求一个代数多项式，要求一个代数多项式 ,使得使得 其中其中，代表由全体代数多项式构成的集合。代表由全体代数多项式构成的集合。*minnnnnPxHfxPxfxPx*nPxnH称为称为最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式二、最佳一致逼近多项式的存
5、在性二、最佳一致逼近多项式的存在性定理定理 1（维尔斯特拉斯定理）（维尔斯特拉斯定理）若若f(x)是区间是区间a,b上的连续函数，则对于任意上的连续函数，则对于任意 0，总存在多项式总存在多项式 P(x)，使对一切，使对一切a x b 有有 nfxPx上的最佳一致逼近上的最佳一致逼近在在能否在所有次数不超过能否在所有次数不超过n n的代数多项式中找到一个的代数多项式中找到一个 表示由所有次数不超过表示由所有次数不超过n n的代数多项式的代数多项式构成的线性空间。构成的线性空间。空间中的空间中的最佳一致逼近最佳一致逼近问题。问题。|)(|max|,xffbax )(*xpn,C a b,C a
6、b 意义下意义下:，使得，使得其中，其中，这就是这就是三、三、*minnnnnpxHf xpxf xpxnH3 3 最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式一、最佳一致逼近多项式的存在性一、最佳一致逼近多项式的存在性 定理定理2 2（BorelBorel定理定理)*npxnH f x在在 中都存在对中都存在对 的最佳一致逼近多项式的最佳一致逼近多项式,记为记为 的的n n次最佳一致逼近多项式。次最佳一致逼近多项式。*np x f x称称为为简称简称最佳逼近多项式。最佳逼近多项式。*()()()min()()nnnnpxHf xpxf xpx,使得使得 成立成立.对任意的对任意的 ,f xC a b
7、二、相关概念二、相关概念1、偏差、偏差定义定义 nnPxH上的上的偏差偏差。f x nP x,a b,maxnnnaxbfPfPfxPx则称则称为为与与在在,0nf P,nf P,nf P注：注：，集合，记作集合，记作 ，它有下界，它有下界0。显然，显然，若若的全体组成一个的全体组成一个,f xC a b2、最小偏差、最小偏差 ,maxinfinfnnnnnnnPHPHa x bEf PfxPx 则称则称 nE f x,a b若记集合的下确界为若记集合的下确界为为为 在在上的上的最小偏差最小偏差。定义定义 3、偏差点、偏差点定义定义 设设 若在若在 0 xx上有上有 则称则称 0 x是是 ()
8、P xf x的的偏差点偏差点。若若 若若 00Pxfx00Pxfx,则称则称 则称则称 0 x0 x为为“正正”偏差点。偏差点。为为“负负”偏差点。偏差点。00,maxaxbPxfxPxfx ,nf xC a bP xH4、交错点组、交错点组若函数若函数 定义定义 fx在其定义域的某一区间在其定义域的某一区间 ,a b个点个点 上存在上存在n使得使得 则称点集则称点集 为函数为函数 f x在区间在区间 ,a b上的一个上的一个交错点组交错点组，kx称为称为交错点组的点交错点组的点。点点,1,2,.,kxkn,1,2,.,kxkn ,1max1,2,.,;kfxfxfxkn 12,1,2,.,1
9、;kkfxfxkn三、三、,C a b上的最佳一致逼近的特征上的最佳一致逼近的特征引理引理3.13.1 f x是区间是区间 ,a b上的连续函数上的连续函数，*nPx是是 f x的的n n次最佳一致逼近多项式，次最佳一致逼近多项式，*nf xPx存在正负偏差点。存在正负偏差点。则则设设必同时必同时xyO yf x nyfxE nyf xEab定理定理 3 3 （ChebyshevChebyshev定理）定理）f x是区间是区间 ,a b上的连续函数，上的连续函数，设设则则 *nPx是是 f x的的n n次最佳一致逼近多项式的次最佳一致逼近多项式的充要条件充要条件是是:*nf xPx在区间在区间
10、 ,a b上存在一个至少由上存在一个至少由2n组。组。个点组成的交错点个点组成的交错点推论推论1 1 f x是区间是区间 ,a b上的连续函数上的连续函数，*nPx是是 f x的的n n次最佳一致逼近多项式，次最佳一致逼近多项式，1nfx在在 ,a b内存在且保号，内存在且保号，*nf xPx在区间在区间 ,a b个点组成的交错点组，个点组成的交错点组，端点端点 ,a b都在交错点组中。都在交错点组中。2n上恰好存在一个由上恰好存在一个由设设若若则则且两且两推论推论2 2推论推论3 3,nP a b中中,若存在对函数若存在对函数 ,f xC a b的最佳一致逼近元，则惟一的最佳一致逼近元，则惟
11、一.在在 f x是区间是区间,a b上的连续函数上的连续函数，f x的的 n次最佳一致逼近多项式是次最佳一致逼近多项式是 f x的某个的某个 n次插值多次插值多 项式。项式。设设则则四、一次最佳逼近多项式四、一次最佳逼近多项式1n 1、推导过程、推导过程设设 2,fxCa b，且，且 fx在在 ,a b内不变号，内不变号，要求要求 f x在在 ,a b上的一次最佳一致逼近多项式上的一次最佳一致逼近多项式 101Pxaa x由推论由推论1 1，1fxPx在在 ,a b上恰好有上恰好有3 3个点构成的交错个点构成的交错且区间端点且区间端点,a b属于这个交错点组，属于这个交错点组，组，组，设另一个
12、交错点为设另一个交错点为2,x则则 2121112120fxP xf aP af bP bf aP af xP x 010101201221aa af aaabf baa af af xaa xfxa解得解得 12,f bf aafxb a 220.22f af xf bf a a xab a即即即即 22122f xf af bf aaxP xxba2、几何意义、几何意义 1yP xOyxab2xNMDQ3、举例、举例求求 在在 上的最佳一次逼近多项式。上的最佳一次逼近多项式。0,121fxx解：解：12,f bf aafxb a由由 可算出可算出 122 1 0.414,1xafxx 故故
13、22221,1xx解得解得222210.4551,11.0986.2xfxx由由 220.22f af xf bf a a xab a得得于是得于是得22201110.955,22xxaa21x的最佳一次逼近多项式为的最佳一次逼近多项式为 10.9550.414,P xx故故210.9550.414,01.xxx误差限为误差限为 210110.045.maxxxP x(*)在（在（*）式中若令）式中若令 ，则可得一个求根的公式，则可得一个求根的公式1bxa220.9550.414.abab五、五、ChebyshevChebyshev多项式及其应用多项式及其应用(1)(1)定义定义称称cosar
14、ccos,1nTnxx为为n n次次ChebyshevChebyshev多项式多项式.xcos444222sincossincoscoscosnnnnnCCn 注注 It is very important 令令arccos,x则则而而故故 为关于为关于 的的 次代数多项式。次代数多项式。nTxn(2)(2)性质性质正交性：正交性：由由 Tn(x)所组成的序列所组成的序列 Tn(x)是是在区间在区间-1,1上带权上带权 211)(xx的正交多项式序列。的正交多项式序列。0,0,2,0)()(11112nmnmnmdxxTxTxnm 且且 递推关系递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系
15、式：相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：01111,2nnnTxTxxTxx TxTx1,2,.n 奇偶性：奇偶性：切比雪夫多项式切比雪夫多项式 ，当当 为奇数时为奇函数；为奇数时为奇函数；cosarccoscosarccosnTxnxnnx 1cosarccos1nnnnxTx 为偶数时为偶函数。为偶数时为偶函数。在区间在区间-1,1上有上有 个不同的零点个不同的零点 21cos,1,2,.,2kkxknnnnnnTnT Tn(x)在在-1,1上有上有n+1个不同的极值点个不同的极值点使使Tn(x)轮流取得最大值轮流取得最大值 1 和最小值和最小值-1。cos,0,1,2,.,kxk
16、knn 切比雪夫多项式的极值性质切比雪夫多项式的极值性质Tn(x)的最高次项系数为的最高次项系数为 2n-1(n=1,2,)。在在-1x 1上，在首项系数为上，在首项系数为1的一切的一切n次多项式次多项式中中,)(21)(1xTxTnnn0)(max0)(max2111111xpxTxnxn nPx与零的偏差最小，且其偏差为与零的偏差最小，且其偏差为 112n；即，对于任何即，对于任何 ，有有 nP xPx该性质又被称为该性质又被称为ChebyshevChebyshev多项式的多项式的最小模性质最小模性质.注：注：区间区间 上的上的最小零偏差多最小零偏差多项式项式1,1(3)(3)应用应用 多
17、项式的降阶（最小零偏差问题）多项式的降阶（最小零偏差问题）在所有次数为在所有次数为 的多项式中求多项式的多项式中求多项式 ,n nPx在给定的有界闭区间上与零的偏差最小。在给定的有界闭区间上与零的偏差最小。使其使其最小零偏差多项式问题。最小零偏差多项式问题。这一问题被称为这一问题被称为不失一般性，可设不失一般性，可设 的首项系数为的首项系数为1 1，nPx有界闭区间为有界闭区间为 .所讨论的所讨论的1,1对一般区间对一般区间 ，,a b可先将可先将 换为换为 ，xt考虑考虑 在在 上的逼近上的逼近 ，再将，再将 换回换回 ，得到得到 。f t nP t1,1tx最后最后 nPx寻求最小零偏差多
18、项式寻求最小零偏差多项式 的问题的问题 nPx求求 的的 次最佳一致逼近多项式的问题。次最佳一致逼近多项式的问题。事实上等价于事实上等价于 nf xx1n即求即求 使其满足：使其满足：Pn 1注：注：在在 上首项系数为上首项系数为1 1的最小零偏差多项式为的最小零偏差多项式为 。)(xTn1,1 11111,1maxminnnnnP xHf xPxf xPx设设 01.nnfxbb xb x0nb 为为上的上的n次多项式，次多项式，要求要求 在在 上的不超过上的不超过 次的最佳一次的最佳一 f x1,11,11n 致逼近多项式致逼近多项式 。1nPx由于首项系数为由于首项系数为1 1的的 次次
19、ChebyshevChebyshev多项式多项式)(xTnn无穷范数最小，无穷范数最小，故有故有 *1nnf xPxb)(xTn于是于是 *1nnPxf xb)(xTn例例1 1 设设f(x)=4xf(x)=4x4 42x2xx x8x-5/28x-5/2，|x|1.|x|1.求求f(xf(x)在在-1,1-1,1中的中的3 3次最佳一致逼近元次最佳一致逼近元p p3 3(x).(x).解解 由由f(x)f(x)的表达式可知的表达式可知b b,首项系数为首项系数为1 1的的4 4次次 ChebyshevChebyshev多项式为多项式为 T T4 4(x)(x)x xx x1/8.1/8.由由
20、(1)(1)式得式得 p p3 3*(x)=f(x)-4T(x)=f(x)-4T4 4(x)=2x(x)=2xx x8x-3.8x-3.注：对区间为注：对区间为a,ba,b的情形，先作变换的情形，先作变换 x=(b-a)t/2+(b+a)/2 (2)x=(b-a)t/2+(b+a)/2 (2)然后对变量为然后对变量为t t的多项式用的多项式用(1)(1)式求得式求得p pn n(t(t)，然后再作，然后再作(2)(2)式的反变换得到式的反变换得到a,ba,b上的最佳一致逼近多项式上的最佳一致逼近多项式.近似最佳一致逼近多项式近似最佳一致逼近多项式设设1,1,fxC且存在且存在1n阶连续导数阶连
21、续导数 1nfx如何在如何在 上确定互异的插值节点上确定互异的插值节点 1,101,.,nxxx使得使得 的的 次插值多项式的余项最小？次插值多项式的余项最小？fxn由插值余项定理，由插值余项定理，次插值多项式次插值多项式 的余项为的余项为 n nLx 111!nnnnfRxf xLxxn其中，其中，10,1,1nniixxx其估计式为：其估计式为：11111111!maxmaxnnnxxf xLxfxxn 1111!nnfxxn因此，要使余项达到最小，只需使因此，要使余项达到最小，只需使 1nx尽可尽可能小。能小。是一个首项系数为是一个首项系数为1 1的的 次多项式，次多项式，1n故由故由C
22、hebyshevChebyshev多项式的性质，多项式的性质，只要取只要取 11nnxTx即可。即可。而而 110,nniixxx故只需取故只需取 为为 次次ChebyshevChebyshev多项式的零点，多项式的零点，0,1,2,.,ix in1n即即21cos,0,1,2,.,21iixinn注意到注意到 1nx注：注：以以 次次ChebyshevChebyshev多项式的零点作为插值节点的多项式的零点作为插值节点的 次次1nn拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 虽不能作为虽不能作为 的的 次最佳一次最佳一 nLx f xn致逼近多项式，但由于误差分布比较均匀，因此可以作为致逼近多项式
23、，但由于误差分布比较均匀，因此可以作为 f x的的 次近似最佳一致逼近多项式。次近似最佳一致逼近多项式。n4 4 最佳平方逼近最佳平方逼近一、内积空间一、内积空间1、定义、定义XXX,x y,x y,;x yy xx yX,;x yx yx yXR ,;xy zx zy zx y zX称二元函数称二元函数 为为内积内积。X设设 为为(实实)线性空间线性空间,对对 中每一对元素中每一对元素 ,在在 上定义了内积是指上定义了内积是指都有一实数，记为都有一实数，记为 与之对应，与之对应，且这个对应满足且这个对应满足:（2 2）,0,0,0;x xxx x（1 1）（3 3）（4 4）,g g则称则称
24、 为内积空间为内积空间，2、内积的性质、内积的性质设设 是一内积空间，则对任意的是一内积空间，则对任意的 ，有，有X,x yX（1 1）柯西）柯西许瓦兹不等式：许瓦兹不等式：),)(,(),(2yyxxyx（2 2）三角不等式：）三角不等式：222yxyx3、两种重要的内积空间、两种重要的内积空间 n n维欧氏空间维欧氏空间 ，内积就是两向量的数量积，即，内积就是两向量的数量积，即 连续函数空间连续函数空间 ，内积可以定义为积分的运算，内积可以定义为积分的运算或带权函数的积分运算，即或带权函数的积分运算，即nR,.Tiix yx yx y,)(),(,)()()()(),(baCxgxfdxx
25、gxfxxgxfba,)(),(,)()()(),(baCxgxfdxxgxfxgxfba或或,C a b4、权函数的定义、权函数的定义设设(x)定义在有限或无限区间定义在有限或无限区间a,b上，上，如果具有下列性质：如果具有下列性质：(1)对任意对任意x a,b，(x)0；(2)积分积分 存在存在，(n=0,1,2,)；dxxxnba)(3)对非负的连续函数对非负的连续函数g(x)若若 badxxxg0)()(则在则在(a,b)上上g(x)0。称满足上述条件的称满足上述条件的(x)为为a,b上的上的权函数。权函数。5、Euclid范数及其性质范数及其性质定义定义,f xC a b设设 22,
26、bafxfxdxff称为称为 f x的的EuclidEuclid范数范数。则称量则称量性质性质对于任何对于任何 下列结论成立：下列结论成立：22,f gfg,f gC a b1 1、2 2、3 3、222fgfg222222222fgfgfg（Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式）不等式）(三角不等式三角不等式)(平行四边形定律平行四边形定律)二、相关概念二、相关概念1、距离、距离 线性赋范空间中两元素线性赋范空间中两元素 之间的距离为之间的距离为dxxpxfxpxfxgxfdistba22)()()()()(),(连续函数空间连续函数空间 中，中，与与 的距离即为的
27、距离即为22(,)(,)()iidis x yxyxy xyxy因此，因此，中两点中两点 与与 之间的距离即为之间的距离即为2(,)(,)dis x yxyxy xy,x ynRxy,C a b f x g x也称为也称为2-2-范数意义下的范数意义下的距离距离2、正交、正交 若若 则称则称 与与 正交正交。,0,x y连续函数空间连续函数空间 中中，设设 badxxgxfxgf0)()()(),(则称则称f(x)与与g(x)在在a,b上上带权带权 (x)正交正交。进一步进一步，设在设在a,b上给定函数系上给定函数系 ，若满足条件，若满足条件)(),1,0,(,0,0)(),(是常数kkkjA
28、kjkjAkjxx则称函数系则称函数系 是是a,b上上带权带权(x)的正交函数系。的正交函数系。xy,C a b ,f xg xC a b kx kx若若特别地，当特别地，当Ak 1时，则称该函数系为时，则称该函数系为标准正交函数系标准正交函数系。若上述定义中的函数系为多项式函数系，则称之为若上述定义中的函数系为多项式函数系，则称之为a,b上带权上带权(x)的的正交多项式系正交多项式系。nx并称并称 是是 上上 带权带权(x)的的 次正交多项式次正交多项式。,a bn3、正交化手续、正交化手续 一般来说，当权函数一般来说，当权函数 及区间及区间 给定以给定以后，可以由幂函数系后，可以由幂函数系
29、 利用利用正交化方法构造出正交多项式系。正交化方法构造出正交多项式系。x,a b 0101,1,2.,nnknnkkkkgxxggxxgkgg21,.,.nxxx4、正交多项式的性质、正交多项式的性质(1)(1)是最高次项系数为是最高次项系数为1 1的的 次多项式次多项式.ngxn(2)(2)任一任一 次多项式次多项式 均可表示为均可表示为 的线性组合的线性组合.n nnPxH(3)(3)当当 时时,且且 与任一次数小于与任一次数小于 的多项式正交的多项式正交.nm,0nmgg ngxn 01,.,ngx g xgx(4)(4)递推性递推性其中其中这里这里 2,.bnnnaxggxgxx dx
30、011,0,gxgx,0,1,.,nnnnnx ggngg11,1,2,.,nnnnnggngg 11,0,1,.,nnnnngxxgxgxn 且都在区间且都在区间 内内.,a b x(1)ngxn n,a b(5)(5)设设 01,.gxgx是在是在上带权上带权项式序列项式序列,的正交多的正交多则则的的个根都是单重实根个根都是单重实根,三、常用的正交多项式三、常用的正交多项式1、第一类切比雪夫多项式、第一类切比雪夫多项式(1)(1)定义定义cosarccos,1nTnxx(2)(2)性质性质正交性：正交性：切比雪夫多项式序列切比雪夫多项式序列 Tn(x)是是在区间在区间-1,1上带权上带权
31、211)(xx的正交多项式序列。的正交多项式序列。1210,1(),()()(),021,0mnmnmnTx T xTx T x dxmnxmn 且且 递推关系递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：01111,2nnnTxTxxTxx TxTx1,2,.n 在区间在区间-1,1上有上有 个不同的实零点个不同的实零点 21cos,1,2,.,2kkxknnnnT2、Legendre(勒让德勒让德)多项式多项式(1)(1)定义定义 多项式多项式称为称为n 次勒让德多项式次勒让德多项式。),2,1,0()1(!21)(2nxdxdnxpnnn
32、nn(2)(2)性质性质 正交性正交性勒让德多项式序列勒让德多项式序列 是是-1,1上带权上带权 的正交多项式序列。即的正交多项式序列。即110(),()()()221mnmnmnP x P xP x P x dxmnn nP x 1x 递推关系递推关系相邻相邻的三个勒让德多项式具有如下递推关系式：的三个勒让德多项式具有如下递推关系式：0111()1,(),21()()()(1,2,)11nnnP xP xxnnPxxP xPxnnn 奇偶性：奇偶性：当当n为偶数时为偶数时，为偶函数为偶函数；nPx当当n为奇数时为奇数时，为奇函数为奇函数。nPx 在区间在区间-1,1内部存在内部存在n个互异的
33、实零点。个互异的实零点。nPx nPx的最高次项系数为的最高次项系数为2(2)!2(!)nnn(5)在所有首项系数为在所有首项系数为1 1的的 次多项式中，次多项式中，多项式多项式 在在 上与零的平方误差最小。上与零的平方误差最小。n nPx1,1勒让德勒让德证明：证明：设设 是任意一个最高项系数为是任意一个最高项系数为1的的 次多项式，次多项式，它可表示为它可表示为 nQxn 1nn0,nkkkQxPxa Px于是于是 1122nnnnnn10,nnkkkkQ QQx dxP PaP PP P当且仅当当且仅当011.0naaa时等号才成立，时等号才成立，即当即当 时平方误差最小。时平方误差最
34、小。nnQxPx3、其他常用的正交多项式、其他常用的正交多项式(1)第二类第二类Chebyshev(切比雪夫切比雪夫)多项式多项式定义：定义：称称2sin(1)arccos()(0,1,2,)1nnxUxnx为第二类切比雪夫多项式。为第二类切比雪夫多项式。相邻的三项具有递推关系式：相邻的三项具有递推关系式：0111()1,()2,()2()()(1,2,)nnnUxU xxUxxUxUxn第二类切比雪夫多项式的第二类切比雪夫多项式的性质性质：是区间是区间-1,1上带权上带权21)(xx的正交多项式序列。的正交多项式序列。nUx(2)拉盖尔拉盖尔(Laguerre)多项式多项式定义定义：称多项式
35、称多项式 ),2,1,0()0(),()(nxexdxdexLxnnnxn为拉盖尔多项式。为拉盖尔多项式。是在区间是在区间0,+上带权上带权 的正交多项的正交多项式序列式序列。nmnnmdxxLxLenmx,)!(,0)()(20 相邻的三项具有递推关系式：相邻的三项具有递推关系式：),2,1(),()()21()(,1)(,1)(12110nxLnxLxnxLxxLxLnnn拉盖尔多项式的拉盖尔多项式的性质性质：nLx xxe(3)埃尔米特埃尔米特(Hermite)多项式多项式定义定义：称多项式称多项式),2,1,0(),(),()1()(22nxedxdexHxnnxnn为埃尔米特多项式。
36、为埃尔米特多项式。的正交多项式序列。的正交多项式序列。是区间是区间(-,+)上带权上带权2)(xexnmnnmdxxHxHennmx,!2,0)()(2 相邻的三项具有递推关系式：相邻的三项具有递推关系式：),2,1(),(2)(2)(2)(,1)(1110nxnHxxHxHxxHxHnnn埃尔米特多项式的埃尔米特多项式的性质性质：nHx)(,),(),(10 xxxn0)()()()(221100 xaxaxaxann0210naaaa四、内积空间上的最佳平方逼近四、内积空间上的最佳平方逼近1 1函数系的线性关系函数系的线性关系定义：定义：若函数若函数 ，在区间，在区间 上连续，上连续，,a
37、 b如果关系式如果关系式当且仅当当且仅当 时才成立，时才成立，函数在函数在 上是上是线性无关线性无关的，否则称的，否则称线性相关线性相关。,a b则称则称)()()()(1100 xaxaxaxSnn)(,),(),(10 xxxn 是任意实数，则是任意实数，则01pan,ns )(,),(),(10 xxxn并称并称 是生成集合的一个是生成集合的一个基底基底。的全体是的全体是 的一个子集，记为的一个子集，记为,a b01,.,na aa,C a b设设 是是 上线性无关的连上线性无关的连续函数续函数,),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(10111010100010nn
38、nnnnnnnGG 连续函数连续函数 在在 上线性无关的上线性无关的 充分必要条件充分必要条件是它们的克莱姆是它们的克莱姆(Gram)(Gram)行列式行列式)(,),(),(10 xxxn定理定理,a b0,nG 其中其中广义多项式广义多项式 设函数系设函数系 ，线性无关，线性无关，)(,),(),(10 xxxn)()(0 xaxSjujj则其则其有限项有限项的线性组合的线性组合称为称为广义多项式广义多项式。对任意的对任意的为为 的的最佳平方逼近元。最佳平方逼近元。2 2、最佳平方逼近元的定义、最佳平方逼近元的定义01pan,ns 01,.,nX1nX 0.jjn设设 为线性内积空间，为线
39、性内积空间，为为 上上 个个线性无关元，线性无关元，记由记由 张成的张成的 的子空间为的子空间为 ，X即即定义定义,gX在在 的子空间的子空间 中，中，求求 的在的在2-2-范数范数g意义下的最佳逼近元意义下的最佳逼近元 ，*S即求即求 ，使不等式，使不等式*S*22,dis SgSgSg对任意对任意 成立成立.S*S*SgX若满足上式的若满足上式的 存在，存在，称称X3.3.平方最佳逼近元的存在性平方最佳逼近元的存在性定理定理1 1设设 为线性内积空间，为线性内积空间，X由线性无关组由线性无关组01,.,n 张成的线性空间张成的线性空间 为为 的子空间，的子空间，X存在存在 为为 的的最佳平
40、方逼近元最佳平方逼近元.则对任意的则对任意的,gX*S gRemark:Remark:线性内积空间线性内积空间 的子空间的子空间 的线性无关组的线性无关组X01,.,n 选取不同，选取不同，在在 中求得的对中求得的对 的最佳的最佳gX平方逼近元平方逼近元 也不同，求解也不同，求解 的难易程度也不同。的难易程度也不同。*S*S4.4.最佳平方逼近元的充要条件最佳平方逼近元的充要条件定理定理2 2内积空间内积空间)*01,.,nSspan 为为gX的最佳平方逼近元的的最佳平方逼近元的充要条件充要条件是：是：(线性线性*gS与一切与一切 0,1,.,jjn正交。正交。其中，其中，01,.,n 为为
41、的的 个线性无关元。个线性无关元。X1nREMARKREMARK：定理定理2 2中所说的中所说的 与一切与一切 正交，正交，*gSj 与一切与一切 的内积等于零，的内积等于零，是指是指*gSj即即*,0,0,1,.,.jgSjn证：证：必要性必要性.用反证法用反证法.设设 为为 的最佳平方逼近元，的最佳平方逼近元，*S gX不与所有的不与所有的 正交正交.但但*gS0,1,.,kkn即存在即存在使得使得*,0iigS*()(,)iiiiQxS则则,Q x 令令0iin 所以所以 必须与一切必须与一切 正交正交.*2222*2,iiigSgSgQ xgSgSgS*S*S且且这说明这说明 不是对不
42、是对 的最佳平方逼近元，的最佳平方逼近元，g与假设条件矛盾，与假设条件矛盾，*gS0,1,.,kkn充分性充分性.仍记仍记 则对任意的则对任意的 ，有，有*.jjScjjSd2*2,gSgS gSgSSS gSSS*,2,gSgSgSSSSS SS*,0jjjgSSScdgS而而*,0SS SS 对任意对任意 成立成立,即即 为为 的的最佳平方逼近元最佳平方逼近元。所以所以22*22,gSgSgSgS进而有进而有22*22gSgSS*Sg5.5.最佳平方逼近元的惟一性最佳平方逼近元的惟一性定理定理3 3线性内积空间线性内积空间 的子空间的子空间 中若存在对中若存在对 的的最佳平方逼近元，则最佳
43、平方逼近元，则惟一惟一.X,gX6.6.最佳平方逼近元的求解最佳平方逼近元的求解现假定线性内积空间现假定线性内积空间 上的内积已定义，上的内积已定义，X并且并且 的的X子空间的一组基底子空间的一组基底 也确定，也确定，10(),(),()nxxx平方逼近元平方逼近元.对具体的被逼近元对具体的被逼近元,gX要求要求*S 为为 的最佳的最佳g由最佳平方逼近元的充要条件，由最佳平方逼近元的充要条件，若假定若假定*jjSc则可以得出则可以得出*,0,0,1,.,jjigcin 其中其中*,0,1,.,jcin为待定系数。为待定系数。恒等变形为恒等变形为*,jjiicg 0,1,.,in*0001000
44、*1011111*00(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnngcgcgc 用矩阵式表示这个方程组为用矩阵式表示这个方程组为v此方程组称为此方程组称为法方程组。法方程组。若所选取的若所选取的一组基底一组基底 满足满足则称其为则称其为正交基正交基，此时，此时*(,),0,1,.,(,)jjjjgcjn 10(),(),()nxxx,ijij 五、函数的最佳平方逼近五、函数的最佳平方逼近 1.1.对于给定的函数对于给定的函数,)(baCxf要求函数要求函数22*()()()()min()()()bbaaS xxf xS xdxxf xS xdx*01
45、,.,nSspan 使使若这样的若这样的 存在，存在，*Sx上的上的最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数。f x则称为则称为 在区间在区间,a b特别地，若特别地，若01,.,nspan 则称则称*Sx为为 f x,a b在在上的上的 次次最佳平方逼近多项式最佳平方逼近多项式。n求最佳平方逼近函数求最佳平方逼近函数 的问题的问题可归结为求它的系数可归结为求它的系数 使多元函数使多元函数)()(0*xaxSjnjj*1*0,naaadxxaxfxaaaIjnjjban2010)()()(),(取得极小值。取得极小值。由于由于 是关于是关于 的二次函数，的二次函数，故利用多元函数取得极值的必要条件，可
46、得故利用多元函数取得极值的必要条件，可得01,.nI a aa01,.na aa0kaI(k=0,1,2,n)0)()()()(20dxxxaxfxaIkjnjjbak得方程组得方程组),2,1,0(,)()()()()()(0nkdxxxfxdxxxxakbajkbanjj最小二乘！最小二乘！如采用函数内积记号如采用函数内积记号,)()()(),(,)()()(),(dxxxfxfdxxxxkqakjkbajk方程组可以简写为方程组可以简写为 ),2,1,0(),(),(0nkfakjjnjk写成矩阵形式为写成矩阵形式为 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),
47、(10101011100101000nnnnnnnnfffaaa法方程组！法方程组！由于由于0,1,n线性无关，故线性无关，故Gn 0，于是上述方程组于是上述方程组存在唯一解存在唯一解 。),1,0(*nkaakk从而肯定了函数从而肯定了函数f(x)在在中如果存在最佳平方逼近函数，中如果存在最佳平方逼近函数，则必是则必是)()(0*xaxSjujj3.3.举例举例求求 在在 中的最佳平方逼近元。中的最佳平方逼近元。g xx10,1H这是这是 上的最佳平方逼近问题上的最佳平方逼近问题.解：解：0,1C取取0111,0,11,x Hspanx记记101Paa x因为因为01010111111,1,
48、121,3dxxdxdx 且同样可求得且同样可求得0122,35gg所以，关于所以，关于01,a a的法方程组为的法方程组为01011223112235aaaa解得解得0144,155aa即即 144515P xx为为10,1H中对中对 g xx的的最佳平方逼近元最佳平方逼近元。4.4.函数按正交多项式展开函数按正交多项式展开01,.,nspan 设设为为其中其中0,1,.,iin,a b上带权上带权 x的正交多项式系，的正交多项式系，给定给定,f xC a b若若 *00.nnSxaxax为为 f x在在,a b上的上的 次最佳平方逼近多项式，次最佳平方逼近多项式，n则由则由正交多项式的性质
49、，正交多项式的性质，,kkkkfa 0,1,.,kn即即 *0,nkkkkkfSxx例例：求求在在上的三次最佳平方逼近多项式。上的三次最佳平方逼近多项式。xfxe1,1解：解：先计算先计算即即,0,1,2,3,kf Pk 1011,2.3504,xf Pe dxee1111,20.7358,xf Pxe dxe1221371,0.1431,22xf Pxe dxee12315337,50,2013,22xf Pxe dxee所以得所以得所以有所以有均方误差为均方误差为最大误差为最大误差为*00,21.1752,af P*113,21.1036,af P*225,20.3578,af P*337
50、,20.07046,af P*2330.99630.99790.53670.1761.Sxxxx 31*2*23221020.0084,21xxnkkeSxe dxak*30.0112.xneSx六、曲线拟合的最小二乘法六、曲线拟合的最小二乘法1.1.问题提出问题提出已知测量数据：已知测量数据：xy1x2x.1y2ymymx要求简单函数要求简单函数 f x使得使得 iiiyf x总体上尽可能小。总体上尽可能小。iiyf x称为称为“残差残差”这种构造近似函数的方法称为曲线拟合；这种构造近似函数的方法称为曲线拟合；合函数合函数。f x称为称为拟拟注：注：使使 iiiyf x尽可能小的度量准则尽可
