1、祖暅原理与3 柱锥球体积1 情景问题4 即时训练2 祖暅原理目录情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用课堂实施柱体体积柱体体积台体体积台体体积锥体体积锥体体积球体体积球体体积VSh13VSh1()3VSS SS h1情景问题Part one情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学内容问题1：这两个柱体的体积一样吗？问题2：在这种情况下，这两个柱体的体积一样吗？为什么？情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学内容123几何画板情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学内容祖暅原理 这个问题，我国南北朝时代的数学家祖暅就已经提出了解决的方法。情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用课堂实施幂指面积，势即是高，意思是
2、如果两等高的几何体在同高处截的两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其是父亲的影响，他从小热爱科学，对数学具有浓厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他儿子祖暅一起用巧妙的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发现的，为了纪念祖氏父子的这一伟大发现，数学上也称这个原理为祖暅原理。缘缘幂幂势既同，则积不容易势既同，则积不容易话说祖暅话说祖暅情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用条件：用条件：用平行平行于这两个平面的于这两个
3、平面的任意任意平面截两个几何体；平面截两个几何体；看看两个截面的面积是否两个截面的面积是否总相等总相等若是，则满足祖暅原理的条件若是，则满足祖暅原理的条件两个两个条件缺一不可条件缺一不可，才能得出，才能得出两个几何体的体积一定相等两个几何体的体积一定相等祖暅原理祖暅原理 前提：两个前提：两个几何体几何体夹在两个夹在两个平行平行平面平面之间，即等高；之间，即等高；情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学重点探究一：三个同底等高的柱体，用一平行于底面的平面去截任一柱体，观察截面面积与底面面积的关系。1柱体体积截面面积与底面面积全等条件1：高相等条件2：截面积相等由祖暅原理体积相等V柱柱=sh情景问题
4、祖暅原理柱锥球体积即时应用 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31ABCACB连接BC,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。232椎体体积情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学重点情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用BCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCA232椎体体积教学重点情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用CACB3ABCA1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2
5、ABCA1三棱锥三棱锥1 1、2 2的底的底ABAABA、BABBAB的面积相等，的面积相等，高高也相等（顶点都是也相等（顶点都是C C）。）。A1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1高高2椎体体积教学重点情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用ABCA1CACB3BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2三棱锥三棱锥2 2、3 3的底的底BCBBCB、CBCCBC的面积相等。的面积相等。高高也相等（顶点都是也相等（顶点都是AA）。）。高高2椎体体积教学重点情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学重点探究二：等底面积等高的两个两个椎体体积有
6、何关系？2椎体体积情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2V V1 1V V2 2V V3 3 V V三棱柱三棱柱312椎体体积教学重点情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用2椎体体积MN教学重点情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学重点探究三：半球的体积与底面积相等的旋转体体积对比半球的体积与底面积相等的旋转体体积对比3球体体积R结论：结论：半球圆 锥圆 柱VVV情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学重点3球体体积Rrlo因此因此 S圆圆=
7、2r=()22lR=2R2llloll设球的半径为设球的半径为R,R,截面半径为截面半径为r,r,平平面面 与截面的距离为与截面的距离为 那么那么 r=r=22lRl情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学重点3球体体积Rrloo因此因此 S圆圆=2r=()22lR=2R2l设球的半径为设球的半径为R,R,截面半径为截面半径为r,r,平平面面 与截面的距离为与截面的距离为 那么那么 r=r=22lRlol情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学重点3球体体积情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学重点3球体体积oO1LPNKlBO2S圆环=2R2l圆环面积圆环面积S圆=S圆环 因此因此 S圆圆=2r
8、=()22lR=2R2l设球的半径为设球的半径为R,R,截面半径为截面半径为r,r,平平面面 与截面的距离为与截面的距离为那么那么 r=r=22lRlRrlo情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学重点3球体体积oO1LPNKlBO2Rrlo根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即=V球球 =312 RRRR 2323R21所以所以 V球球 =343R情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用典例探究“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）如图，正方形是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（）A B C D383r383r3163r3163r情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用典例探究情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用典例探究情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用典例探究谢谢您的聆听
