1、 - 1 - 解答题(七) 17(2019 江西名校 5 月联考)已知数列an有 an0，Sn是它的前 n 项和，a1 3，且当 n2 时，S2n3n2anS2n1. (1)求证：数列anan1为等差数列； (2)求an的前 n 项和 Sn. 解 (1)证明： 当 n2 时， S2n3n2anS2n1， (SnSn1)(SnSn1)3n2an， an0， 所以(SnSn1)3n2， (Sn1Sn)3(n1)2， 两式对应相减， 得 anan13(2n1)， 所以(anan1)(an1an)6n3(6n3)6，又 n2 时，(3a2)212a29， 所以 a26，所以 a39，所以(a2a3)(
2、a1a2)69(36)6，所以数列an an1是首项为 9，公差为 6 的等差数列 (2)当 n 为偶数时，Sn(a1a2)(a3a4)(an1an)3(37(2n 1)3 n 232n1 2 3 2(n 2n) 当 n 为奇数时，Sna1(a2a3)(an1an)33(59(2n1) 33 n1 2 52n1 2 3 2(n 2n2)33 2(n 2n) 综上，Sn3 2(n 2n) 18(2019 福建南平二检)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是梯形， ABCD，AB2CD2 2，AD 3，PC3，PAB 是正三角形，E 为 AB 的中 点，平面 PAB平面 PCE. (1
3、)求证：CE平面 PAB； (2)在棱 PD 上是否存在点 F，使得二面角 PABF 的余弦值为3 38 19 ，若存 在，求出PF PD的值；若不存在，请说明理由 - 2 - 解 (1)证明：因为 AECD，且 AECD 2，所以四边形 AECD 是平行四 边形，从而 ADCE，且 CEAD 3，又在正PAB 中，PE 3 2 AB 6，则在 PCE 中，满足 PE2CE2PC2，所以 CEPE，又平面 PAB平面 PCE，平面 PAB平面 PCEPE，CE平面 PCE，所以 CE平面 PAB. (2)由(1)，知 PECE，且 PEAB，CEABE， CE，AB平面 ABCD，所以 PE平
4、面 ABCD， 又 AD平面 PAB，AE平面 PAB，所以 ADAE，以点 E 为坐标原点，分别 以射线 EC，EA，EP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， 则 P(0,0， 6)，D( 3， 2，0)，A(0， 2，0)，B(0， 2，0)， 假设在棱 PD 上存在点 F 满足题意，设PF PD ，则PF ( 3， 2， 6) ( 3， 2， 6)， AF APPF(0， 2， 6)( 3， 2， 6)( 3， 2 2， 6 6)，BA (0，2 2，0)，设平面 ABF 的法向量 n(x，y，z)， 则 3x 2 2y 6 6z0， 2 2y0， 取
5、z1，得 n 21 ，0，1 ， 因为平面 PAB 的一个法向量 m(1,0,0)，所以 |cos n， m |3 38 19 ， 则 21 21 21 3 38 19 ， 82210， (41)(2 1)0，因为 0，所以 1 4，所以在棱 PD 上存在点 F 使得二面角 PABF - 3 - 的余弦值为3 38 19 ，且PF PD 1 4. 19(2019 河南六市联考一)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上的任意一点，且|PF1| |PF2|的最大值为 4，椭圆 C 的离心率 与双曲线x 2 4 y2 121 的离心率互为倒数
6、 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设点 P 1，3 2 ，过点 P 作两条直线 l1，l2与圆(x1)2y2r2 00， 函数 t(a)单调递增， a(1， )时， t(a)k(x2)， 令 t(x)xln x(1k)x2k，所以 t(x)ln x2k，由 t(x)ln x2k 0，得 xek 2， 若 ek 22，即 k2ln 2 时， 在 x(2，)上，有 t(x)0，故函数 t(x)单调递增， 所以 t(x)t(2)22ln 20. 若 ek 22，即 k2ln 2 时，在 x(2，ek2)上，有 t(x)0.故函数 t(x)在 x(ek2， )上单调递增，所以在 x(2，)上，t(x
7、)mint(ek 2)2kek2. 故欲使 xxln xk(x2)，只需 t(x)mint(ek 2)2kek20 即可 令 m(k)2kek 2，所以 m(k)2ek2，由 m(k)2ek20，得 k2 ln 2，所以 k2ln 2 时，m(k)0，m(5)25e5 210e30，故 k max4. 21(2019 山东济南 3 月模拟)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统 为三级过滤，使用寿命为十年如图 1 所示，两个一级过滤器采用并联安装，二 - 5 - 级过滤器与三级过滤器为串联安装其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现， 在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是
8、否需要更换相 互独立)，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤 芯每个 80 元，二级滤芯每个 160 元若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级 滤芯每个 200 元，二级滤芯每个 400 元，现需决策安装净水系统的同时购买滤芯 的数量，为此参考了根据 100 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数 据制成的图表，其中图 2 是根据 200 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图， 下表是根据 100 个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表 二级滤芯更换频数分布表： 二级滤芯更换的个数 5 6 频数 60 40 以 200 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1
9、个一级过滤器更换滤芯发生的概 率，以 100 个二级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的概 率 (1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30 的概率； (2)记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求 X 的 分布列及数学期望； (3)记 m， n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯 的个数若 mn28，且 n5，6，以该客户的净水系统在使用期内购买各级 滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定 m，n 的值 解 (1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数 - 6 - 恰好为 30，
10、则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换 12 个滤芯，二级过滤器 需要更换 6 个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰 好为 30”为事件 A，因为一个一级过滤器需要更换 12 个滤芯的概率为 0.4，二级 过滤器需要更换 6 个滤芯的概率为 0.4，所以 P(A)0.40.40.40.064. (2)由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为 10,11,12 的概率分 别为 0.2,0.4,0.4. 由题意，X 可能的取值为 20,21,22,23,24，并且 P(X20)0.20.20.04， P(X21)0.20.420.16， P(X22)0.40.40
11、.20.420.32， P(X23)0.40.420.32， P(X24)0.40.40.16. 所以 X 的分布列为 X 20 21 22 23 24 P 0.04 0.16 0.32 0.32 0.16 E(X)200.04210.16220.32230.32240.1622.4. (3)解法一：因为 mn28，n5,6，若 m22，n6，则该客户在十年使 用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 22802000.324000.16 61602848； 若 m23，n5，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望 值为 23802000.1651604000.42832. 故 m，
12、n 的值分别为 23,5. 解法二：因为 mn28，n5,6，若 m22，n6， 设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为 Y1(单位：元)，则 Y1 1760 1960 2160 P 0.52 0.32 0.16 E(Y1)17600.5219600.3221600.161888. 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为 Y2(单位：元)，则 Y2 6160960， E(Y2)1960960. - 7 - 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 E(Y1)E(Y2) 18889602848. 若 m23，n5， 设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为
13、Z1(单位：元)，则 Z1 1840 2040 P 0.84 0.16 E(Z1)18400.8420400.161872. 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为 Z2(单位：元)，则 Z2 800 1200 P 0.6 0.4 E(Z2)8000.612000.4960. 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 E(Z1)E(Z2) 18729602832. 故 m，n 的值分别为 23,5. 22已知直线 l 的极坐标方程为 sin 4 2 2，现以极点 O 为原点，极轴 为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系， 曲线 C1的参数方程为 x12cos， y22si
14、n ( 为参数) (1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C1的普通方程； (2)若曲线 C2为曲线 C1关于直线 l 的对称曲线，点 A，B 分别为曲线 C1、曲线 C2上的动点，点 P 的坐标为(2,2)，求|AP|BP|的最小值 解 (1)sin 4 2 2， 2 2 sin 2 2 cos2 2， 即 cossin4， 直线 l 的直角坐标方程为 xy40； x12cos， y22sin， 曲线 C1的普通方程为(x1)2(y2)24. - 8 - (2)点 P 在直线 xy4 上， 根据对称性， |AP|的最小值与|BP|的最小值相等 曲线 C1是以(1，2)为圆心，半径 r2 的圆
15、 |AP|min|PC1|r21222223. |AP|BP|的最小值为 236. 23已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)x22x. (1)解关于 x 的不等式 g(x)f(x)|x1|； (2)如果对任意的 xR，不等式 g(x)cf(x)|x1|恒成立，求实数 c 的取值 范围 解 (1)函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称， g(x)f(x)x22x， 原不等式可化为|x1|2x2， 即 x12x2或 x12x2， 解得1x1 2，故原不等式的解集为 1，1 2 . (2)不等式 g(x)cf(x)|x1|可化为|x1|2x2c， 即2x2cx12x2c， 即 2x2xc10， 2x2x1c0， 要使不等式恒成立，只需 18c10， 181c0， 解得 c9 8， 故 c 的取值范围是 ，9 8 .
