1、机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分第七章定积分第七章定积分第一节第一节 定积分概念定积分概念第二节第二节 定积分的性质定积分的性质第三节第三节 微积分基本公式微积分基本公式第四节第四节 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式第五节第五节 定积分的换元积分法定积分的换元积分法第六节第六节 广义积分广义积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分第七章定积分第七章定积分 本章中将讨论积分学的另一个基本问题本章中将讨论积分学的另一个基本问题定积分问定积分问题我们先从几何问题与力学问题出发引进定积分的定义，题我们先从几何问题与力学问题出发引进定积分的定义，然后讨
2、论它的性质与计算方法关于定积分的应用，将在第然后讨论它的性质与计算方法关于定积分的应用，将在第八章讨论八章讨论第一节定积分概念第一节定积分概念 本节通过两个实例的分析，给出定积分的定义，指出定本节通过两个实例的分析，给出定积分的定义，指出定积分的几何意义积分的几何意义一、两个实例一、两个实例引例曲边梯形的面积引例曲边梯形的面积 ABab yfxOxy图图7.1机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 根据以上分析，曲边梯形面积可按如下四个步骤求根据以上分析，曲边梯形面积可按如下四个步骤求得：得：0121nnaxxxxxb图
3、图7.2Oxy yfx0axnbx1x2x1ixix动画演示动画演示机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分,11021,nnx xx xxx它们的长度依次为它们的长度依次为1102211,.nnnxxxxxxxxx(1,2,)iA in()1,2,iiiAfxin机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分111,2,nniiiiiAAfxin（）01limniiiAfx（）可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限 引例变速直线运动的路程引例变速直线运动的路程.机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分我们知道，对于等
4、速直线运动，有公式：我们知道，对于等速直线运动，有公式：路程路程=速度速度时间时间具体计算步骤如下：具体计算步骤如下：机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分0121nnatttttb01121,nnt tt ttt各个小段时间的长记为各个小段时间的长记为11,2,iiitttin 相应地，在各段时间内物体经过的路程为相应地，在各段时间内物体经过的路程为1,2,isin()1,2,iiisvtin机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分1()niiisvt01lim()niiisvt可见，变速直线运动的路程也是一个和式的极限可见，变速直线运动的路程也是一个和式的
5、极限 二、定积分的定义二、定积分的定义机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分01211,iinnaxxxxxxxb 1niiifx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 01dlimnbiiaif xxfx 根据定积分的定义，前面两个例子可以分别写成定积分根据定积分的定义，前面两个例子可以分别写成定积分的形式如下：的形式如下：dbaAf x x机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 dbasv tt dddbbbaaaf xxf ttf uu机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义 机
6、械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 dbaf x xA 或或 dbaAf xx 图图7.3 Oxyab yfx图图7.4 Oxyab yfxcd1A2A3A机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分()bOxy图图7.5 123dbaf xxAAA总之，定积分的几何意义是其值是曲边梯形面积的代数和总之，定积分的几何意义是其值是曲边梯形面积的代数和 例例7.17.1用定积分表示图中阴影部分的面积用定积分表示图中阴影部分的面积200()ddaaAf xxxx221dAxx2yx212yxa图图7.5()aOxy机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积
7、分dbaAx022210(1)1d(1)1dAxxxx()cOxy1y ab()doxy12211yx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分思考题思考题7.1练习题练习题7.11利用定积分的几何意义说明下列各式成立利用定积分的几何意义说明下列各式成立.1201d4xx1 2220cos d2cos dx xx x2 2利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正还是负（不必计算）还是负（不必计算）.20sin dx x1 20sin cos dxx x2 机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分第二节第二节 定积分的
8、性质定积分的性质 这一节我们讨论定积分的性质和如何利用定积分的几何这一节我们讨论定积分的性质和如何利用定积分的几何意义来计算函数的定积分意义来计算函数的定积分一、定积分的性质一、定积分的性质 下列各性质中积分上、下限的大小，如不特别指明，均下列各性质中积分上、下限的大小，如不特别指明，均不加限制；其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积不加限制；其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积.性质性质1 1函数的和函数的和(差差)的定积分等于它们的定积分的和的定积分等于它们的定积分的和（差），即（差），即 dddbbbaaaf xg xxf xxg xx证证 01dlim()()nbiiiaif xg
9、xxfgx0011lim()lim()nniiiiiifxgx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 ddbbaaf xxg xx注：这个性质可以推广到有限多个函数的情形注：这个性质可以推广到有限多个函数的情形 性质性质2 2 被积表达式中的常数因子可以提到积分号被积表达式中的常数因子可以提到积分号前面，即前面，即 ddbbaakf xxkf xx dddbcbaacf xxf xxf xx dbaf xxba机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 d0()baf xxab dd()bbaaf xxg xxab()()d0bag xf xx再由性质，便得要证
10、的不等式再由性质，便得要证的不等式 注：这个性质说明，若比较两个定积分的大小，只要比注：这个性质说明，若比较两个定积分的大小，只要比较被积函数的大小即可较被积函数的大小即可机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分证因为证因为()()()f xf xf x所以由推论和性质可得所以由推论和性质可得()d()d()dbbbaaaf xxf xxf xx即即 ddbbaaf xxf xx d()bam baf xx M baab机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 d()baf xxfbaab这个公式叫做积分中值公式这个公式叫做积分中值公式.图图7.6oxy yfx
11、ab f动画演示动画演示机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分1100e d2dxxxx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分22102eed2xxx二、利用定积分的几何意义计算定积分二、利用定积分的几何意义计算定积分图图7.77.7 oxy1121yx122011d(1)44xx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分3120119(1)d(2 5)(1 1)222xxAA思考题思考题7.21yx3,23图图7.8 Oxy-111A2A机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分1.1.利用定积分性质利用定积分性质,确定下列积分
12、的符号确定下列积分的符号:(1)0sin dx x112ln d.x x(2)2.2.利用定积分的几何意义求下列定积分利用定积分的几何意义求下列定积分:(1)526dx(2)42(1)dx x2224dxx(3)练习题练习题7.2机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分第三节微积分基本公式第三节微积分基本公式 应用定积分的定义去计算定积分，尽管被积函数很简单，应用定积分的定义去计算定积分，尽管被积函数很简单，也是一件比较困难的事所以，需要寻找简便而有效的方也是一件比较困难的事所以，需要寻找简便而有效的方法这就是牛顿法这就是牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.一、变上限定积分一、变上限
13、定积分 d()xaxf tt axb机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分变上限定积分有下面重要性质：变上限定积分有下面重要性质：dxaxf tt d()d()dxaxf ttf xaxbx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 dxaxf tt0cos 21 d xtt cos(21)x 机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分230d2ddxyttx2322()xx622xx622xx200cos dlim2xxttx20cos1lim22xx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分二、牛顿二、牛顿(Newton)(New
14、ton)莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)(Leibniz)公式公式引例变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系引例变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系21()dttv tt21()()s ts t2121()d()()ttv tts ts t机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分下面我们给出定积分的计算公式：牛顿下面我们给出定积分的计算公式：牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.dbaf xxF bF a ()F xxC axb机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 dxaf ttF xF a dbaf ttF bF a即即 dbaf xxF bF a d
15、bbaaf x xF xF bF a机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分2244sin dcosx xx 2coscos242 解解 e13lndxxx e13lnd 3lnxx2e113ln2x1716922机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分22222222200022ddd111xxxxxxxx222222200112d 1d211xxxx 12222220012 12arcsin2xx 2122 解解 思考题思考题7.3机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分练习题练习题7.33.计算下列定积分：计算下列定积分：2110dx 20
16、231 daxxx 9431dxxx 204cossin daxx x 21d521xx 21206edttt机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分第四节第四节 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 我们在学习了微积分基本公式的基础上，本节讨论定积我们在学习了微积分基本公式的基础上，本节讨论定积分的分部积分法和分段函数的定积分的解法分的分部积分法和分段函数的定积分的解法一、定积分的分部积分公式一、定积分的分部积分公式由上一章知道，不定积分的分部积分公式是由上一章知道，不定积分的分部积分公式是ddu vuvv u于是于是()()d()()d bbaau x v xxu x
17、v xx()()()()d bau x v xv x u xx()()()()dbbaau x v xv x u xx简记为简记为 ddbbbaaauv xuvvu x或或 ddbbbaaau vuvv u这就是定积分的分部积分公式这就是定积分的分部积分公式机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 注：定积分的分部积分公式的应用原则和所适用的积分注：定积分的分部积分公式的应用原则和所适用的积分类型类似于不定积分类型类似于不定积分4411lndln d2xxxxx44211lndxxxxx解解 414ln222 2ln2 1x 1100e dd exxxxx1100ee dxxx
18、x10ee1x解解2222220200arcsin darcsind1xx xxxxx解解机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分222021ln 182x21ln282二、分段函数的定积分二、分段函数的定积分 我们在定积分的计算中，有时会遇到分段函数的定积分，我们在定积分的计算中，有时会遇到分段函数的定积分，对于这类定积分的计算，关键是根据被积函数在积分区间上对于这类定积分的计算，关键是根据被积函数在积分区间上的不同表达式和定积分的迭加性质把定积分分成两个或更多的不同表达式和定积分的迭加性质把定积分分成两个或更多个积分和的形式，然后进行计算个积分和的形式，然后进行计算1ee1
19、e11elnd(ln)dln dx xxxx x1e11eln lnxxxxxx 12 1e解解 机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 2202110dded1cosxxf xxxxx202210211ded()2cos2xxxx202012tane2xx41112tane222解解 机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分12131)dxxx（012210(31)d(31)dxxxxxx012210(21)d(41)dxxxx0133101 11 1(21)(41)2 34 3xx113231333解解 思考题思考题7.4机械类高等数学电子教案机械类高等数
20、学电子教案定积分定积分练习题练习题7.41求下列各定积分：求下列各定积分：101e dxxx求下列各定积分：求下列各定积分：12101arctan d21dx xxx 202sin dxx x机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分第五节第五节 定积分的换元积分法定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法2211dcosd1cos2 d2xxt ttt21111sinarcsin12422ttCxxxC机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分其次应用牛顿其次应用牛顿莱布尼茨公式得莱布尼茨公式得11220011d(arcsin1)24xxxxx
21、 显然，这样的计算过程太麻烦，如果能把两个过程合在一显然，这样的计算过程太麻烦，如果能把两个过程合在一起就简便多了为此，我们给出下面的定理起就简便多了为此，我们给出下面的定理 ddbaf xxfttt机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分420012dd22txttx20221d2tt2022ln 2832ln2tt于是于是机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分2510144401001cossin ddd55txx xtttt 于是于是224400cossin dcosdcosxx xxx 250cos5x 11055 机械类高等数学电子教案机械类高等数学
22、电子教案定积分定积分ln20e1dxx211220021 1d2d11ttttttt 12012(1)d1tt1022arctan 22tt于是于是二、奇（偶）函数定积分二、奇（偶）函数定积分 0d2daaaf x xf x x机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 00ddaaf x xfuu 00ddaafuufxx 000ddddaaaaaf xxf xxfxxf xfxx 2f xfxf x从而从而 0d2daaaf x xf x x机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 d0aaf x x请读者仿照偶函数的证明方法自己证明请读者仿照偶函数的证明方法
23、自己证明注：这两个结论可以当作公式使用注：这两个结论可以当作公式使用图图7.9给出了奇偶函数在对称区间上定积分的几何意义给出了奇偶函数在对称区间上定积分的几何意义.图图7.9OxyaaOxyaa机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分2244222220233d2d11xxxxxx4420sin6cos d1 sintt tt2444001 cos26sind6d2tt tt2401116cos2cos 2d424ttt44001 1111 cos46 sin2 d4 42242ttt40333 1193sin4822 2
24、8162tt机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分思考题思考题7.51用换元积分法求定积分时应注意什么？用换元积分法求定积分时应注意什么？练习题练习题7.51求下列各定积分：求下列各定积分：3221e20ed11d21 lnxxxxx2利用函数的奇偶性，计算下列积分：利用函数的奇偶性，计算下列积分：21252142252arcsinsin1d2d11xxxxxxxx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分第六节广义积分第六节广义积分 一、积分区间为无穷区间一、积分区间为无穷区间的广义积分的广义积分图图7.1021yx1bOxy机械类高等数学电子教案机械类高等数
25、学电子教案定积分定积分21111d1bbxxxb 211limdlim(1)1bbbxxb机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 dlimdbaabf xxf xx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 dlimdbbaaf xxf xx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 df xx即即 dddccf xxf xxf xx limdlimdcbacabf xxf xx0220ddlimlim11baabxxxx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分00lim arctanlim arctan22baabxx111ddd
26、limbpbxxxxxx1lim lnlim lnbbbxb 11ddlimbppbxxxx1111lim1111pbbpxppp机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分 0limdbaf xx 0dlimdbbaaf xxf xx机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 0limdbaf xx存在，则定义存在，则定义 0dlimdbbaaf xxf xx都收敛都收敛,则定义则定义机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分 dddbcbaacf xxf xxf xx 1200limdlimdcbacf x
27、xf xx121210122211000d11limdlimdxxxxxx11201001011limlimxx12001211lim1lim1由于右端两个极限不存在，所以广义积分发散由于右端两个极限不存在，所以广义积分发散机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分11121d11 12xxx 1110000d1ddlimqxxxxxx1000lim lnlimlnx 111000d1lim1qqxxxq 1111qqq故证得结论成立故证得结论成立机械类高等数学电子教案机械类高等数学电子教案定积分定积分思考题思考题7.61.无穷区间的广义积分有几种情况？无穷区间的广义积分有几种情况？2.无界函数的广义积分有几种情况？无界函数的广义积分有几种情况？练习题练习题7.61.讨论下列广义积分的敛散性：讨论下列广义积分的敛散性：421dd1221xxxxx
