1、第十七章 勾股定理情境引入学习目标1.掌握勾股定理的内容，会用面积法加以证明.（重点）2.会用勾股定理进行简单的计算.（难点）导入新课导入新课算一算：地板中的数学问题 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：毕达哥拉斯ABC穿越毕达哥拉斯做客现场问题1 试问A、B、C面积之间有什么样的数量关系？正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积+=ABC 问题问题2 2 你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？一直角边2另一直角边2斜边2+=看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理图图1-2问题3 图中每个小方格的面积均为1，请分
2、别计算出图、中A、B、C的面积，看看能得出什么结论？图图图图ABABCCA的面积B的面积C的面积图图图图169254913网格中的发现正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积+=问题问题4 4 图中的这个直角三角形有三边有什么样的数量关系呢？一直角边2另一直角边2斜边2+=讲授新课讲授新课 猜一猜 一般直角三角形三边还有这样的数量关系（即a2+b2=c2)吗？abc勾股定理一赵爽赵爽 拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.勾股定理的验证二abbc cabcc2b2a2=+这种用拼图的验证勾股定理的方法叫做弦图法aabcS大正方形c2S小正方形（b-a）S大
3、正方形4S三角形S小正方形赵爽弦图b-a证明：u证一证 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.赵爽所用的这种方法是我国古代常用的“出入相补法”.在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.赵爽弦图赵爽弦图cba 黄黄 实实朱实朱实 2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.建议同学们课外认真阅读P30勾股定理的证明.归纳总结在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉
4、斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.u公式变形：222222-acbbcacab,勾勾股股弦弦即：勾2+股2=弦2u勾股定理 例1 在RtABC中，C=90典例精析 （1）已知a=b=5,求c;（2）已知a=1,c=2,求b;解：(1)据勾股定理得222255505 2;cab(2)据勾股定理得2222213;bca（3）已知a：b=1：2，c=5,求a;（4）已知b=15，A=30,求a,c.在RtABC中，C=90解：(3)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52解得5x 5.a(4)30,
5、15,Ab2.ca因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152解得5 3.x 5 310 3.ac，例2 已知：RtABC中，AB，AC,则BC=.5 或或 74 43 3ACB4 43 3CAB 温馨提示 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解.当堂练习当堂练习1.如图所示，字母B所代表的正方形的面积是（）A.12 B.13 C.144 D.194C2.下列说法中正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平
6、方C.在RtABC中，C=90,所以a2+b2=c2D.在RtABC中，B=90,所以a2+b2=c2C3.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是 .25或74.直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为 .60135.在ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.ABCD作ADBC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程模型求出x利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积解：如图，在ABC中，AB=15,BC=1
7、4,AC=13,设BD=x,则CD=14-x,由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,故152-x2=132-(14-x)2,解之得，x=9.AD=12.1114 1284.22ABCSBC AD课堂小结课堂小结勾股定理内容在RtABC中，C=90,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪个角是直角已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论第十七章 勾股定理情境引入学习目标1.会运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.（重点）2.灵活运用勾股定理进行计算.（难点）导入新课导入新课问题 在Rt
8、ABC中，已知BC=6,AC=8,B C A(1)则AB=;(2)则AB边上的高是 ;(3)它的面积是 ;(4)它的周长是 .104.82424讲授新课讲授新课勾股定理的应用举例一 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?2m1mABDC问题1 木板进门框有几种方法?问题2 你认为选择哪种方法比较好?你能说出你这种方法通过的最大长度是什么?解：在RtABC中，根据勾股定理，2m1mABDCAC2=AB2+BC2=12+22=5 52.24.AC 因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.例2 如图所示，一架2.6m长的梯子AB斜靠
9、在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?问题1 下滑前梯子底端B离墙角O的距离是多少?ABDCO 问题2 下滑前后梯子与墙面、地面构成的两个直角三角形，什么量没有发生变化?问题3 下滑后梯子底端外移的距离是哪条线段的长度?如何计算?ABDCO 解：可以看出，BD=OD-OB.在RtABC中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.在RtCOD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.153.151.77,OD 1.77 10.77.BDODOB 所以梯子的顶端沿
10、墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.归纳总结用勾股定理巧证明“HL”二 思考思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？22BCABAC，=-=-证明：在RtABC 和RtA B C 中，中，C=C=90，根据勾股定理，得已知：如图，在RtABC 和RtA B C 中，C=C=90，AB=A B，AC=A C 求证：ABCA B C
11、 A B C ABC 22.B CA BA C ,ABAB ACAC .BCB C().ABCA B CSSS 用勾股定理在数轴上表示无理数 三探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？13探究思路：把握题意探究思路：把握题意找找关键字词关键字词连接相关知识连接相关知识建立数学模型（建模）建立数学模型（建模）提示提示直角边长为整数2，3的直角三角形的斜边长为 .13解：13“数学海螺”5,3,22345用同样的方法，你能否在数轴上画出表示 ，12345u利用勾股定理表示无理数的方法（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜
12、边.归纳总结（2）以原点O为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.当堂练习当堂练习1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行（）A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 B2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5 B.6 C.7 D.25第1题图第2题图A 3.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正
13、好在容器外壁，且容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短径是 cm.134.如图，在55正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出两个三角形，一个三角形的长分别 ，另一个三角形的三边长分别为 .(画出的两个三角形除顶点外可以重合外，其余部分不能重合）2 210、102 5 5、ABCDEF答题图A B C 1205.小明听说“武黄城际列车”已经经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石油A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80km,BC=20km,ABC=120,请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离
14、；（参考数据：）（2）若客车的平均速度是60km/h,市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h,为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案?请说明理由.(不计候车时间）214.6A B C 120解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，120,20,ABCBC1010 3BECE，在ABC中，28100300,AC 20 2120 4.692;ACkm（2）乘客车需时间 （小时）；18011603t 乘列车需时间 （小时）；292201+11804090t 所以选择城际列车.E 课堂小结课堂小结勾股定理的应用用勾股定理解决实际问题用勾股定理解决几何问题解决“HL”判定方法证全等的正确性问题形象说明无理数与数轴的关系八年级数学下册（RJ）八年级数学下册（RJ）八年级数学下册（RJ）
