1、探索勾股定理（课程标准北师大版八年级上册数学实验教材第一章第（课程标准北师大版八年级上册数学实验教材第一章第1节）节）复习提问 1、三角形的内角满足怎样的关系？、三角形的内角满足怎样的关系？特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形呢？特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形呢？2、三角形的边满足怎样的关系？三角形的边满足怎样的关系？特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形呢？特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形呢？（一）创设情景 引入新课 2002年在北京召开了第年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被
2、誉为数学界的水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运奥运会会”，这就是本届大会会徽的图案，这就是本届大会会徽的图案为什么这届数学大会要以这个图案作为会标？我们为什么这届数学大会要以这个图案作为会标？我们研究直角三角形三边的关系该从哪儿研究？为什么？研究直角三角形三边的关系该从哪儿研究？为什么？(1)相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。CBA（二）探索发现勾股定理 探究活动一：先研究等腰直角三角形（特殊情况）探究
3、活动一：先研究等腰直角三角形（特殊情况）（）引导学生从面积的角度来观察图形：（）引导学生从面积的角度来观察图形：提问：提问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？关系吗？ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2（1）观察图）观察图1 正方形正方形A中含有中含有 个个小方格，即小方格，即A的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。99918你是怎样得到你是怎样得到C的面积的面积的？与同伴交
4、流交流。的？与同伴交流交流。123（2）（3）活动一：活动一：ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2cS正方形143 3182 分割成若干个直角边分割成若干个直角边为整数的三角形为整数的三角形（单位面积）（单位面积）返回返回ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图 1图图 2（2）在图）在图2中，正方中，正方形形A，B，C中各含有中各含有多少个小方格？它们多少个小方格？它们的面积各是多少？的面积各是多少？（3）你能发现图）你能发现图1中中三个正方形三个正方形A，B，C的面积之间有什么关的面积之间有
5、什么关系吗？系吗？SA+SB=SC 即：即：以等腰直角三角形两条直角边上的正方两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积形面积之和等于斜边上的正方形的面积结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.探究活动二：一般直角三角形也有这样的性质吗？探究活动二：一般直角三角形也有这样的性质吗？（1）观察右边）观察右边两幅图：两幅图：（2）填表（每个小正方形的面积为单位）填表（每个小正方形的面积为单位1）：）：A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积左图左图右图右图4 916 9？（3）你是怎样得到）你是怎样得到正方形正方形C的面积的？与同伴交
6、流的面积的？与同伴交流.“割割”“补补”“拼拼”（4）分析填表数据，你发现了什么？）分析填表数据，你发现了什么？A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积左图左图4913右图右图16925CBASSS结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.议一议：议一议：（1）你能用直角三角形的两直角边的长）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？来表示图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？吗？结论3 如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长
7、为 c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.222cba问题：这个结论正确吗？该如何证明？问题：这个结论正确吗？该如何证明？cabcabcabcab拼一拼你们能用这四个三角形纸片，围出一个大正方形吗?并请你表示出正方形的面积。（三）探索勾股定理的证明 图2图1证法一：证法一：2)baS（正2214cab，化简得：化简得：222cba证法二：证法二：2cS正2)(214abab，化简得：化简得：222cba我国古代两种证法：1、公元、公元3世纪我国汉代数学家世纪我国汉代数学家赵爽赵爽在为在为周髀算经周髀算经作注时给出的作注时给出的“弦图弦图”：其基本思路：利用不同的表达式来表示同一图
8、形的面积，其基本思路：利用不同的表达式来表示同一图形的面积，这种证题的方法叫等积变换（面积法）这种证题的方法叫等积变换（面积法）数学思想：数形结合数学思想：数形结合2、我国数学家我国数学家刘徽刘徽在他的在他的九章算术注九章算术注中给出中给出的的“青朱出入图青朱出入图”：无字证明无字证明美国第十二任总统伽菲尔德 的“总统”证法bcabcaABCDS梯形ABCD=12a+b 2=12(a2+2ab+b2)又 S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED=12ab+12ba+12c2=12(2ab+c2)2=a2+b2 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部
9、分称为半部分称为 勾勾，下半部分称为，下半部分称为 股股。我国古代。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为学者把直角三角形较短的直角边称为“勾勾”，较，较长的直角边称为长的直角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”.勾勾股股走进勾股世界走进勾股世界 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾勾，较长的直角边称为较长的直角边称为股股，斜边称为，斜边称为弦弦，“勾股定理勾股定理”因因此而得名（中国古代又叫商高定理）此而得名（中国古代又叫商高定理）（在西方称为（在西方称为毕达哥拉斯定理、百牛定理）中国发现勾股定理比毕毕达哥拉斯定理、百牛定理）中国发现勾股定理
10、比毕达哥拉斯定理早达哥拉斯定理早500多年多年弦股勾 勾股定理（勾股定理（gou-gu theorem)gou-gu theorem)如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为斜边为c，那么，那么222abc即即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾平方（勾2+股股2=弦弦2）。）。abc表示为：RtABC中，C=90 222cba1.成立条件：在直角三角形中；3.作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长.2.公式变形:222,acb222;bca如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么.222cba222
11、222-ac bbc aca b,abc.222cba1.1.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值.8181144144x xy yz z625625576576144144169169比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！2.2.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x 小明的妈妈买了一部小明的妈妈买了一部2929英寸英寸（7474厘米）的电视机。小明量了电视厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只
12、有机的屏幕后，发现屏幕只有5858厘米长厘米长和和4646厘米宽，他觉得一定是售货员搞厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？错了。你能解释这是为什么吗？我们通常所说的我们通常所说的2929英寸或英寸或7474厘米的电视厘米的电视机，是指其荧屏对角机，是指其荧屏对角线的长度线的长度27454762258465480售货员没搞错售货员没搞错荧屏对角线大约为荧屏对角线大约为74厘米厘米类比思考1.如图，分别以Rt ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 S1S2S3 图2 2.如图，分别以如图，分别以Rt ABC三边
13、为边向外作三三边为边向外作三半圆半圆，其面积分别，其面积分别用用S1、S2、S3表示，表示，S1、S2、S3之间之间还有以上还有以上的的关系式关系式 吗？吗？3.如图，分别以如图，分别以Rt ABC三边为边向外作三边为边向外作等腰直角三角形等腰直角三角形，其，其面积分别用面积分别用S1、S2、S3表示，表示，S1、S2、S3之间之间还有以上还有以上的的关关系式系式 吗？吗？4.如图，分别以如图，分别以Rt ABC三边为边三边为边向外作向外作等边三角形等边三角形，其面积分别用，其面积分别用S1、S2、S3表示，表示，S1、S2、S3之之间间还有以上还有以上的的关系式关系式 吗？吗？1、这一节课我们一起学习了哪些、这一节课我们一起学习了哪些知识知识和和思想方法思想方法？2、对这些内容你有什么、对这些内容你有什么体会体会？请与你的同伴？请与你的同伴交流交流.（五）回顾反思畅谈收获 知识知识：勾股定理：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为，斜边长为 c，那么那么 .222cba方法方法：1.观察观察探索探索归纳归纳猜想猜想论证论证应用；应用；2.面积法；面积法；3.“割、补、拼、接割、补、拼、接”法法.思想思想：1.特殊特殊一般一般特殊；特殊；2.数形结合思想；数形结合思想；3.转化思想；转化思想；4.方程思想方程思想.
