1、3.3 积分变换法积分变换法 定义定义：假设：假设 I 是数集是数集(实数或者复数实数或者复数)，K(s,x)为为 上的函数上的函数,这里这里 a,b为任意区间。如果为任意区间。如果 f(x)在区间在区间 a,b 有定义有定义,且且 K(s,x)f(x)为为 a,b 上可积函数上可积函数,则含参变量积分则含参变量积分,Ia b,sI ,:bafx dKsxxsF 定义了一个从定义了一个从 f(x)到到 F(s)的变换的变换,称为称为积分变换积分变换。K(s,x)称为变换的称为变换的核核。常见的积分变换有常见的积分变换有傅立叶傅立叶(Fourier)变换变换和和拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)
2、变换。变换。傅立叶变换傅立叶变换 ,(,),ixa bKxe .ixFf x dex 记作：记作：()()FF f 其中，其中，f(x)在任一有限区间满足狄利克雷条件在任一有限区间满足狄利克雷条件(只有有限个第一类间断点和有限个极值只有有限个第一类间断点和有限个极值)，在在 上绝对可积。上绝对可积。(,)傅立叶逆变换傅立叶逆变换 12ixfxFed 记作：记作：1()()()fxFFx 当当 f(x)连续时，有连续时，有 1()2ixixfxedf x edx 傅立叶变换具有如下傅立叶变换具有如下性质性质:()()FfgF fF g 1)1)线性性质线性性质 对于任意常数对于任意常数 ，,2)
3、2)微分运算性质微分运算性质 ()()Ffi Ff ()()()()nnFfiFf 3)3)对傅立叶变换求导数对傅立叶变换求导数 ()()dFfFix f xd ()()()nnndFfFixf xd 4)卷积性质卷积性质 令令 ()f xg xf xt g t dtf t g xt dt FfgFfF g 则则 1FFfF gfg 反之，反之，5)乘积运算乘积运算 1.2F f gF fF g 傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了一个对偶关系。一个对偶关系。6)平移性质平移性质()()()(),.i yF fyeF fyR 思考思考 设设 u=u(
4、x,y),假如我们以假如我们以 y 为参数为参数,对对 x 作作傅立叶变换：傅立叶变换：,u x yUy 两个自变量的偏微分方程两个自变量的偏微分方程 带参量的常微分带参量的常微分方程方程。).,(yUi那么利用傅立叶变换的微分性质，那么利用傅立叶变换的微分性质，经过傅立叶经过傅立叶变换将得到变换将得到 xu 经过傅立叶变换得到经过傅立叶变换得到 .),(dyydUyu二阶导数类似。二阶导数类似。例例 用积分变换法解齐次方程：用积分变换法解齐次方程：22,0,.,0uutxRtxu xfx 解：解：考虑到自变量的取值范围，对考虑到自变量的取值范围，对 x 进行傅立叶进行傅立叶变换。设变换。设
5、,ixu x tUtu x t edxf xF 方程转化为方程转化为 20,|tdUtUtdtUtF 于是于是 2,.tUtFe 为了求出原方程的解为了求出原方程的解,下面对下面对 关于关于 进行进行 傅立叶逆变换傅立叶逆变换.,Ut 根据傅里叶变换的微分性质，根据傅里叶变换的微分性质，2,.tUtFe 222144,()121.2txtstu x tfxFexfxetfxs edst 1FFfF gfg 1()()()fxFFfx 22(,),0,0uuf x txR ttxu xx例例 用积分变换法解非齐次方程：用积分变换法解非齐次方程：方程变为方程变为 20,|tdUtUtFtdtUt
6、解解：作关于作关于 的傅立叶变换：的傅立叶变换：xdxetxutUtxuxi,x ,f x tFt 22()0,(,).tttUteFed 可解得可解得 22412()xttFeet 而而则则 224401212(),(,).()xtxttUtFetFFedt 1,(,)()u x tFUtx 2214401212()(,)()xtxttFFetFFedt 2141*2xtFFet 214012()(,)*()xttFFf xedt 241()*2xtxet 24012()(,)*()xttf xedt 2()412xtedt 24012()()(,)xttfdedt 拉普拉斯变换拉普拉斯变换
7、 傅立叶变换要求函数傅立叶变换要求函数 f 在在 有定义并且绝对有定义并且绝对可积。很多常见函数，如常数函数，多项式，三角可积。很多常见函数，如常数函数，多项式，三角函数等都不满足条件。以时间函数等都不满足条件。以时间 t 为自变量的函数为自变量的函数在区间在区间 也无意义。这些都限制了傅立叶变也无意义。这些都限制了傅立叶变换的应用。为此引入换的应用。为此引入拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)变换变换。(,)(,0)拉普拉斯变换的积分核为拉普拉斯变换的积分核为 ,0,ptet 0:.pteLf tFpf tdt 0,(,)f t其其中中在在上上有有定定义义 且且积积分分 0ptt efdt 在
8、在复参数复参数 p 的某个区域内收敛。的某个区域内收敛。记作：记作：()()F pL fp()()()()F pf tf tF p若若是是的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换，则则称称拉拉普普拉拉斯斯逆逆为为的的变变换换，记记作作：1()()()f tLF pt 0()().ptF pf tL ftped 若若 f(t)在在 内的任一有限区间是分段连续的，内的任一有限区间是分段连续的，且存在常数且存在常数 使得使得 0,)0,0Mc|()|,0,ctf tMet 则在半平面则在半平面 Re(p)c 内，内，f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换 F(p)一定存在，且一定存在，且 F(p)还是还是 p 的
9、解析函数。的解析函数。拉普拉斯变换的存在条件：拉普拉斯变换的存在条件：基本性质基本性质(注意注意 p 的范围是复平面的一部分的范围是复平面的一部分)：1)1)基本变换基本变换:1!(),0,1,2,nnnL tnp 1(),atL epa 22(sin),aLatpa 22(cos)pLatpa 2)2)线性性质线性性质 LfgL fL g 3)微分性质微分性质 ()0,L fppFpf 若若 则则()(),F pL fp 2()0 0,L fpp F pp ff 211()0 00.nnnnnL fpp F ppfpff 4)积分性质积分性质 01()tLf s dspF pp 6)位移性质
10、位移性质 ()atL ef tpFpa 7)延迟性质延迟性质 ()psL f tspeF p 5)对拉普拉斯变换求导对拉普拉斯变换求导()()()()()nnFpLtf tp 8)卷积性质卷积性质 L fgL f L g 0tfgtf s g ts ds 其其中中sin?atL et 练习：练习：应用应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程：拉普拉斯变换既适用于常微分方程(如如 P38),也适用于偏微分方程。也适用于偏微分方程。例例 解常微分方程的初值问题解常微分方程的初值问题:20,0.Tta T tf tTbTc 解解：对：对 t 进行拉普拉斯变换进行拉普拉斯变换,设设 答案：答案：1)(12
11、ap则原方程变为则原方程变为 22()p T pbp ca T pF p 20,0.Tta T tftTbTc (),LT tT p .Lf tF p 222222221F pbp cT ppaapcaF pbapapaa pa 进行拉普拉斯逆变换进行拉普拉斯逆变换,考虑到考虑到 112222sin,cosapLatLatpapa 有有 11sincossinT tLT pcf tatbatataa 01()sin()dcossintcf sa tssbatataa 例例：设：设 x0,y0,求解定解问题求解定解问题 22201|,|cosyxux yx yuxuy 解解：对：对 y 进行拉普
12、拉斯变换。进行拉普拉斯变换。则方程变为：则方程变为：2221,dpU x pxxdxp ,u x yU x p设设232.dUxxdxpp 而而 变为变为 1|cosxuy 12,|,1xpU x pp 解常微分方程得解常微分方程得 32323,1111.313U x ppxxppppp 取拉普拉斯逆变换，得取拉普拉斯逆变换，得 322211,cos166u x yx yxyy1!(),0,1,nnnL tnp 例例：一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的：一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为初始温度为0 0。求杆上温度分布规律。求杆上温度分布规律。解：解：需要求解定解问题需要
13、求解定解问题2220,0,0,|0,tuuaxttxu 0|.xuf t 思考：思考：需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？对对 t 进行拉普拉斯变换，设进行拉普拉斯变换，设 ,u x tU x pf tF p于是方程变为于是方程变为 2220,|xd U x papU x pdxU x pFp 这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为 ,.ppxxaaU x pCeDe ,.ppxxaaU x pCeDe 二阶方程，但是仅有二阶方程，但是仅有一个边界条件！一个边界条件！考虑到具体问题的物理意义：考虑到具体问题的物理
14、意义：u(x,t)表示温度，表示温度，,(,)(,)Re()0 xu x tU x pp 当当应应该该有有界界，所所以以在在收收敛敛，从从而而也也有有界界。故故 D=0.再由边值条件再由边值条件 可知，可知，C=F(p).0,|xU x pF p ,.pxaU x pF p e ,.pxaU x pF p e 111,pxapxau x tLF pLef tLe 为求出为求出 u(x,t),需要对需要对U(x,p)进行拉普拉斯进行拉普拉斯逆变换。逆变换。由拉普拉斯变换表知，由拉普拉斯变换表知，2212(),pxyaxa tL g teg tedyp d()1(0),dppxxaag tLpeg
15、etp由由于于221432d()d2xpxa tag txLeetat 所所以以 222yxa tg tedy 224()3021(,)()d2()xtat sxu x tf sesats 积分变换法求解定解问题的基本步骤：积分变换法求解定解问题的基本步骤：1)选取恰当的积分变换。主要考虑自变量取值范选取恰当的积分变换。主要考虑自变量取值范围，傅立叶变换要求取值范围是围，傅立叶变换要求取值范围是 ，拉普，拉普拉斯变换要求取值范围是拉斯变换要求取值范围是(,)(0,).2)注意定解条件的形式。假如对注意定解条件的形式。假如对 x 进行拉普拉斯进行拉普拉斯变换，而原方程是关于变换，而原方程是关于
16、x 的的 k 阶方程，则定解阶方程，则定解条件中必须出现条件中必须出现 10001|,|,|.kxxxkuuuxx 3)定解条件中部分条件需要进行相应的积分变换，定解条件中部分条件需要进行相应的积分变换，部分条件不需要进行积分变换。对方程进行积分部分条件不需要进行积分变换。对方程进行积分变换时用到的条件都不再进行相应的积分变换。变换时用到的条件都不再进行相应的积分变换。4)通过积分变换，得到含参数的常微分方程定解通过积分变换，得到含参数的常微分方程定解问题问题,解常微分方程。解常微分方程。5)对上面常微分方程的解取相应的积分逆变换。对上面常微分方程的解取相应的积分逆变换。拉普拉斯变换的反演公式
17、：拉普拉斯变换的反演公式：0()().ptF pf tL ftped ,()Re()Re().F ppp 在在计计算算这这个个积积分分时时,适适当当选选取取使使得得的的所所有有奇奇点点均均落落在在直直线线的的实实数数积积分分值值左左侧侧，即即内内：.不不依依赖赖于于注注意意11()()()(),0.2iptif tLF ptF p e dpt 利用留数基本定理，可得利用留数基本定理，可得1,(),()0,nppF ppF p 若若是是的的所所有有奇奇点点 并并且且当当时时则则11()()Re()2knipptip pktf tF pdtsp eieF ()(Laurent)naf z如如果果点
18、点是是的的，这这时时阶阶有有洛洛朗朗极极点点展展开开式式：则则1111Re ()lim()()(1)!nnnzaz ads f zCzaf zndz .)()()()()(22110nnkkazCazCazCazCazCCzf220011Relim1,(1)(1)ptptppseep pp 2111Relim(1).(1)ptpttppdesee tdppp p 1211(1),0.(1)tLe ttp p 21:().(1)F pp p 求求的的拉拉普普拉拉斯斯逆逆变变换换例例1111Re ()lim()()(1)!nnnzaz ads f zCzaf zndz 课后作业课后作业P83 习题三习题三5.6.
