1、 - 1 - 压轴题(三) 12 (2019 江西上饶重点中学六校第二次联考)过ABC 的重心 G 作直线 l， 已 知 l 与 AB， AC 的交点分别为 M， N， SABC SAMN 20 9 ， 若AM AB ， 则实数 的值为( ) A2 3或 2 5 B3 4或 3 5 C3 4或 2 5 D2 3或 3 5 答案 B 解析 设AN xAC， 因为 G 为ABC 的重心， 所以ABAC3AG ， 即 1 3AM 1 3xAN AG .由于 M，N，G 三点共线，所以 1 3 1 3x1，即 x 31.因为 SABC SAMN 20 9 ， SABC1 2|AB |AC|sinA，S
2、 AMN1 2|AM |AN | sinA，所以|AB |AC| |AM |AN | |AB |AC| x|AB |AC| 1 x 20 9 ， 即有 202 319，解得 3 4或 3 5.故选 B. 16(2019 湖北宜昌元月调考)已知数列an是各项均为正数的等比数列，其前 n 项和为 Sn，点 An，Bn均在函数 f(x)log2x 的图象上，An的横坐标为 an，Bn的横 坐标为 Sn1，直线 AnBn的斜率为 kn.若 k11，k21 2，则数列an f(an)的前 n 项和 Tn_. 答案 (n2) 2n2 解析 由题意可知 A1(a1， log2a1)， A2(a2， log2
3、a2)， B1(S11， log2(S11)， B2(S2 1，log2(S21)， k1log 2S11log2a1 S11a1 1， k2log 2S21log2a2 S21a2 1 2， 解得 a11， a22， an2n 1，f(a n)log22n 1n1， an f(an)(n1)2n 1，T n020121222(n2)2n 2(n 1)2n 1， - 2 - 2Tn021122223(n2)2n 1(n1)2n， ，得Tn222232n 1(n1)2n，所以T n212 n1 12 (n1)2n， 整理，得 Tn(n2) 2n2. 20已知 F1(2,0)，圆 F2：(x2)2
4、y224，若 M 为圆 F2上的一个动点，且 线段 MF1的垂直平分线与 MF2交于点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程； (2)已知点 A，B 为动直线 yk(x2)(k0)与动点 C 的轨迹的两个交点，点 E(m,0)，当EA EB为定值时，求 m 的值 解 (1)由圆的方程可知，F2(2,0)，|MF2|2 6， 因为|CF1|CM|， 所以|CF1|CF2|CM|CF2|MF2|2 6， 又因为|F1F2|40， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 12k2 13k2， x1x212k 26 13k2 ， 根据题意，有EA EB(x 1m，y1) (x2m，y2)
5、(x1m)(x2m)y1y2 (x1m)(x2m)k2(x12)(x22) (k21)x1x2(2k2m)(x1x2)4k2m2 (k21) 12k26 13k2 (2k2m)12k 2 13k24k 2m2 - 3 - 3m 212m10k2m26 13k2 . 要使上式为定值，即与 k 无关， 则应 3m212m103(m26)，即 m7 3， 此时EA EBm265 9为定值 21已知函数 f(x)ln xm 1 x2 (mR) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)的最小值为1，mN*，数列bn满足 b11，bn1f(bn)3(n N*)， 记 Snb1b2bn，
6、t表示不超过 t 的最大整数， 证明： n i1 1 SiSi10， 即 f(x)在(0，)上为增函数； 当 m0 时，令 f(x)0，得 xm， 即 f(x)在(m，)上为增函数； 令 f(x)0，得 x1 时，g(m) 1 m21 时，g(m)g(1)0. mN*，m1. - 4 - 则 bn1ln bn 1 bn1.由 b11，得 b22. 从而 b3ln 23 2. 1 2ln 21.2b33. 猜想当 n3，nN*时，2bn3. 下面用数学归纳法证明猜想正确 当 n3 时，猜想正确 假设 nk(k3，kN*)时，猜想正确 即 k3，kN*时，2bk3. 当 nk1 时，有 bk1ln bk 1 bk1， 由(1)，知 h(x)ln x1 x1 是(2,3)上的增函数， 则 h(2)h(bk)h(3)，即3 2ln 2bk11 2，ln 3 5 3，得 2bk13. 综合，得对一切 n3，nN*，猜想正确 即 n3，nN*时，2bn3. 于是，b11，bn2(n2)， 则 Snb1b2bn2n1， 故 n i1 1 SiSi1 n i1 1 2i12i1 1 2 11 3 1 3 1 5 1 2n1 1 2n1 1 2 1 1 2n1 1 2.
