1、 - 1 - 压轴题(七) 12已知函数 f(x)xln xa x3，g(x)x 3x2，若x1，x2 1 3，2 ，f(x1) g(x2)0，则实数 a 的取值范围为( ) A0，) B1，) C2，) D3，) 答案 B 解析 g(x)3x22x3x x2 3 ，x 1 3，2 ，当 x 2 3，2 时，g(x)0， g(x)在区间 2 3，2 上单调递增，当 x 1 3， 2 3 时，g(x)0，g(x)在区间 1 3， 2 3 上单 调递减，而 g 1 3 2 270， xln x0， 即 h(x)在区间 1 3，1 上单调递增； 当 x(1,2时， 1x0， h(x)0)yk(x2)
2、，且 x 2y23， 则ABC 面积的最大值等价转化为直线 yk(x2)与圆 x2y23 有公共点 时的 k 的最大值，则圆心(0,0)到直线 yk(x2)的距离 d |2k| 1k2 3，可得 01，所以 ln x0，所以 g(x)1 2， 令 g(x)0， 得 xe a+1 2 ，当 1ea+ 1 2 时， g(x)0， t(a)在0,1)上单调递增； 当 a(1， )时， t(a)0；当 a1，)时，h(x)的最小值为 t(a)ae2e a10t(2)故 a 的取值范围是0,2 21 (2019 陕西部分学校高三摸底)已知圆 O： x2y21 和抛物线 E： yx22， O 为坐标原点
3、(1)已知直线 l 与圆 O 相切，与抛物线 E 交于 M，N 两点，且满足 OMON， 求直线 l 的方程； (2)过抛物线 E 上一点 P(x0，y0)作两条直线 PQ，PR 与圆 O 相切，且分别交抛 物线 E 于 Q，R 两点，若直线 QR 的斜率为 3，求点 P 的坐标 解 (1)由题意，知直线 l 的斜率存在，设直线 l：ykxb，M(x1，y1)，N(x2， y2)，由直线 l 与圆 O 相切，得 |b| k211， 所以 b2k21. 由 ykxb， yx22， 消去 y，得 x2kxb20. 所以 x1x2k，x1x2b2. 由 OMON，得OM ON 0，即 x1x2y1y
4、20， - 4 - 所以 x1x2(kx1b)(kx2b)0， 所以(1k2)x1x2kb(x1x2)b20， 所以 b2(b2)(b21)bb20， 解得 b1 或 b0(舍去) 所以 k0，故直线 l 的方程为 y1. (2)设 Q(x3，y3)，R(x4，y4)，则 kRQy 3y4 x3x4 x232x242 x3x4 x3x4， 所以 x3x4 3. 由题意，知直线 PQ，PR 的斜率均存在， 设 PQ： yy0k1(xx0)， 由直线 PQ 与圆 O 相切， 得|y 0k1x0| k211 1， 即(x201)k21 2x0y0k1y2010， 设 PR：yy0k2(xx0)，同理可得(x201)k222x0y0k2y2010. 由题意可得 x201， 故 k1，k2是方程(x201)k22x0y0ky2010 的两个根， 所以 k1k22x0y0 x201. 由 yk1xy0k1x0， yx22， 得 x2k1xk1x0y020， 故 x0x3k1， 同理可得 x0x4k2， 则 2x0x3x4k1k2，即 2x0 3 2x0y0 x201， 所以 2x0 32x 0x202 x201 ， 解得 x0 3 3 或 x0 3. 当 x0 3 3 时，y05 3；当 x0 3时，y01. - 5 - 故 P 3 3 ，5 3 或 P( 3，1)
