1、填空 I（每题 8 分，共 40 分）1计算：（写成小数的形式，精确到小数点后三位）11 +=12 +12 +12 +2 + 12【答案】1.414【解析】1= 1 + 29= 991111 += 1 += 1 += 1 +1112 + 122970702 +2 +2 +115122 +2 +2 +2 + 212 +2 + 152 1.4142两个标准骰子一起投掷 2 次，点数之和第一次为7 ，第二次为10 的可能性（概率）为 （用分数表示）172【答案】【解析】两个骰子一起投有6 6 = 36 （种）可能和为7 有1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 4 + 3 = 5 + 2 =
2、 6 + 1 = 7 ，共有6 种可能，所以和为 7 的概率为6 36 = 1 ；和为10 有 4 + 6 = 5 + 5 = 6 + 4 = 10 ，共有3 种可能，所以和为10 的概率为6112，故第一次和为7 ，第二次和为10 的概率为 1 113 36 =6 12723大于0 的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的 2 倍，则这样的数称为完美数或完全数比如， 6 的所有因数为：1， 2 ， 3 ， 6 ，1 + 2 + 3 + 6 = 12 ， 6 是最小的完美数是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一研究完美数可以从计算自然数的所小升初思维能力综合训练题有因数之和开
3、始 321的所有因数之和为【答案】 432【解析】因为321 = 3 107 ，所以321的所有因数之和为(1 + 3) (1 + 107) = 432 4昊宇写好了五封信和五个不同地址的信封，要将每封信放入相应的信封中，一个信封只放入一封信只有一封信装对，其余全部被装错的情形有【答案】 45【解析】将五封信编号1、 2 、3 、 4 、5 ，五个信封对应编号、若5 号信与号信封此时正确对应，其他的四封信与四个信封全部装错有9 种情况，如下图：号信封还可装入3、 4 号信，总情况有3 3 = 9 （种），这五封信都可以装正确，所以只有一封信装对，其余全部装错有5 9 = 45 （种）5. “
4、24 点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52 张扑克牌（不包括大小王） 中抽取 4 张，用这 4 张扑克牌扇过得数字（ A = 1 ， J = 11，Q = 12 ， K = 13 ）通过加减乘除四则运算得出 24 ，先找到算法者获胜，游戏规定 4 张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用一次，比如 2 ， 3， 4 ， Q ，则可以由算法(2 Q) (4 - 3)得到 24 海亮在一次游戏中抽到了 2 ， 3 ，13 ，13 ，经过思考，他发现13 3 - 13 - 2 ，我们将满足a b - c - d = 24 的牌组a,b, c, d称为“海亮牌组”，请再写出5 组不同的“
5、海亮牌组”【答案】1, 4, 7,8、2, 4, 6,8、4,8,3,5、4, 7,1,3、5, 7,3,8【解析】8 4 - 7 - 1 = 24 ； 4 8 - 6 - 2 = 24 ； 4 8 - 3 - 5 = 24 ； 4 7 - 1 - 3 = 24 ；Page 2 of 85 7 - 3 - 8 = 24 6在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、 寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”十天干和十二地支进行循环组合：甲子、乙丑、丙寅、一直到癸亥，共得到60 个组合，称为六十甲子如此周而复始用来纪年的方法，称为甲子纪年法在
6、甲子纪年中，以“丑”结尾的年份除了“乙丑”外，还有 【答案】丁丑、己丑、辛丑、癸丑【解析】将甲子年看作第一年，乙丑年看作第二年， 60 年以内以“丑”结尾的年为 2 年，2 + 12 = 14 年，14 + 12 = 26 年， 26 + 12 = 38 年， 38 + 12 = 50 年第 2 年的天干为：乙； 第14 年的天干为：丁； 第 26 年的天干为：己；第38 年的天干为：辛；第50 年的天干为：癸所以除“乙丑”外还有丁丑、己丑、辛丑、癸丑7现有5 个抽屉，每个抽屉中都放置3个玻璃球（形状大小相同），分别为蓝色、红色与黄色如果分别从这5 个抽屉中各取出一个玻璃球放在一个布袋中，则布
7、袋中的5 个玻璃球共有 种不同情况【答案】 21【解析】每个球都可以为蓝色、红色、黄色分类枚举： 5 个同色： 3种；1个同色 4 个另一颜色： 3 2 = 6 种； 2 个同色3 个另一颜色： 3 2 = 6 种；1个同色1个第二种颜色3 个第三种颜色： 3 种；1个同色 2 个第二种颜色 2 个第三种颜色： 3 种共有3+6+6+3+3=21 种8古希腊的数学家们将自然数按照以下方式与多边形联系起来，定义了多边形数Page 3 of 8比如，根据图示：三边形数：1， 3， 6 ，10 ，L四边形数：1， 4 ， 9 ，16 ，L五边形数：1， 5 ，12 ， 22 ，L六边形数：1， 6
8、，15 ， 28 ，L那么，第 6 个三边形数、四边形数、五边形数、六边形数分别为 【答案】 21 、36 、51、 66【解析】三边形数：1 23 3 6 410 515 6 21 ；四边形数：1 3 4 59 716 9 25 1136 ；五边形数：1 45 712 10 22 1335 1651 ；六边形数1 5 6 915 13 28 17 45 21 66 所以第6 个三边形数、四边形数、五边形数、六边形数分别为 21 、 36 、51、 66 9用5 个边长为单位长度的小正方形（单位正方形）可以构成如图所示的5- 联方（在中国又称为伤脑筋十二块）在西方国家，人们用形象的拉丁字母来标
9、记每一个5- 联方其中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的5- 联方为 ；既是中心对称图形又是轴对称图形的5- 联方有 【答案】 F 、 L 、 N 、 P 、Y ； I 、 X【解析】略10如下图所示， 1 = 2 ， 3 = 4 ，如果A = 68o ，那么E = o Page 4 of 8【答案】34【解析】由图可知： 3 = 1 + E , ACF = ABC + A ,而ACF = 3 + 4 ， 3 = 4 ，所以 ACF = 23 ； ABC = 1 + 2 ， 1 = 2 ，所以ABC = 21所以23 = 21 + 68o ， 23 = 21 + 2E ，故有 21 + 6
10、8o = 21 + 2E ，所以E = 34o 11索玛立方体组块是丹麦物理学家皮特海音（Piet Hein）发明的7 个小立方体组块（如图所示，注意5 号与 6 号组块，这是两个不同的组块）因为利用这7 个组块可以恰好组成一个立方体，所以称为索玛立方体组块一个索玛立方体组块如果能够被某个平面分割成形状完全相同的两部分，则称这个组块是可平面平分的那么，这些组块中有而且只有1种分割方法的可平面平分组块为 ，不可平面平分的组块为 （填0 表示没有）【答案】0 ； 7 号【解析】经观察1、2 、3 、4 、5 、6 号至少有 2 种不同平面平分方法， 7 号为不可平面平分组块12有 4 个自然数，从
11、其中任意选取3个数求和，可以而且只能得到 28 ， 29 ， 30 ，那么，原来的 4 个自然数分别是 【答案】9 ， 9 ，10 ，11【解析】 4 个自然数中取3 个相加只有3种和（原应 4 个和），所以其中有两个数是相等的 30-28=2 ，即最大数与最小数的差为 2 ，所以三种不同数值的数为 a ， a + 1 ，Page 5 of 8a + 2 只能为(a +1) + (a + 2) + a = 30 ， a + a + (a + 1) = 28 ， a + a + (a + 2) = 29 ，所以 a = 9 故这四个数为9 ， 9 ，10 ，1113如果一个长方形能够被分割为若干
12、个边长不相等的小正方形，则这个长方形称为完美长方形已知如图的长方形是一个完美长方形，分割方法如图所示，这是一个长为57 ，宽为 55的完美长方形，用小正方形中心的数字代表其边长，已知两个正方形的边长分别为30 与 27 ，那么，图中没有标示边长的小正方形的边长按照从小到大的顺序分别为 【答案】 2 、 3、8 、11、13 、15 、17 、 25【解析】将为标示边长的小正方形进行如图的标号：a 的边长为： 55 - 30 = 25 ；c 的边长为： 30 - 27 = 3 ；b 的边长为： 30 + 3 - 25 = 8 ；f的边长为： 25 - 8 = 17 ；d 的边长为： 55 - 2
13、7 - 17 = 11；e 的边长为： 57 - 25 - 8 - 11 = 13 ；h 的边长为： 55 - 27 - 13 - 15 ；g 的边长为：17 - 15 = 2 将未标示出边长的小正方形的边长按从小到大的顺序分别为 2 、3 、8 、11、13 、15 、17 、 25 14在放置有若干个小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动的规则为：每人每次可以选择某一木格中的任意数目（至少1个）的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格Page 6 of 8中，当所有小球全部移动到最右端的木格中时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获胜面对如图所示的局面（格中的数字代表小球的数目，木
14、格下方的数字表示木格编号），先手有必胜策略，那么，为确保获胜，先手第一步应该移动 木格中的 个小球【答案】1； 3【解析】先手方保证3号木格与1号格相等，那么无论后手方怎么移动，那么3号和1号的数量不相同，先手方只要保持3号、1号相同，即可将最后一个小球放入0 号中所以先手第一步应该移动1木格的3个小球15任何一个直角三角形都有这样的性质：以两个直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边 为边长的正方形的面积这就是著名的勾股定理，在西方又被称为毕达哥拉斯定理勾股定SVCEB = SVCADSV ABD = SV EBDSV ABE : SV ABD = AE : BD = 3 :1理有着悠悠年的
15、历史，出现了数百个不同的证明，魏晋时期的中国古代数学家刘徽给出了如下左图所示的简洁而美妙的证明方法，如下右图则是以这个方法为基础设计的刘徽模式勾股定理拼图版：如果上图中两个正方形的边长分别为3 与 4 ，那么，三角形 ACE 的面积= （用分数表示），三角形 BCD 的面积= （用分数表示）Page 7 of 8273【答案】；88【解析】由图可知，两个正方形的边长为3 与 4 ，所以三角形的两个直角边分别为3 与 4 ，所以BD = 4 - 3 = 1 ，如图连接 BE 、 AD ：AE BD ，所以 SVCEB = SVCAD ， SV ABD = SV EBD ，又因为 SV ABE : SV ABD = AE : BD = 3 :1 ，= AC : CB = 3 :1，所以 AC = 3 = 9 ，3= 3 :1；而 S所以 S: S: SV ABEV EBDV ABEV EBD3 + 141= 3 ，综上可知 S= 9 3 2 = 27 ， S= 3 1 2 = 3 CB = 3 V ACEV BCD3 + 144848Page 8 of 8
