1、声的振动理论基础声的振动理论基础质点的自由振动质点的衰减振动质点的强迫振动隔振问题弦的振动棒的振动膜的振动引言一：人耳的构造及听觉特性声波耳廓（收集）外耳道（振动）鼓膜听小骨 耳蜗（听觉收集器）听神经大脑听区听觉引言二：声波的振动图像 声波是一种机械波，是机械振动在弹性介质中的传播。弹性介质中质点振动的传播过程，十分类似于在多个振子相互耦合形成“质量弹簧质量弹簧”的链形系统中，一个振子的运动会影响其他振子也跟着运动的过程。另一个角度：弹性介质中质点振动的传播过程，十分类似于在多个有质量弹簧相互耦合形成 的链形系统中，一个有质量弹簧的运动会影响其他有质量弹簧也跟着运动的过程。将物体视为“质点”的
2、声学前提：如果形变从物体的始端到末端的传播所需的时间，与物体中形变或振动周期（振动一次所需的时间）相比短得多；或者物体的线度与物体中振动传播波长（振动一次所传播的距离）相比小得多，那么这一物体的各部分振动状态就可以看成近似均匀，而这一振动系统就可以近似地看作质点振动系统。质点的自由振动自由振动方程：（牛顿第二定律）单振子：（胡克定律）弹性系数 顺性系数，或称“力顺”振动圆频率，也称“角频率”齐次二阶常微分方程 前提：小位移固有频率：质点自由振动的一般规律：要了解质点自由振动的一般规律，首先要对质点自由振动方程求解。位移 随时间 t 的变化规律呈余弦形，即简谐振动：初始条件：例如自由振动的能量：
3、保守力系统，机械能守恒。固有频率的另一种表示：静位移双弹簧串接系统的振动：弹簧串接时的等效弹性系数：系统的固有频率：证：双弹簧并接系统的振动：弹簧质量对系统固有频率的影响：系统的等效质量：系统的固有频率：据能量守恒定律推导：质点的衰减振动 这种现象在实际中是不存在的。任何实际系统在作自由振动时都会出现逐渐衰减的现象，亦即系统在振动时始终会受到一种阻尼力的作用这种阻尼力作用可能是振动物体与周围媒质之间的粘滞摩擦，或者振动物体自己的内摩擦的效果；也可能是振动物体向周围媒质辐射声波的效果。前者使振动能逐渐变化为热能；后者使振动能逐渐转化为声能。衰减振动方程：阻尼的影响前提：仍然限于讨论小振动，可以认
4、为阻尼力与速度成线性关系。阻力系数、阻尼系数、力阻衰减振动方程：衰减系数 二阶齐次常微分方程 衰减模量衰减振动的一般规律：衰减振动系统的固有圆频率衰减振动的能量：由于阻尼的存在，质点振动系统的平均能量将近似地随时间作指数规律衰减。质点的强迫振动 受到外部持续作用而产生的振动。强迫振动方程：外力圆频率 二阶非齐次常微分方程强迫振动的一般规律：阻抗 力抗质点的稳态振动：当稳态时，系统将以外力频率作等幅简谐振动；振动位移与外力之间还存在一定相位关系；其振幅除了与外力幅值，外力圆频率有关外，还取决于系统的些固有参量；至于系统是如何开始振动的，这对稳态振动已无关紧要了。引入力学品质因素力学品质因素：系统
5、的位移共振：归一化的位移共振曲线位移共振频率系统的位移共振频率与固有频率并不相等！质点强迫振动系统的速度规律：速度共振频率与力学品质因素无关，并恒等于系统的固有频率。速度共振频率关于力学品质因素的进一步讨论：其倒数为系统共振频带的宽度质点强迫振动系统的加速度规律：加速度共振频率系统的加速度共振频率与固有频率并不相等！振动控制：质量（惯性）控制区：力阻（阻尼）控制区：弹性（刚度）控制区：弹性（刚度）控制区：力阻（阻尼）控制区：强迫振动的能量：在稳态振动中由于存在阻尼力，系统要不断损失能量。每秒钟阻尼力对系统所做的功称为损耗功率，它表示每秒系统的能量损耗：一周期的平均损耗功率为：当速度振幅一定时系
6、统的平均损耗功率与力阻成正比，力阻愈大损耗功率也愈大。如果力阻是由系统向空间辐射声波所引起的，那么显然力阻愈大就表示系统向空间辐射声波的能量愈多。由声产生的力阻称为声辐射阻，一般频率愈高声辐射阻愈大，或频率愈低声辐射阻愈小。对于一振动系统，低频的声辐射往往要比高频困难得多。外界强迫力每秒钟向系统提供的能量，它可用强迫力每秒对系统所做的功来表示，即：取一周期的平均可得：显然：质量（惯性）控制区：隔振问题 外力是通过系统中的弹簧传给质量块的，这通常是属于隔振问题。被动（消极）隔振：振源位移传递比：位移传递比极大值时的频率：弹簧起到隔振作用的条件，实际上仅限于频率 时，而且频率愈远离相应的无阻尼系统
7、固有频率，隔振效果愈好。主动（积极）隔振：拾振周期力的强迫振动振动的拾取（简称拾振）是隔振的一个逆问题，一个任意周期力可表示成一系列频率为整数倍的简谐力的叠加，集中参数系统 vs.分布参数系统弦的振动 理想的振动弦是指具有一定质量、并有一定长度、性质柔顺的细丝或细绳用一定方式把它张紧，并以张力作为弹性恢复力进行振动的弹性体一般说弹性体自身还应该具有劲度，但对弦来说，这一自身的劲度与张力相比很小，可以忽略，这就是理想弦的一个重要特点 弦的振动过程是一种较为直观的波动过程的模型，并且对这种振动过程的理论处理方法又是处理声学问题的一种基础。弦的“横振动”：弦的振动方程：假设：（1）小振幅；（2）张力
8、为常数。仍然是牛顿第二定律，式中：函数 的物理意义：弦振动方程的一般解：波函数，它代表了一种以传播速度 c 向正 x 方向传播的波动过程。函数 的物理意义：负 弦中振动传播速度（波速）：引入有界弦的边界条件：两端固定。得：在有界弦中，在同一时刻在整个弦上进行着的振动具有一定的空间周期性规律，即有界弦将形成驻波。有界弦自由振动的一般规律（驻波解）：解法：分离变量法，亦称驻波法设方程的解可写成如此形式把一个偏微分方程分解成两个具有单一独立变量的常微分方程，具体为边界条件：控制方程：&初始条件：弦的总位移：所有简正振动方式的线性叠加。例：波数引入初始条件得：弦振动的能量：其他多种边界条件：有质量负载
9、的：弹性支撑的：受阻尼作用：近似自由的：棒的振动 棒同柔顺的弦不同，这种物体认为是“坚硬”的，其恢复平衡的力主要由自身的劲度（或弹性）所产生，而张力与之相比可以忽略。棒一般可以进行两种方式的振动：纵振动与横振动。棒的振动规律可作为以后要研究的声波在弹性介质中传播的一种简单模型。前提：（1）截面积均匀的细棒；（2）小振幅。棒的纵振动方程：起点：弹性体的虎克定律（应力应变关系）（牛顿第二定律）棒的纵振动传播速度棒的纵振动的一般规律：（棒_纵）（弦）波数不同边界条件下棒的纵振动：两端固定的棒边界条件：频率方程：简正频率：棒的总位移：引入初始条件：两端自由的棒边界条件：简正频率：棒的总位移：两端自由与
10、两端固定棒的简正频率是相同的。引入初始条件：一端自由一端固定的棒边界条件：简正频率：一端自由一端固定的棒的基频在同样长度时要比前两种情形低一半，并且它的泛频与前两种情形的规律也不同，对这一种边界它只存在奇数的泛频。如果我们取同一长度的棒而加以不同的边界，然后予以相同的敲击，则有可能激发出的基频与泛频都不相同，以致感到它们发出声音的音调与音色也不一样。一端自由一端有质量负载的棒边界条件：频率方程：这种边界的振动频率不仅与棒长有关，而且还同质量比有关。重棒轻负载：轻棒重负载：近似于两端自由近似于一端自由一端固定特殊中间情形：一端固定，一端有质量负载的棒边界条件：频率方程：当 时，可以得出棒的最小一
11、个固有频率近似为：式中：式中：一端自由一端受简谐外力作用的棒边界条件：即：两端自由棒的简正频率棒短、外力频率低：复合棒的振动边界条件：两棒连接处的位移连续与力平衡条件：假设：两根棒都用相同材料做成，长度也相同，仅是截面积不同。取：令：得：“聚能”的作用棒的横振动方程：起点：弹性体的虎克定律因为中性面的上半部和下半部是对称的，所以作用在该元段上总的纵向力正负抵消，合力为零。然而在此纵向力作用下弯矩不为零，求得：K 称为截面回转半径而小振幅情况下的曲率半径由于棒的弯曲，在棒的横截面上还会产生剪力，也称横向力。为：在棒的横振动方程中出现了对 x 的四阶导数，因此该方程的一般解将出现四个待定常数。这就
12、是说为了能完全地确定棒的振动状态，就需要有四个边界条件。然而棒仅有两个边界，因而每个边界应该也必定同时存在两个边界条件。棒的横振动的一般规律：仍用“分离变量法”来求解，令：代入，得：棒的横振动的边界条件：钳定边界刚性支撑边界自由边界例：音叉的工作原理 一端钳定一端自由的棒l 端0 端 这时 n 次的泛频已不是基频的整数倍，并且 n 增大，比值递增更快。很明显如果敲击此棒，它发出的频率将包含比基频高得多的一些泛频，因而人们感到由它发出的声音常常是音调尖而不和谐。但是一般说来，棒作振动时总会受到阻尼而产生衰减，而且频率愈高衰减得愈快，所以开始时由棒的振动而发出的音调尖而带有刺耳感的声音，很快就变成
13、几乎全是基频的纯音了。膜的振动 所谓物理上的膜就是当它受外力扰动后，恢复其平衡的力主要是张力，材料自身的劲度同张力相比可以忽略。膜与弦类似，一定要把它张紧才能引起振动。膜实际上是把弦推广到二维空间，即平面坐标情况。膜的振动方程：弦的振动方程：直接推广：可做严谨推证 每单位长度直线所受的牵引力称为张力。假设张力在整个膜上为常值，记为T，单位为N/m。圆形膜的振动：极坐标下膜的振动方程：圆对称情形：令：引入周界固定边界条件：解得：板的振动板是棒在二维空间的推广：板恢复其平衡的力主要由自身的劲度产生。板弯曲时会产生更为复杂类型的弹性应力而引起复杂的应变。例如板在横向受压缩时，它在纵向却会伸长。板的振动方程：棒的横振动方程：直接推广：
